asyan.org
добавить свой файл
1 2 ... 4 5
§ 7. Системи випадкових величин.

1. Закон розподілу системи.

Законом розподілу системи в. в. наз. співвідношення, яке встановлює звязок між областями можливих значень системи і ймовірностями появи системи в цих областях.

  1. X\ x1 … … x2 … … ………………xi … … ………………xn … … яка наз. таблицею розподілу системи двох д. в. в. із скінченною кількістю можливих значень.

Всі можливі події , для ; утворюють повну групу несумісних подій, тому .

При цьому закони розподілу кожної із складових системи легко знайти. Так, для складової (її можливі значення , ) додавши ймовірності по рядках

; (1)

X P Для складової аналогічно

  • ^ 2. Функція розподілу системи

Функцією розподілу системи двох випадкових величин наз. функція двох аргументів F(x,y), яка = ймовірності сумісного виконання двох нерівностей Xі Y<y, тобто

F(x,y)=P(Xy). (3)

Геометрично ф-ія розподілу системи двох в. в. представляє собою ймовірність попадання випадкової точки (^ X,Y) у лівий нижній нескінченний квадрант площини з вершиною в точці ( )

З геометричної інтерпретації отримаємо властивості функції розподілу системи двох в. в.

10. або . (4)

20. . (5)

30. . (6)

40. , якщо ;

, якщо .

Доведемо цю властивість, використовуючи геом. інтерпретацію функції розподілу системи.

Розглянемо такі три події:

, ,

Очевидно, що C=A+B але A і B – несумісні події. За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо P(C)=P(A)+P(B),

але , , тому ,

звідки .

Оскільки ймовірність – величина невід’ємна, то .

Отже, для .

  1. Аналогічно можна довести другу нерівність

для .

50. Ймовірність попадання випадкової точки (X,Y) в прямокутник зі сторонами, паралельними осям координат, обчислюється за формулою

. (7)

Виведемо цю формулу, користуючись геом. інтерпретацією системи. Нехай прямокутник має вершини (a,c), (a,d), (b,d), (b,c).Розглянемо такі події , , , , .

Очевидно, що E=A+B+C+D, але A,B,C,D – несумісні події, тому

P(E)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)

Оскільки P(E)=F(b,d), P(B)=F(b,c)-F(a,c), P(C)=F(a,d)-F(a,c), P(D)=F(a,c), то отримаємо

P(A)= F(b,d)- F(b,c)+ F(a,c)- F(a,d)+ F(a,c).

Скоротивши останні два доданки, отримаємо шукану формулу (7).

^ 3. Щільність розподілу системи.

Розглянемо ймовірність попадання випадкової точки (X,Y) в елементарний прямокутник із сторонами і , паралельними координатним осям, який примикає до точки ( ).

Застосувавши формулу (7), одержимо

(8)

Припустимо, що функція є не тільки непер., але і двічі диференційовною, тоді ф-ію , яка визначається формулою (8), наз. щільністю розподілу ймовірностей системи неперервних в. в. .

Отже, за означенням, щільність розподілу системи двох випадкових величин це границя відношення ймовірності попадання випадкової точки в елементарний прямокутник до площі цього прямокутника, коли останній стягується в точку.

Геометрично щільність розподілу можна зобразити деякою поверхнею розподілу.

. (9)

Використовуючи (9) . (10)



следующая страница >>