asyan.org
добавить свой файл
1 2 ... 5 6



Р о з д і л 4
МЕТОДИКА ПОБУДОВИ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ЧАСОВИХ РЯДІВ

Розглянемо методику побудови математичних моделей, яка більше орієнтована на побудову моделей фінансово-економічних, соціальних та екологічних процесів, для яких, як правило, набагато складніше поставити експеримент (або неможливо взагалі) та отримати інформативні експериментальні дані в достатньому об’ємі. У наведеному вигляді ця методика також може бути успішно застосована до побудови моделей динаміки технічних систем і технологічних процесів при належному плануванні та реалізації експерименту з метою збору даних, необхідних для побудови високоякісних моделей.
Основи методики побудови моделей і аналізу часових рядів запропоновані Боксом і Дженкінсом у роботі [7]. Модифікована авторами методика побудови математичної моделі процесу з використанням даних у вигляді часового ряду і часового перерізу, складається з таких кроків:

– Виконання аналізу процесу, для якого будується модель, на основі спеціальних літературних джерел, експертних оцінок протікання процесу, візуального дослідження графіків вимірів вхідних і вихідних змінних, представлених часовими рядами або часовими перерізами, та іншої доступної інформації.

– Попередня обробка експериментальних даних з метою їх приведення до форми, найбільш придатної для оцінювання параметрів (коефіцієнтів) моделі.

– Аналіз часових рядів на можливу наявність нестаціонарності і нелінійності за допомогою множини статистичних критеріїв.

– Вибір (формування) структури моделей-кандидатів, для чого необхідно виконати такі дії: (1) обчислити та виконати аналіз кореляційної матриці для часових рядів залежної та незалежних змінних з метою визначення тих екзогенних змінних, які необхідно включити в модель; (2) обчислити автокореляційну (АКФ) та часткову автокореляційну функції (ЧАКФ) залежної змінної з метою визначення оцінки порядку авторегресійної частини моделі та ковзного середнього; (3) оцінити характеристики інших елементів структури математичної моделі, що буде розглянуто нижче.

– Вибрати метод (методи) оцінювання параметрів математичних моделей вибраних структур і обчислити оцінки векторів їх параметрів. Найчастіше це метод найменших квадратів (МНК), метод максимальної правдоподібності (ММП) та їх модифікації (рекурсивні та нелінійні). В окремих випадках застосовують метод Монте Карло для марковських ланцюгів (МКМЛ), який придатний для оцінювання нелінійних моделей.

– Вибрати кращу з оцінених моделей-кандидатів за допомогою множини статистичних критеріїв адекватності (якості) моделі. Застосувати модель до розв’язання основної задачі – прогнозування, синтезу системи керування або поглибленого дослідження процесу і остаточно встановити її придатність.

Тепер розглянемо докладніше кожний з етапів побудови моделі.



    1. ^ Аналіз процесу

Аналіз процесу – це надзвичайно важливий етап, коректне виконання якого потребує досвіду дослідження реальних процесів різної природи. Ігнорування цього етапу призводить до неможливості побудови моделі високого ступеня адекватності процесу та її придатності для розв’язання задач, згаданих вище. Аналіз процесу спрямовується на розв’язання таких задач:

  • визначення кількості входів і виходів, тобто визначення вимірності процесу; як правило, вимірність визначається кількістю виходів процесу, кожний із яких описують окремим рівнянням;

  • встановлення логічних зв’язків між змінними та аналіз можливостей їх спільного математичного опису (коректного об’єднання в одному математичному виразі); для цього необхідно використати всю наявну інформацію про процес із спеціальної літератури, наукових звітів та від експертів;

  • визначення кількості зовнішніх збурень та їх типу (детерміноване чи стохастичне) та попереднє встановлення можливості їх статистичного опису за допомогою конкретних типів розподілів випадкових величин;

  • встановлення можливості декомпозиції процесу на окремі підпроцеси, які є простішими як з точку зору їх функціонування, так і з точки зору математичного опису; декомпозиція – це досить складний процес, який грунтується на спеціальних математичних методах;

