asyan.org
добавить свой файл
1 2
Реалізація принципу наступності

під час вивчення математики –

необхідна умова забезпечення якості

математичної освіти.

Розвиток творчих здібностей.
В методической литературе по математике общепризнанной является следующая система дидактических принципов:

1. Принцип воспитания в обучении математике.

2. Принцип научности в обучении математике.

3. Принцип сознательности, активности и самостоятельности в обучении математике.

4. Принцип систематичности и последовательности в обучении математике.

5. Принцип доступности в обучении математике.

6. Принцип наглядности в обучении математике.

7. Принцип индивидуального подхода к учащимся в обучении математике.

8. Принцип преемственности в обучении математике.

Принцип преемственности в обучении характеризует опора на пройденное, дальнейшее развитие имеющихся у учащихся знаний, умений н навыков, установление связей между новыми и ранее приобретенными знаниями. В результате этого знания становятся прочными и глубокими.

Преемственность в обучении математике означает, что обучение осуществляется в соответствии с правилами обучения:

а) от простого к сложному;

б) от легкого к трудному ;

в) от известного к неизвестному;

г) от представлений к понятиям;

д) от знания к умению, а от него к навыку.

Учитель реализует этот принцип, если обучение математике представляет собой цепочку последовательных шагов, каждый из которых последовательно дополняет известные учащимся знания, умения и навыки разумной дозой новых знаний, умений и навыков.

Успешная реализация принципа преемственности в обучении во многом зависит от того, какое значение придается учителем межпредметным связям в обучении, как скоординированы требования к учащимся между преподавателями различных учебных предметов, соблюдается ли преемственность в изучении отдельных тем и учебных предметов. При этом важное значение приобретает преемственность обучения в младших, средних и старших классах.

   Являясь одним из дидактических принципов обучения, преемственность характеризуется требованиями, предъявляемыми к основным компонентам педагогической системы и обеспечивающими сохранение качества и углубления содержания при переходе от одной ступени обучения к другой. Принцип преемственности предполагает установление необходимых связей и правильных соотношений между различными частями учебного материала и организацией учебного процесса на разных ступенях его изучения.

   Преемственность – это дидактический принцип и психологическая категория, поэтому традиционно конструирование содержания и выбор приемов деятельности требуют учета следующих трех аспектов:
логико-содержательного, который является определяющим при построении учебной дисциплины. При этом понятия, законы и факты располагаются в логике развития изучаемой отрасли знаний;
логико-психологического, предполагающего дидактическую переработку этого содержания с учетом возрастных особенностей учащихся;
ценностно-смыслового, который предполагает включение воли, эмоций, чувства и действий ученика в процессе освоения предметного содержания.
   Указанные три аспекта в зависимости от стоящих перед обучением целей и задач претерпевают некоторые изменения.

   С изменением целей обучения принцип преемственности сохраняется, но это не означат, что остается неизменным его содержание. Сегодня преемственность рассматривается “не только как усложнение содержания и увеличения объема передачи эффективных способов деятельности”.

   Изменение содержания, принципа преемственности требует иных подходов к построению школьного курса математики.

   Общая цель современного математического образования школьников – формирование всесторонне образованной и инициативной личности, до сознания которой доведена система взглядов, идейно-нравственных, культурных и эстетических принципов, норм поведения, которые складываются в ходе учебно-воспитательного процесса и готовят подрастающее поколение к активной деятельности и непрерывному образованию в быстро меняющемся мире.

   Образование в XXI веке все меньше связывается с конкретным временным моментом или периодом, в который приобретаются знания и умения. Если образование в прошлом рассматривалось только лишь как процесс приобретения и накопления специальных знаний и навыков, подготовка к определенным видам деятельности, то сегодня роль образования меняется. Оно становится не только потенциалом успеха в повседневной деятельности, но и функцией, и средством управления. Такая роль образования сегодня определяется динамикой развития, резким усложнением проблем (экологии, качества жизни, безопасности жизнедеятельности, конкуренции, изменения структуры интересов и пр.). Само развитие производства и общества требует непрерывного образования, а это означает необходимость “включения” его в повседневную деятельность человека.

