asyan.org
добавить свой файл
1


НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНА КАРТКА (ПЛАН) УРОКУ № 48(97)
Предмет – «Математика»
Тема уроку – Лінійний кут між площинами. Перпендикулярність площин, ознака перпендикулярності площин. Відстань від точки до площини
Тип уроку – комбінований. Час – 90 хв.
Мета уроку:

Дидактична – Формування поняття перпендикулярності площин. Вивчення ознаки перпендикулярності площин. Формування вмінь застосовувати означення та ознаку перпендикулярності площин до розв’язування задач. Формування поняття кута між мимобіжними прямими, а також вмінь знаходити кути між мимобіжними прямими. Формування поняття кута між прямою і площиною, а також вмінь знаходити кути маж прямою і площиною. Формування поняття кута між площинами та вмінь знаходити кути між площинами. Формування понять спільного перпендикуляра, відстані між мимобіжними прямими. Формування вмінь учнів у знаходженні відстані між двома мимобіжними прямими. Вивчити теорему про площу ортогональної проекції многокутника, формування вмінь застосовувати теорему до розв’язування задач

Розвивальна – розвивати пам'ять і мислення; розвивати цікавість до математики, прагнення краще вчити предмет; здатність до творчого застосування знань і вдосконалення умінь, просторову уяву;

Виховна – виховувати наполегливість і відповідальність, допитливість, уважність, натхнення, любов до навчання та вміння працювати разом.
Матеріально-технічне забезпечення та дидактичні засоби: підручник,таблиця, тестові завдання.

Література:

  1. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А. Геометрія 10кл. – К., 2010

  2. Нелін Є.П. Геометрія 10 кл. – Х, 2010


^ ХІД УРОКУ:

  1. Організаційна частина:

вітаюсь, перевірка присутності студентів і готовності аудиторії до уроку.


  1. .Актуалізація опорних знань студентів:

Самостійна робота.


  1. Повідомлення теми і мети уроку:

Лінійний кут між площинами. Перпендикулярність площин, ознака перпендикулярності площин. Відстань від точки до площини


4. Повідомлення нових знань за планом:

  1. Поняття кута між прямими, які перетинаються.

  2. Кут між мимобіжними прямими.

  3. Кут між прямою і площиною.

  4. Поняття кута між площинами.

  5. Перпендикулярність площин.

  6. Ознака перпендикулярності площин.

  7. Відстань між мимобіжними прямими.



5. Узагальнення набутих знань:

    1. Які площини називаються перпендикулярними?

    2. Сформулюйте ознаку перпендикулярності площин.

    3. Як розташована пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин і перпендикулярна до лінії перетину цих площин, відносно другої площини?

    4. Що називається кутом між мимобіжними прямими?

    5. Чи залежить кут між мимобіжними прямими від вибору прямих, які перетинаються?

    6. Сформулюйте узагальнене означення перпендикулярності прямої і площини.

    7. Сформулюйте узагальнену ознаку перпендикулярності прямої і площини.

    8. Сформулюйте узагальнену теорему про три перпендикуляри.

    9. Дайте означення кута між прямою і площиною.

    10. В яких межах знаходиться кутова міра кута між прямою і площиною?

    11. Дайте означення кута між площинами.

    12. Чи залежить величина кута між площинами від вибору січної площини?


Виконання вправ (додаток №1)

Математичний диктант.
6. Домашнє завдання:

[1], §12-13, №475, 489, 494Перпендикулярність площин, ознака перпендикулярності площин


  1. Поняття кута між прямими, які перетинаються.

Якщо дві прямі перетинаються, вони утворюють чотири кути (попарно вертикальні або попарно суміжні). Кутова міра меншого з них називається кутом між даними прямими, що перетинаються. Кут між прямими, що перетинаються, не перевищує 90° .

Якщо прямі перпендикулярні, то величина кута між цими прямими дорівнює 90°.

Кут між паралельними прямими вважають таким, що дорівнює 0°.