  • якщо процес має ієрархічну структуру (верхній та нижній рівень функціонування, або більшу кількість рівнів), то необхідно чітко розмежувати ці рівні, визначити функції кожного з них і встановити які типи зв’язків існують між ними; наприклад, технологічні процеси часто можна розмежувати на два і більше рівнів, які зв’язані між собою інформаційними потоками, за логічними ознаками і т. ін.;

  • використання знань із спеціальної літератури стосовно особливостей функціонування процесу, відомих законів та закономірностей його протікання, виявлення існуючих моделей процесу та досвіду його теоретичного чи експериментального дослідження;

  • при наявності розроблених моделей досліджуваного процесу необхідно встановити їх недоліки та переваги, а також визначити можливість подальшого використання (модифікації); аналіз і використання існуючих моделей надає можливість дослідникам суттєво скоротити час та інші витрати на побудову і використання моделі.

Отриману інформацію максимально використовують для попереднього оцінювання структури моделі або декількох моделей-кандидатів, параметри яких оцінюють за допомогою експериментальних даних. В процесі виконання аналізу функціонування досліджуваного процесу доцільно використовувати та порівнювати інформацію з різних джерел. Це особливо стосується фінансово-економічних процесів, щодо яких може надходити інформація з суттєвими протиріччями, пропусками і похибками.



    1. ^ Попередня обробка даних


Процес попередньої обробки експериментальних (статистичних) даних складається, як правило, з таких операцій:

  • нормування та візуальна перевірка даних і, при необхідності, їх корегування; нормування даних означає їх логарифмування або приведення до зручного діапазону їх зміни, наприклад, від 0 до 1; від –1 до +1; від +10 до –10 і т. ін.;

  • корегування даних полягає у заповненні пропусків та зменшенні рівнів викидів (екстремальних імпульсних значень), що виходять за основний діапазон значень змінних;

  • бутстреп аналіз з метою збільшення об’ємів вибірок (розмноження вибірки);

  • заміна некоректних вимірів інтерпольованими або усередненими значеннями;

  • формування перших та різниць вищих порядків, які необхідні для аналізу відповідних складових процесу, представленого часовом рядом;

  • ортогональні перетворення і цифрова фільтрація даних з метою вилучення шумових складових.

Поширеним методом нормування даних є їх логарифмування з наступним формуванням додаткових часових рядів з перших чи других різниць. Нагадаємо, що перші різниці представляють собою наближений дискретний аналог першої похідної, а другі різниці – другої похідної. Використання різниць дає можливість будувати моделі для швидкості та прискорення основної змінної. Часто із значень ряду віднімають його середнє для того щоб отримати можливість працювати з відхиленнями, а не повними значеннями змінних. Такий підхід застосовують, наприклад, при побудові моделей у просторі станів з їх подальшим використанням для оптимальної фільтрації або оптимального керування процесом.

  • Досить хороші результати нормування при оцінюванні множинної регресії

(4.2.1)

можна досягти завдяки одночасному нормуванню і центруванню даних таким чином:

, , ;

, (4.2.2)

де значення го стовпчика матриці вимірів (виміри незалежних змінних); виміри залежної змінної; нормовані значення змінних; вибіркові середні значення незалежних і залежної змінних, відповідно; кількість вимірів; кількість незалежних змінних (регресорів) . Якщо ввести позначення для центрованих змінних

; , (4.2.3)

то регресія для центрованих змінних матиме вигляд:

. (4.2.4)

Якщо підставити (4.2.2) в (4.2.4), то рівняння множинної регресії прийме вигляд:

. (4.2.5)

Тепер поділимо ліву і праву частини на :

, (4.2.6)

де . Отримане рівняння (4.2.6) – це рівняння для нормованих вимірів.

В результаті центрування і нормування покращується ступінь обумовленості матриці вимірів, яка вимірюється відношенням:

,

де максимальне і мінімальне власні числа матриці вимірів. Для забезпечення належних умов оцінювання параметрів необхідно задовольнити умову: .

Застосування того чи іншого методу підготовки даних для моделювання визначається у кожному випадку по-своєму.




следующая страница >>