   Требованием времени является тот факт, что современное образование призвано обеспечить у школьника готовность к дальнейшему развитию. Это, значит, “учить детей так, чтобы даже самые глубокие изменения в окружающем мире не смогли поставить их в тупик. Ориентировать ребенка на возможное обучение, в создании которого ему так или иначе придется участвовать, а не на мифологическое прошлое, продолжающее жить в виде стереотипных формул, рекомендаций и установок, и даже не на многоликое, еще как следует не осмысленное настоящее – мы все равно не угадаем, что из него останется жить завтра и послезавтра” Иными словами, необходима ориентация на творческое начало в учебной деятельности школьников, в частности, на потребность и умение самостоятельно находить решение не встречавшихся ранее учебных и вне учебных задач.

  

Школьная математика отражает в своем содержании современное состояние математической науки, что предопределяет выделение в ее содержании систем взаимосвязанных знаний, образующих единую определенную целостность,

математические знания в начальной школе должны “вплетаться” в существующие системы основной школы. В процессе изучения математики в сознании школьников должна формироваться математическая картина мира, которая отражает представления человека о пространственных формах и количественных отношениях – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей. Она является, несомненно, основополагающим элементом математической культуры человека. Математическая культура учащихся формируется на протяжении всего школьного образования. К элементам математической культуры относят, в частности, овладение языком научных фактов – основой эмпирических знаний. Язык математических названий во многом определяет особенности математического языка в целом. Знание определенного объема математической номенклатуры служит одним из признаков математической культуры. Теоретические знания объективно сложнее эмпирических, поэтому для учащихся начальной школы наиболее доступными будут именно эмпирические знания. Следовательно, уже на первой ступени обучения математическим знаниям должны быть заложены элементы математической культуры.

   Применительно к обучению математическим знаниям в начальной школе на сегодняшний день остается нерешенным вопрос об оптимальной сложности изучаемого материала. В дидактике имеется несколько показателей сложности учебного материала, в частности отношение к теоретическому и эмпирическому уровню познания. Теоретические знания, как было указано, сложнее. Соотношение доли эмпирических знаний относительно доли теоретических в содержании начального обучения – одна из ключевых проблем преемственности между начальной и основной ступенями обучения.

   Для развития познавательного интереса у учащихся содержание должно включать темы, требующие обсуждения какой-либо нравственной проблемы, ценностной ориентации или принятия решения. Следовательно, математическое содержание для начальной школы должно отбираться с учетом идеи гуманизации и идеи практической направленности математического образования, как в формировании знаний, так и умений, по возможности приближенных к реальным жизненным ситуациям.

   Такой подход к построению содержания в начальной школе согласуется с целями математического образования в основной школе и предусматривает гуманизацию и усиление практической направленности обучения, что, в свою очередь, способствует обеспечению преемственности.


Початкова школа --друга ступінь –

.

Навчання математики в 5-х класах загальноосвітніх навчальних закладах у 2004/2005 навчальному році буде здійснюватися за новими програмами, надрукованими у збірнику “Програми для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика. 5-12 класи” видавництва “Перун”, Київ, 2005р. та у науково-методичному журналі “Математика в школі”.
Навчання математики в школі ґрунтується на низці концептуальних положень.
1. Зміст сучасної шкільної математичної освіти - це не просто знання, уміння і навички, а людська культура, що знаходить відображення в освітній галузі “Математика”.

Мета навчання математики - всебічний розвиток дитини.

Основні завдання навчання математики:

- забезпечення свідомого оволодіння учнями системою математичних знань, умінь і навичок, необхідних у повсякденному житті і майбутній трудовій діяльності, достатніх для успішного опанування інших знань і здійснення неперервної освіти.

- інтелектуальний розвиток учнів (розвиток логічного і просторового мислення, інформаційної та графічної культури, пам'яті, уваги, інтуїції тощо);

- формування в учнів наукового світогляду, уявлень про ідеї і методи математики та її роль у пізнанні навколишнього світу;

- економічне, екологічне, естетичне, патріотичне виховання;

- розвиток позитивних рис особистості і загальнолюдських духовних цінностей.
Навчання учнів математики наприкінці навчального року має забезпечити їм особисті досягнення, виражені у таких загальнопредметних компетенціях:

- знання арифметичних дій та вміння використовувати їх на практиці;

- пропедевтичні знання алгебраїчного і геометричного матеріалу;

- володіння креслярськими інструментами для зображення геометричних фігур;

- здатність створювати математичні моделі реальних ситуацій і знаходити за їх допомогою розв'язки задачі.
Навчання математики має сприяти також формуванню в учнів таких ключових компетентностей, як: вміння вчитись, загальнокультурної, підприємницької, використання інформаційно-комунікаційних технологій у навчанні та ін.
Готуючись до викладання математики в 5-му класі, вчителям слід ознайомитись з програмою і підручниками для початкової школи, щоб оцінити базові знання і навчальні можливості п'ятикласників.