Слід зазначити, що кут між прямими - це не геометрична фігура, це - величина.


  1. Кут між мимобіжними прямими.

Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які перетинаються і паралельні відповідно даним мимобіжним прямим.

Кут між мимобіжними прямими, як і між прямими однієї площини, не може бути більше 90° . Дві мимобіжні прямі, які утворюють кут в 90° , називаються перпендикулярними.

Узагальнене означення перпендикулярності прямої і площини.

Якщо пряма перпендикулярна до площини, то вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

Узагальнена ознака перпендикулярності прямої і площини.

Якщо пряма перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що перетинаються, то вона перпендикулярна до площини.

Узагальнена теорема про три перпендикуляри.

Будь-яка пряма на площині, перпендикулярна до проекції похилої на цю площину, перпендикулярна і до похилої. І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.


  1. Кут між прямою і площиною.

Ми розглянули випадки розміщення прямої і площини: 1) пряма лежить у площині; 2) пряма паралельна площині; 3) пряма перпендикулярна до площини.

Залишається дослідити випадок, коли пряма перетинає площину, але не перпендикулярна до неї.

Такі прямі можуть бути нахилені до площини під різними кутами. Що ж розуміють під кутом між прямою і площиною?

Якщо пряма паралельна площині або належить їй, то вважають, що кут між прямою і площиною дорівнює 0°.

Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між ними дорівнює 90°.

У решті випадків кутом між прямою і площиною називають кут між прямою і її проекцією (ортогональною) на площину.


  1. Поняття кута між площинами.

Нехай дано дві площини і , які перетинаються по прямій с. Проведемо площину, яка перпендикулярна до прямої с, вона перетне площини і по прямих а і b. Кут між прямими a і b називається кутом між площинами і .

^ Кут між двома площинами, які перетинаються, - це кут між прямими перетину цих площин із площиною, перпендикулярною до лінії перетину даних площин.

Якщо площини паралельні, то кут між ними дорівнює 0° .

Якщо площини перпендикулярні, то кут між ними дорівнює 90° .

Отже, якщо - кут між площинами, то .


  1. Поняття перпендикулярних площин.

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, проведена перпендикулярно до лінії перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.


  1. Ознака перпендикулярності площин.

Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.



Дано: , , , , .

Довести: .

Доведення

Нехай і перетинаються по прямій с, а пряма с перетинається з в точці А. Через точку А в площині проведемо пряму а, . Через і проведемо площину , отже, . Оскільки , то .

Додаток №1

Перпендикулярність площин. Ознака перпендикулярності площин

  1. - куб.

Знайдіть кут між прямими: а) і ; б) і ; в) і АВ; г) АС і .

(Відповідь: а) 60° ; б) 90° ; в) 45° ; г) .)

  1. Прямі а і b перетинаються під кутом 30°, а прямі а і с - під кутом 60° . Чи можуть бути перпендикулярними прямі b і с?

(Відповідь: Так.)


  1. - прямокутний паралелепіпед, в якому АВ = а , АD = b , = с . Знайдіть кут між прямими: а) і АВ; б) АD і ; в) ВD і АВ; г) і .

(Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) .)


  1. Дано зображення куба.



Знайдіть кут між мимобіжними прямими а і b

(Відповідь, а) 90° ; б) 45° ; в) 60° ; г) 90° ; д) 90° ; є) 90°.)


  1. Пряма SА перпендикулярна до сторін АВ і АС трикутника АВС. Знайти кут між прямими SА і ВС.

(Відповідь. 90° .)


  1. Точки К і М середини ребер АВ і DС трикутної піраміди DАВС, кожне ребро якої дорівнює а. Доведіть, що КМАВ . Знайдіть довжину відрізка КМ.

(Відповідь: а.)


  1. У кубі проведено переріз січною площиною, яка проходить через точки , С, D. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які - неправильні:



а) площина перпендикулярна до прямої ;

б) кут між прямою АD і площиною дорівнює 45° ;

в) кут між прямою АВ і січною площиною дорівнює 0°;

г) кут між прямою і площиною дорівнює 90° .


