Нехай ф-я f(x) визначена на проміжку [a;b] і x0—внутрішня точка проміжку. Ф-я f(x) в точці x0 має максимум, якщо існує окіл точки x0, що для всіх х (х ≠x0), цього околу виконується нерівність f(x)≤ f(x0). Саме значення f(x0) наз-ть максимумом(локальним)ф-ції f(x) в точці x0.
Ф-я f(x) в точці x0 має мінімум, якщо існує окіл точки x0, що для всіх х (х ≠x0), цього околу виконується нерівність f(x)≥f(x0). Саме значення f(x0) наз-ть мінімумом(локальним)ф-ції f(x) в точці x0.
Максимум і мінімум функції в точці обєднує спільний термін — екстремум (локальний екстремум) функції в точці.
Якщо для х не=х0 у данному околі точки х0 f(x)< f(x0) (f(x)> f(x0)), функція f(x) має строгий максимум(мінімум).
2. Стохастична одноканальна модель теорії масового обслуговування з надійним приладом.
В загальному випадку моделі масового обслуговування досліджують системи, що складаються з 3 частин: потоку вимог, черги, яку утворює потік вимог та каналу обслуговування. Припускають, шо потік вимог є Пуасонівським. Каналів в системі може бути від 1 до ∞. Якщо лише один канал, то система називається одноканальною. Розглянемо найпростішу систему з одним обслуговуючим приладом, до якої надходить один пуассонівський потік вимог із інтенсивністю . Час обслуговування вимоги є випадковою величиною, що розподілена за експоненціальним законом із параметром . При цьому кількість вимог, які можуть перебувати в системі, не обмежується.
У стаціонарному режимі роботи система подається ймовірнісною моделлю такого виду:
Основні числові характеристики для системи визначаються за формулами:
імовірність того, що система простоюватиме (відсутні вимоги), така:
; імовірність того, що система зайнята обслуговуванням вимог, становить
математичне сподівання кількості вимог, що перебувають у системі: М=ρ/(1-ρ)
Для систем обслуговування розглядуваного класу визначаємо такі числові характеристики:
середню кількість вимог потоку, що перебуває в черзі: L=M-ρ
середній час перебування вимог у системі: T=M/λ=ρ/λ
середній час перебування вимоги в черзі: T*=L/λ
3. Поняття про задачі на екстремум. Екстремальна точка. Абсолютний та відносний максимум(мінімум) функції.
Нехай задано графік функції:
В точці хі буде максимум, якщо f(xі+∆xі)
4. Транспортна задача та її загальний запис. Перший опорний план.
Транспортна задача – це специфічна задача лінійного програмування, застосовувана для визначення найекономнішого плану перевезення однорідної продукції від постачальників до споживачів.
Нехай
та 
. Причому, аi , вj >0; 
Матриця вартостей має такий вигляд
В загальному випадку Cji – вартість перевозки з j пункту в і-й; в – складські приміщення, а - пункт призначення. Перший розподіл являється першим опорним планом. Для цього будується транспортна таблиця.
| | А1 | А2 | Аm |
| В1 | Х11 | Х12 | Х1m |
| В2 | Х21 | Х22 | Х2m |
| ... | | | |
| Вк | Xk1 | Xk2 | Xkm |
5. Градієнт функції f(x) та його використання для дослідження на екстремум функції.
Градієнтом від функції f(x)=f(x1,x2, ...xn) буде вектор, компонентами якого є частинні похідні по кожній компоненті. Градієнт позн-ся
.Послідовність дослідження функції на екстремум з використанням градієнта:
f(x)→max(min),
1)q(x)=0, q(x)=(q1(x), q2(x)…qm(x))
2) розбиваємо х на у і z
3)знаходимо матрицю Якобі і управляючу матрицю
4) знаходиться добуток J-1 *С
5) знаходиться стаціонарна точка
, і значення х підставляється у рівняння 
6) якщо <0, то максимум, а якщо >0, то мінімум.
