asyan.org
добавить свой файл
  1 ... 2 3 4 5
^

Залишковий член формули трапеції.




Займемось тепер формулою (6) при попередніх здогатках відносно функції . Скориставшись інтерполяційною формулою Лагранжа із залишковим членом можемо написати
.
Інтегруя цю формули від до , знайдемо
,


так що залишковий член формули (6) буде
.
Розмірковуючи, як і вище, і користуючись тим, що другий множник підінтегральної функції і тут не змінює знака, знайдемо
.
Нарешті, для випадку ділення проміжку на рівних частин
(14).
Таким є залишковий член формули трапецій (2). При зростанні він також зменьшуеться приблизно як . Ми бачемо, що застосування формули трапецій приводить до похибки того ж порядку, що і для формули прямокутників.

^

Залишковий член формули Сімпсона.



Звернемося, нарешті до формули (8). Можно було б, аналогічно тому, як це було зроблено тількі що, знов скористатись формулою Лагранжа з залишковим членом і покласти
(15).
Но ми стикаємося тут з таким станом речей, а саме, проінтегрувавши рівність (15), ми не змогли б спростити інтегральний вираз для додаткового члену за допомогою теореми про середне, бо вираз в підінтегральній функції вже змінює знак на проміжку . Тому ми зробимо інакше.

Вираз
,


яким би не було число , в точках , , приймає одні і тіж значення, що і функція . Легко підібрати число так, щоб і похідна цього виразу при співпадала з похідною . Таким чином, при цьому значенні ми маємо не що інше, як інтерполяційний многчлен Эрміта, який відповідаї простим вузлам , і двукратному вузлу . Скориставшись формулою Эрміта з залишковим членом – в пропушенні існування для функції похідних до четвертого порядку включно – отримаємо:
.
Тепер проінтегрувавши цю равність від до ; ми знайдемо, що



так як
.
Якщо припустити похідну неперервною, то, як і в попередніх випадках, залишковий член формули (8)
,


користуючись тим, що другий множник в підінтергальному виразі не змінює знака, можно підставити в такому вигляді2:

.
Якщо проміжок розділити на рівних частин, то – для формули Сімпсона (10) – отримаємо залишковий член у вигляді
(16).
При зростанні цей вираз зменьшується приблизно як ; таким чином, формула Симпсона дійсно більш вигідна, ніж попередні дві формули.



<< предыдущая страница   следующая страница >>