  1. Дано зображення куба. Знайдіть кут між площиною АВС і прямою а.



(Відповідь, а) 90° ; б) 0° ; в) 45° ; г) 45° ; д) .)

  1. Дано зображення куба. Знайдіть кут між площинами АВС і АВD.



(Відповідь, а) 90° ; б) 45° ; в) ; г) 2 ; д) 0°; е) 90°.)


  1. Наведіть приклади моделей перпендикулярних площин із оточення.




  1. Покажіть на моделі прямокутного паралелепіпеда перпендикулярні грані (площини).




  1. Дано зображення куба . Укажіть площини, які перпендикулярні до площини:

а)АВС; б) ; в)


  1. На двох перпендикулярних площинах вибрали по прямій. Чи може статися, що ці прямі:

а) паралельні; б) перетинаються; в) мимобіжні?

Відповідь проілюструйте прикладами з оточення.


  1. Як на практиці встановити, чи перпендикулярна площина стіни до площини підлоги?




  1. Чи правильні твердження:

а) через точку, взяту поза площиною, можна провести площину, перпендикулярну до цієї площини, і притому тільки одну;

б) якщо площина перпендикулярна до даної площини, то вона перпендикулярна і до довільної прямої, паралельної цій площині?


  1. Дано куб . Враховуючи, що ребра куба, які виходять з однієї вершини, попарно перпендикулярні, укажіть серед наведених тверджень правильні:

а) площини і перпендикулярні;

б) площини і перпендикулярні;

в) площини і перпендикулярні;

г) площини і перпендикулярні.


  1. Дано дві перпендикулярні площини і та пряму с, яка перпендикулярна до площини . Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які - неправильні:

а) пряма с обов'язково належить площині ;

б) пряма с може бути паралельною площині ;

в) якщо пряма с належить площині , то вона паралельна лінії перетину площин і ;

г) будь-яка площина, яка містить пряму с, перпендикулярна до площини .


  1. АВСD - квадрат,



  1. Запишіть площини, які перпендикулярні:

а) до площини SАВ;

б) до площини SАD;

в) до площини SВС;

г) до площини АВС;

д) до площин SАВ і АВС.

^ Відповідь: а) (АВС) і (SАВ); б) (SАВ) і (АВС); в) (SАВ); г) (SАВ), (SАС), (SАD); д) (SАD).

  1. Через вершину А трикутника АВС проведено пряму а, перпендикулярну до площини трикутника. Знайдіть відстань між прямими а і ВС, якщо АВ = 13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см.

(Відповідь. 12 см.)

  1. До площини квадрата АВСD проведено перпендикуляр КD. Сторона квадрата дорівнює 5 см. Знайдіть відстань між прямими: 1) АВ і КD; 2) КD і АС.

(Відповідь. 1) 5 см; 2) см.)

  1. Прямокутники АВСD і АВМК лежать у різних площинах. Сума їх периметрів дорівнює 46 см, АК=6 см, ВС=5 см. Знайдіть відстань між прямими АК і ВС.

(Відповідь. 6 см.)

  1. Через точку перетину діагоналей квадрата АВСD проведено перпендикуляр МО до його площини; МО= , АВ= 2а . Знайдіть відстань між прямими: 1) АВ і МО; 2) ВD і МС.

(Відповідь. 1) а; 2) а.)

  1. Ребро куба дорівнює 10 см. Знайдіть відстань між прямими а і b



(Відповідь, а) см; б) см; в) см; г) см; д) см, е) см.)
Математичний диктант

Дано зображення куба:



Ребро куба дорівнює а

Знайдіть відстань між прямими:

1) AB і LK

2) AK і CN

3) AN і KM

4) DL і AB

5) AL і BK

6) KN і AB

Відповідь: Варіант 1. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ,

Варіант 2. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .