asyan.org
добавить свой файл
1
Поверхневий інтеграл II роду і його обчислення

Нехай задана проста поверхня :

x=, y= z= , і нехай в деякому околі поверхні задано неперервне векторне поле, тобто визначена вектор-функція

(x,y,z) =P(x,y,z)+Q(x,y,z)+R(x,y,z).

Функції P,Q,R є неперервними в деякій області, що містить поверхню . Орієнтуємо поверхню одиничними нормалями

=, =[,] (1)

Протилежна орієнтація поверхні виникає при зміні в формулі (1) вектора на вектор (-).

Зауважимо, що для простої поверхні





0

Спроектуємо в кожній точці поверхні вектор на нормальний вектор. Тоді на поверхні буде визначена неперервна функція F(x,y,z)=(,), знак якої залежить від орієнтації поверхні. Потоком вектор-функції (x,y,z) через орієнтовану поверхню називають поверхневий інтеграл першого роду

(3)

Перейдемо до інших форм запису інтеграла (3).Нагадаємо, що

=(x, y, z)=() (10)

Елемент поверхні ds проектується на dxdy елемент площини (Рис.2)
Для достатньо малих ds можна записати =dxdy.

Аналогічно можемо записати ds= dzdx, ds= dydz

= або

= (4)

Зауважимо, що часто праву частину формули (4) визначають як поверхневий інтеграл ІІ роду.

Знайдемо формули обчислення криволінійного інтеграла 4:

=,)(,)dudv= ,)dudv