asyan.org
добавить свой файл
1 2
§3. Схема незалежних спроб. Формула Бернуллі. Граничні теореми.

В численних застосуваннях теорії ймовірностей часто зустрічається схема незалежних спроб (або схема Бернуллі).

3.1. Схема незалежних спроб. Формула Бернуллі.

Нехай проводиться скінченне число спроб, в результаті яких може з´явитися подія з певною ймовірністю , причому ймовірність не залежить від наслідків інших спроб. Такі спроби назвемо незалежними відносно події .

Обчислимо ймовірність того, що в результаті проведення незалежних спроб подія наступить рівно разів, якщо в кожній із спроб вона наступає із сталою ймовірністю або не наступає з ймовірністю . Позначимо шукану ймовірність , це означає, що в спробах подія з´явиться разів. Зауважимо, що тут не вимага-ється, щоб подія повторилася разів в певній послідовності. Для розв´язання поставленої задачі при великих значеннях і безпосереднє застосування теорем додавання і множення ймовірностей приводить до громіздких розрахунків, тому зручніше користуватися формулою Бернуллі, до виведення якої ми приступимо.

Ймовірність того, що подія в спробах з´явиться рівно разів, а в решті - спроб з´явиться протилежна подія , за теоремою множення ймовірностей незалежних подій дорівнює . При цьому подія в спробах може з´явитися рівно разів в різних комбінаціях, число яких . Оскільки всі комбінації подій є подіями несумісними і нам байдуже, в якій послідовності з´явиться подія або подія , то, застосовуючи теорему додавання ймовірностей несумісних подій, отримаємо формулу Бернуллі

==. (1)

Ймовірності називаються біномними , оскільки вони мають відношення до формули бінома Ньютона

++…++…++, або

+++…++…++=1.
Приклад 1. Гральний кубик підкидають тричі. Яка ймовірність того, що при цьому двічі випаде 6 очок?

Розв’язання. Нехай подія : при одному кидку випаде 6 очок. Ймовірність , відповідно . Тут Отже, за формулою (1)

=

Цей результат потрібно трактувати так: якщо такий дослід проводити багато разів, то в середньому в 5 випадках із 72 грань з 6 очками випаде рівно два рази.

^ 3.2. Найімовірніше число появ події.

Найімовірнішим числом появ події в незалежних спробах називається число, для якого ймовірність перевищує або принаймні не менша ймовірності кожного з решти можливих наслідків спроб.

Нехай цьому числу відповідає ймовірність

=. (2)

Тоді, за означенням числа , ймовірності та не повинні перевищувати , тобто повинні виконуватися умови

, (3)

. (4)

Із нерівності (3) маємо

,

або після спрощення , звідки

. (5)

Аналогічно із (4) маємо

,

або , звідки

. (6)

Об’єднавши нерівності (5) і (6), отримаємо подвійну нерівність

, (7)

з якої і визначається найімовірніше число появ події.

Зауважимо, що довжина інтервала (7) дорівнює 1: =

Тому, якщо межі цього інтервала - дробові числа, то отримаємо тільки одне значення , якщо ж межі є цілими числами, то отримаємо два значення найімовірнішого числа

= та =.

Приклад 2. Підприємство випускає 85% продукції вищого гатунку. Знайти найімовірніше число виробів вищого гатунку в партії із 150 виробів.

Розв’язання. Тут Із нерівності (7) маємо



або . Звідки

Варто відзначити особливу роль числа - в певному сенсі його можна трактувати як середнє число появ події в спробах.
Для великих значень безпосереднє застосування формули Бернуллі є нераціональним, тому для обчислення ймовірності використовують інші, так звані асимптотичні, формули, що базуються на граничних теоремах.

^ 3.3. Локальна теорема Муавра – Лапласа.

Якщо ймовірність появи події в кожній спробі стала і така, що , то ймовірність числа появ події в спробах обчислюється за формулою

, (8)

де .

Функція - парна, для неї складені таблиці значень при .



следующая страница >>