Навчання математики в початковій школі створює значне підґрунтя для продовження учнями математичної освіти. Це використано у побудові програми з математики для 5-го класу і має застосовуватися в організації навчально-виховного процесу в школі.
Як у змісті курсу математики, так і в методах, прийомах та засобах його реалізації потрібно дотримуватись принципу наступності між початковою та основною школою. Доцільно зважити на те, що мислення школярів 5-го класу в основному наочно-образне з елементами логічного. А тому доцільно враховувати методику навчання математики у початковій школі.
У програмі з математики для 5-го класу узагальнюються, систематизуються і поглиблюються знання, отримані учнями у початковій школі. Так, у початковій школі учні вивчили тільки підмножину множини натуральних чисел (клас одиниць і клас тисяч), а в п'ятому класі подальшого розвитку набуває поняття числа, числова множина розширюється спочатку до множини натуральних чисел і нуля, а потім до множини додатних раціональних чисел. При цьому враховується, що з поняттям про дріб школярі ознайомлюються у початковій школі. Теми „Координатний промінь”, „Порівняння натуральних чисел, звичайних і десяткових дробів” є підґрунтям для введення таких понять, як координатна пряма, від'ємне число у курсі математики 6-го класу. Вся тема „Звичайні дроби” є пропедевтикою для вивчення дій із звичайними дробами у 6-му класі.
Програма з математики для 5-го класу представлена в табличній формі, що містить дві частини: зміст навчання і вимоги до загальноосвітньої підготовки учнів. У змісті навчання вказано той навчальний матеріал, що підлягає обов'язковому вивченню.
Зміст навчання математики структуровано за двома розділами (“Натуральні числа. Геометричні фігури і величини”, “Дробові числа”) і темами з визначенням кількості годин на їх вивчення. Кожен з розділів включає арифметичний, алгебраїчний і геометричний матеріал. Такий розподіл змісту і навчального часу є орієнтовним. Учителю та авторам підручників надається право коригувати його залежно від прийнятої методичної концепції та конкретних навчальних ситуацій. Наприкінці навчального року передбачено години для узагальнення й систематизації вивченого.
Майже весь арифметичний матеріал першого розділу добре відомий учням з початкової школи. Його розширення відбувається в основному за рахунок збільшення чисел, із якими виконуються дії. Головна мета вивчення арифметичного матеріалу в першому півріччі 5-го класу - це забезпечення наступності у вивченні математики в початковій і основній школі, а також створення відповідних умов для учнів, які переходять на вищий рівень навчання.
У 5-му класі головну увагу слід зосередити на таких аспектах вивчення арифметичного матеріалу:

- читання, записування та порівняння багатоцифрових чисел;

- властивості арифметичних дій та удосконалення на їх основі навичок усних і письмових обчислень.
В умовах широкого використання обчислювальної техніки можна зменшити обсяг громіздких обчислень, зокрема таких, що не мають практичного застосування. Водночас читання, записування і порівняння чисел - це елементи загальної, а не лише математичної культури.