6. Описати алгоритм знаходження першого опорного плану.
Нехай
та . Причому, аi , вj >0; В загальному випадку в – складські приміщення, а - пункт призначення. Для побудови першого опорного плану слід побудувати таблицю такого вигляду
| | А1 | А2 | Аm |
| В1 | | | |
| В2 | | | |
| ... | | | |
| Вк | | | |
Далі необхідно заповнити комірки за такими правилами:
1) якщо а1>в1, то комірка Х11 заповнюється значенням в1, після чого в комірках Х1m ставиться прочерк, а залишок (а1- в1) порівнюють із значенням в2 за аналогічною схемою. Сума по першому стовпчику має дорівнювати а1.
3) якщо а1<в1, то в комірку Х11 записується значення а1, а вниз по вертикалі у комірках ставляться прочерки. Різниця (в1 –а1) розноситься по горизонтальним коміркам першого рядка, причому сума по рядку має дорівнювати в1.
Аналогічні перетворення слід виконати для кожного елемента матриць а та в. Після цього отримаємо таблицю, в якій деякі комірки будуть заповнені, а деякі—ні. Отримаємо так званий перший розподіл, який і являється першим опорним планом.
7. Стаціонарна точка. Матриця Гессе та її використання для дослідження функції f(x) на екстремум.
Нехай дана ф-я f(x), х=(х1, х2, ...хn).Матриця Гесе в загальному випадку має вигляд
Елементи матриці будуть симетричними відносно головної діагоналі.Алгоритм знаходження екстремуму з використанням матриці Гесе:
Знаходимо стаціонарну точки
Будується матриця Гесе Н=() і знаходиться Н в стаціонарній точці
Досліджують матрицю на екстремум (якщо матриця Гесе буде додатньовизначеною, то в точці буде мінімум, а якщо від’ємно— то максимум.
8. Цільова функція для транспортної задачі та умови яким мають задовольняти змінні хij
Цільова функція (відображає сукупні витрати для певного плану перевезень):
Цільова функція мінімальна при оптимальному опорному плані. Зміст транспортної задачі полягає в знаходженні множини змінних Хij0, i= 1,m j= 1,n, що задовольняють умовам:
Xij0 і таких, при яких цільова функція досягає мінімуму.
9. Метод приведенного градієнта (Метод Якобі).
Метод Якобі застосовується у випадках, коли слід дослідити f(x) →min(max), де х=(х1,х2,…хn) при обмеженнях q(x)=0, де q=(q1,q2…qm).
Послідовність дослідження функції на екстремум за методом Якобі:
f(x)→max(min),
1)q(x)=0, q(x)=(q1(x), q2(x)…qm(x))
2) розбиваємо х на у і z
3)знаходимо матрицю Якобі і управляючу матрицю
4) знаходиться добуток J-1 *С
5) знаходиться стаціонарна точка
і значення х підставляється у рівняння
6) якщо <0, то максимум, а якщо >0, то мінімум.
10. Описати алгоритм подвійного симплекс-методу.
Якщо
; 
то обернена задача записується так 
Здійснивши ці перетворення, необхідно побудувати симплексну таблицю, яка має такий вигляд
| | | x1 | xn | b | Qi |
| | | X11 | X1n | b1 | |
| | | X21 | X2n | в2 | |
| ∆j | L | -c1 | -cn | | |
Далі знаходимо розрахунковий стовпчик по найменшому значенню С. Знаходимо розрахунковий рядок. Для цього в ділимо на коефіцієнти і беремо з них найменше. Всі решта елементів (крім розрахункового елемента) розрахункового стовпчика = 0, а елементи рядка ділимо на розрахунковий елемент. Далі використовуємо метод Дж. Гаусса Процес проходить доки елементи рядка стануть + (а коли досліджуємо на min то -) або=0.
следующая страница >>