У процесі вивчення дій з числами важливим є формування обчислювальних умінь та навичок, але не менш важливим є розуміння суті кожної арифметичної дії та моделювання за допомогою цих дій життєвих ситуацій. При виконанні арифметичних дій школярі здебільшого справляються з дією додавання, а всі інші дії, особливо дія ділення, викликають труднощі. Тому необхідно виконувати достатню кількість вправ на обчислення значень виразів. Вправи на обчислення значень виразів як числових, так і буквених слід періодично повторювати.
Особливу увагу слід зосередити на розв'язуванні текстових задач у темі „Натуральні числа”, за допомогою яких осмислюється відповідність між арифметичною дією і конкретною ситуацією. Більшість учнів „вгадують” дію, що потрібно виконувати, тому важливо при вивченні кожної дії розглядати основні ситуації, що моделюються цією дією.
Крім вивчення числових множин, значна частина курсу математики 5-го класу має пропедевтичний характер. Сказане стосується як алгебраїчного, так і геометричного матеріалу.
В основу вивчення геометричного матеріалу слід покласти наочність та інтуїцію учнів, а також інтеграцію арифметичного та алгебраїчного матеріалу. Інтегруючими ланками тут виступають обчислювальні операції, рівняння та формули, що застосовуються в геометричному матеріалі. Ефективним засобом узагальнення і систематизації, а також розвитку логічного і творчого мислення є використання текстових задач геометричного змісту.
Оскільки у 5-му класі вивчається не систематичний курс геометрії, то, мабуть, не варто строго дотримуватись якоїсь однієї конструкції, а в основу потрібно покласти наочність, приклади із довкілля, життєвий досвід учнів, виконання побудов.
Геометричні поняття доцільно вводити описово, конструктивно. Наприклад, кутом можна називати фігуру, утворену двома променями, що мають спільний початок, і кут, вирізаний із листка паперу, а також кут трикутника, кут прямокутника, тобто потрібно пов'язувати це поняття з життєвим досвідом. Це ж можна сказати про два відрізки однакової довжини, що збігаються при накладанні.
Вивчення і означення трикутників і чотирикутників як окремих видів многокутників створює основу для пропедевтики елементів дедукції, а також сприяє систематизації знань про геометричні фігури. Многокутники, як і кути, розглядаються разом з внутрішньою областю, що дає можливість ділити кут на частини і визначати площу многокутника.
Особливу увагу варто звернути на геометричний матеріал, що має практичне застосування, а саме: на вимірювання геометричних величин і побудову геометричних фігур. При вивченні цього матеріалу потрібно формувати практичні уміння і навички, а саме: виміряти відрізок і побудувати відрізок даної довжини, виміряти кут із заданою градусною мірою, виміряти кути трикутника і побудувати трикутник за заданими сторонами і кутами (простіші випадки), зробити виміри і знайти площу прямокутника, квадрата, а також об'єм прямокутного паралелепіпеда і куба.
Ознайомлення учнів з поняттям величини має бути інтуїтивним, але при цьому не слід нехтувати науковими засадами. Словом величина можна називати тільки геометричні, фізичні астрономічні та інші величини, не використовуючи застарілі словосполучення “величина числа” , “величина дробу”, “абсолютна величина”. Порівнюють, додають і віднімають не величини, а значення величин.
Алгебраїчний матеріал, що розглядається в 5-му класі, вже відомий з початкової школи. Учням знайомі поняття виразу, рівняння і нерівності. В 5-му класі цей матеріал повторюється в першому семестрі, щоб створити міцне підґрунтя для його використання на множині дробових чисел.
Під час розв'язування рівнянь вчителю слід пам'ятати, що у 5-му класі вони призначені в основному для розв'язування арифметичних задач, що у переважній більшості зводяться до нескладних рівнянь. Тому рівняння доцільно розв'язувати з метою усвідомлення залежностей між компонентами арифметичних дій та формування обчислювальних умінь та навичок.
Вимагати від учнів заучування всіх правил розв'язування рівнянь на основі компонентів дій не обов'язково, оскільки в 6-му класі вони ознайомляться з універсальним способом розв'язування лінійних рівнянь, і вивчені раніше правила стануть непотрібними. Обов'язковим для всіх учнів є знаходження невідомого доданка і невідомого множника.
Особливе значення у 5-му класі мають текстові задачі. Вони посідають чільне місце у розвитку логічного мислення, інтуїції, кмітливості. Уміння розв'язувати текстові задачі знаходить широке застосування у повсякденному житті. Для розв'язування задач потрібно: по-перше, вміти розв'язувати елементарні задачі; по-друге, вміти розв'язувати типові задачі; по-третє, володіти загальними методами та окремими евристиками розв'язування задач. Уміння розв'язувати текстові задачі формується з допомогою системи задач. Розв'язуючи цю систему учні приходять до узагальнень, тобто вони відкривають метод розв'язування задач певного типу, далі йдуть задачі на застосування методу, а потім - нестандартні задачі, в основному задачі на кмітливість, цікаві задачі та задачі підвищеної складності.
Розв'язувати текстові задачі в 5-му класі можна не лише за допомогою рівнянь, а й арифметичними способами чи за допомогою діаграм, тобто учнів слід ознайомлювати з прикладами різних математичних моделей.
Основний метод розв'язання текстових задач у 5-му класі - арифметичний. Саме він сприяє усвідомленню залежності між величинами, розвитку логічного мислення учнів та готує їх до розв'язування задач алгебраїчним методом.
Система задач має забезпечувати диференційований підхід до навчання математики, зацікавлювати та заохочувати школярів до роботи зі змістовною фабулою.
Навчальний матеріал другого семестру в основному є новим для учнів. З початкової школи їм відоме лише поняття звичайного дробу, а також способи розв'язування задач на знаходження частини числа і числа за його частиною. У 5-му класі розглядаються початкові відомості про звичайні дроби та правила виконання дій з дробами, що мають рівні знаменники. Систематично звичайні дроби будуть вивчатися в 6-му класі.
Зовсім новою для учнів є тема “Десяткові дроби”. Не використовуючи поняття звичайного дробу можна доступно і коректно ввести поняття десяткового дробу.
Матеріал останньої чверті подається двома модулями: елементи прикладної математики і повторення та систематизація навчального матеріалу за рік. Вивчення питань, пов'язаних з елементами прикладної математики, передбачає не лише розкриття змісту відповідних математичних понять (масштаб, середнє арифметичне, відсоток), а й виділення конкретних ситуацій, для опису яких ці поняття використовуються: визначення відстані за картою чи планом, знаходження середньої врожайності чи середньомісячного прибутку, відсоткові розрахунки, пов'язані з фінансовими операціями, тощо.
Вимоги до загальноосвітньої підготовки учнів (представлені у другій колонці програми) передбачають, що учень називає певні поняття, розпізнає залежності, наводить приклади, інші поняття описує, формулює, дотримується правил, пояснює, аналізує та розв'язує перелічені завдання. Під час вивчення математики важливими є вміння: дотримуватися правил, формулювати, пояснювати, аналізувати, виконувати завдання, розв'язувати нескладні текстові задачі, в яких використовуються залежності між величинами.
Вимоги до загальноосвітньої підготовки учнів орієнтують їх на результати навчання, що є об'єктом контролю й оцінювання.
Ключовими компонентами компетентності є: суть позиційної десяткової системи числення; зміст дій додавання, множення, ділення; алгоритми виконання арифметичних дій з натуральними числами, дріб як результат поділу цілого числа на кілька рівних частин, позиційна десяткова система числення як основа запису десяткових дробів та виконання дій з цими дробами, алгоритми виконання дій з десятковими дробами, методи розв'язування основних задач на відсотки, пропедевтика комбінаторики за допомогою задач, пов'язаних з життєвими ситуаціями; пропедевтика алгебри: вирази, рівняння; пропедевтика геометрії: геометричні фігури і величини.


"школа – ВНЗ".

Освітньо-виховний процес у вищих навчальних закладах знаходиться

в діалектичному зв’язку з діяльністю загальноосвітньої школи і

ґрунтується на принципі наступності у ланці "школа – ВНЗ". У процесі

навчання математики учні набувають певних опорних знань та умінь, які є

тим фундаментом, на якому, згідно з принципом наступності, може

базуватися навчання у вищій школі. Приоритетною формою навчальної

діяльності у вищому навчальному закладі стає самостійна робота студента,

тому від студентів вимагається високий рівень самостійності, активності,

здатність до узагальнення, абстрагування, творчості. Оволодіння знаннями,

уміннями та розвиток творчих здібностей є важливою умовою

професійного зростання майбутнього спеціаліста. У зв’язку з цим стає

актуальною проблема відповідності навчального матеріалу та навчальної

діяльності, які використовуються у загальноосвітній і вищій школі та

відображають загальну проблему забезпечення наступності між цими

ланками навчання. Про значимість розв’язання цієї проблеми свідчить й та обставина, що їй завжди приділяли увагу провідні психологи, дидакти й методисти.

Вирішення проблеми наступності на методичному рівні передбачає

врахування взаємозв’язку різних аспектів:

дидактичного, який містить наступність змісту, засобів і методів навчання;

психологічного,пов’язаного з урахуванням закономірностей формування навчальної діяльності і розвитку психічних функцій учня;

методичного, пов’язаного з розробкою нових підходів до формуванням математичних понять, які ефективно впливають на розвиток мислення того, хто навчається.

Реалізація наступності передбачає формування готовності учнів до

навчальної діяльності у вузі. Одним із показників рівня готовності до

навчальної діяльності є володіння достатнім обсягом знань, відповідними

уміннями й навичками, загальними способами пізнавальної і дослідницької

діяльності (аналіз, порівняння, узагальнення).

Реалізацію цієї мети, мабуть, треба вбачати у збагаченні шкільного

курсу математики таким навчальним матеріалом, який міг би забезпечити

учню можливість активно залучатися до дослідницької діяльності, у процесі

якої в нього відбувалося б формування дослідницьких умінь. На наш

погляд, таким матеріалом можуть стати задачі з параметрами. Отже,

розв’язування задач з параметрами є одним із засобів реалізації

наступності навчання у ланці "школа – ВНЗ".

У шкільному курсі математики учні ознайомлюються з параметрами під

час введення деяких понять. Не наводячи детальних означень, виділимо такі об’єкти:

лінійні рівняння та нерівності з однією змінною: ax = b , ax > b, ax < b (x –змінна; а і b – параметри);

квадратні рівняння та нерівності: ax2 + bx + c = 0 , ax2 + bx + c > 0 ,

ax2 + bx + c < 0 (x – змінна; а, b і с – параметри, a ≠ 0 );

найпростіші тригонометричні рівняння та нерівності: sin x = a , sin x < a ,

sin x > a , cos x = a , cos x < a , cos x > a , tgx = a , tgx < a , tgx > a , ctgx = a ,

ctgx < a ,ctgx > a (x – змінна; а – параметр);

показникові рівняння та нерівності: ax = b , ax < b , ax > b (x – змінна; а і b– параметри, a > 0, a 1);

логарифмічні рівняння та нерівності: loga x= b , loga x< b , loga x> b (x

змінна; а і b – параметри, a > 0, a 1);

лінійна функція: y = kx + b (x і y – змінні; k і b – параметри)

функції пряма і обернена пропорційність: y = kx (x і y – змінні; k

параметр, k ≠ 0 ) та xy = k (x і y – змінні; k – параметр, x ≠ 0 );

квадратична функція: y = ax2 + bx + c (x і y – змінні; а, b і с – параметри,a ≠ 0 );

показникова функція: y = ax (x і y – змінні, a – параметр, a > 0, a 1);

логарифмічна функція: log a x =y ( x і y – змінні, a – параметр, a ≠ 0,

a ≠ 1).

Іноді рівняння з параметрами виникають при розв’язуванні задач які,

на перший погляд, не мають до них ніякого відношення. Наприклад, якщо

треба знайти найменше значення деякої функції y = f(x). Зрозуміло, що

відповідь можна отримати, якщо знайти множину всіх її значень і серед

них вибрати найменше число. Множина значень функції y = f(x) співпадає з множиною значень параметра а рівняння f(x) = а.

Наявність параметра спостерігається і в прикладних задачах, зокрема,

в дослідницьких. Адже, при їх розв’язуванні маємо справу з рівняннями і нерівностями коефіцієнти яких змінюються.

Отже, ідея параметра відслідковується в шкільному курсі математики

у змістових лініях рівнянь і нерівностей та функцій і вчитель повинен

використати можливості втілення цієї ідеї для розвитку дослідницьких

умінь учнів на кожному етапі розширення цих змістових ліній.

Формування уявлення про параметр необхідно почати під час

введення поняття лінійного рівняння у 7 класі, коли досліджується питання

кількості коренів рівняння залежно від коефіцієнта а та вільного члена b.

Подалі у курсі математики зберігається наступність і в тлумаченні

рівняння (нерівності) з параметром, і в способах розв’язування рівнянь

(нерівностей). Разом з тим знання розширюються відповідно до

використання властивостей рівнянь, нерівностей та функцій, які

вивчаються на кожному наступному етапі навчання.

Згідно діяльнісного підходу до навчання орієнтовну основу

розв’язування рівнянь (нерівностей) доцільно подати у вигляді алгоритмів.

Загальний алгоритм розв’язування рівнянь з параметрами можна податитак:

1) будь-яке рівняння (нерівність) з параметром розв’язувати як

звичайне рівняння до тих пір, поки всі перетворення, необхідні для

розв’язання, можна виконувати однозначно;

2) якщо перетворення не

можна виконати однозначно, то розбити область зміни параметра на

проміжки, такі, що при зміні параметра на кожному з них отримане

рівняння можна розв’язати одним і тим самим способом;

3) на кожномупроміжку знайти корені рівняння;

4) записати відповідь, яка містить

перелік проміжків зміни параметра з вказаними для кожного з них всіх

коренів рівняння.

Основою розв’язування задач з параметрами є правильне розбиття

області зміни параметра на окремі частини і до цього потрібно привчати учнів. На етапі пошуку плану розв’язування рівняння (нерівності) з

параметрами або в ході міркувань, пов’язаних із самим розв’язуванням,

зручно супроводжувати відповідні міркування схемами, які певною мірою

алгоритмізують процес розв’язування рівнянь з параметрами і за

якими легко простежити, у який момент не змогли однозначно
виконати необхідні перетворення, на скільки випадків довелося

розбити розв’язання і чим відрізняється один випадок від іншого, основними методами розв’язування задач з
параметрами є аналітичний і графічний. Доцільно практикувати розглядати різні способи й методи розв’язування на прикладі однієї задачі,

а потім порівнювати отримані результати з різних точок зору:

стандартність і оригінальність, обсяг обчислювальної роботи, практична

цінність, які можуть знадобитися при розв’язуванні інших задач.

Слід приділяти увагу і розв’язуванню комплексних задач, де, крім

загального дослідження і розв’язку, учні відшукують значення параметра,при яких задане число є коренем рівняння і, навпаки, шукають корінь при заданому значенні параметра, визначають значення параметра, при яких корінь рівняння задовольняє різноманітним умовам. Цілеспрямоване виконання таких завдань допомагає виробити в учнів уміння досліджувати.

П р и к л а д и----- ^ Например. Определить при каких значениях параметра а неравенство верно для всех действительных х.

  1. х2-2х+а-3>0;

D=4 -- 4(a—3)=8—4a;ветви параболы направлены вверх,

при D<0 выполняется условие ,что х є R –решения неравенства, т.е. 8—4а<0,а>2.

Ответ: при а>2, х є R

  1. ах2—6х--1<0;

х є R , если а<0 и D<0, D=36+4а

а<0; а<0;

36+4а<0; а<-9;

Ответ: при а<-9, х є R


  1. х2—9х+(а—3) >=0;

D=0;

D=81—4(а2+6а+9)=81—4а2—24а—36=45—4а2—24а

D1/4=144+180=324=182

а1= --1/4(12+18)=--7,5 , а2 = --1/4(12+18)=1,5;

Ответ : а=--7,5 ;а=1,5.

6. ах2+ах--5<= 0 решить неравенство для всех значений параметра; _______

D=а2+20а ; х1,2=(-а+,-vа(а+20))/2а;

  1. а=0 --5<= 0 х є R;

  2. а>0 => D>0

+ -- +

----------.---------------.----------

х1 х2 х є [ х1; х2 ]

  1. -20< а< 0 => D< 0 корней нет, ветви вниз , х є R;

  2. а=-20 => D=0, ветви вниз, х є R;

  3. а< -20 => D>0, ветви вниз

--- + --

----------.-------------.-----------

х1 х2

х є(∞, х1]U[х2, +∞).
Ответ: а>0 ,то х є [х1; х2]

-20<= а<=0,то х є R;

а< -20,то х є(∞, х1]U[х2, +∞).
Наведені приклади ілюструють можливість використання прийомів

алгоритмічної, евристичної і дослідницької діяльності учнів, що сприяє

розвитку їх творчих здібностей, отже, створює умови для подальшого

успішного навчання у ВНЗ, що в свою чергу забезпечує реалізацію

наступності навчання у ланці "школа – ВНЗ".

Математический факультатив как форма реализации принципа преемственности в преподавании математики в средней школе




следующая страница >>