asyan.org
добавить свой файл
1 2
Скалярний добуток двох векторів, його властивості. Векторний добуток, його властивості. Змішаний добуток трьох векторів, його властивості.

План

  • Скалярний добуток векторів.

  • Властивості скалярного добутку.

  • Скалярний добуток векторів, заданих координатами.

  • Векторний добуток векторів.

  • Властивості векторного добутку.

  • Векторний добуток векторів, заданих координатами.

  • Змішаний добуток векторів.

  • Змішаний добуток векторів, заданих координатами.

1. Скалярний добуток двох векторів

Скалярним добутком двох векторів  і називається добуток довжин цих векторів на косинус кута, утвореного векторами, тобто



            Тут символ  означає кут між векторами. Нехай .

Тоді  тобто скалярний добуток будь-якого вектора  на одиничний вектор визначає величину проекції вектора на напрямок одиничного вектора.

            Скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного з них на проекцію іншого на напрям першого.

            Приклад. Під дією даної сили тіло перемістилося у даному напрямку на величину . Обчислити роботу сили (рис.2.12).














                                            Рис.2.12

Р о з в ’ я з о к. Розкладемо силу  на суму двох доданків : . Очевидно, робота суми сил дорівнює сумі складових сил. Але робота сили , перпендикулярної до напрямку шляху, дорівнює нулю, а робота сили  , паралельної шляху, дорівнює добутку модуля сили на довжину шляху:

.

            Але , тому остаточно одержимо

.

            Скалярний добуток позначається одним з трьох способів:

.

            Основні властивості скалярного добутку.

10.

Якщо  то  Якщо  то або  або  або а у нульового вектора напрям  - довільний.

20. - випливає зразу з означення .

30.





40..

Нехай    Тоді

 

,

бо добутки взаємно перпендикулярних  одиничних векторів дорівнюють нулю, а добутки паралельних однаково спрямованих одиничних векторів дорівнюють одиниці.

            Отже,

                                 ,                                (2.9)

тобто дорівнює сумі добутків однойменних координат векторів.

Якщо , то з (2.9) маємо

                                                                               (2.10)

            Тому                                                                               (2.11)      

            З формули (2.10) маємо            .          (2.12)

            Формулами (2.10) і (2.12) визначаються відповідно квадрат довжини вектора і квадрат віддалі між точками  і .

            Якщо вектор -одиничний, то його проекціями на осі координат і  відповідно є і . Тому з формули (2.11) маємо

                                  .                           (2.13)

            Оскільки , то

                     .                (2.14)

            Якщо у формулі (2.14) вектор ,то одержимо косинус кута, що його утворює вектор з віссю :



            Аналогічно матимемо косинуси кутів і вектора з осями відповідно і:



            Приклад. Визначити кут між векторами  і , якщо вектор

перпендикулярний до вектора , а вектор  перпендикулярний до вектора .

            Р о з в ’ я з о к. Із перпендикулярності векторів і маємо

.

            Аналогічно.

            Отже, маємо систему рівнянь:



            Віднявши від першого рівняння друге, одержимо



Тоді   

Отже,

^ 2. Векторний добуток двох векторів

            Як відомо із шкільного курсу фізики, моментом сили відносно точки  називається добуток сили на довжину плеча (плече сили – це відрізок від точки до лінії дії сили ), тобто . Розглянемо силу , момент якої відносно точки треба знайти. Очевидно, момент буде повністю визначений, якщо будуть задані:

1)      числові значення моменту, що дорівнює ;

2)      площина, у якій лежать сила  і точка ;

3)      напрям, в якому діє сила.

Всі ці три характеристики можна виразити за допомогою одного вектора , якщо 1) ; 2)  ( - площина); 3) спрямуємо вектор так, щоб цей напрямок був деяким однозначним чином зв’язаний з напрямом сили (рис. 2.13 а,б). У ролі такого зв’язку

між напрямами виберемо “правило свердлика “: проведемо вектор  так, щоб обертання головки свердлика збігалося з напрямом дії сили, а поступальний рух свердлика збігався з напрямом вектора . Тоді, у випадку, показаному на рис. 2.13б – донизу. Вектор є вектором моменту сили. Якщо ввести в розгляд вектор (рис.2.13), то, враховуючи, що

                                                          

             

              Рис. 2.13а                                       Рис.2.13б

, матимемо числове значення вектора :



а напрямок його визначається за “правилом свердлика”. Вектор можна паралельно перенести в точку . Добуток можна трактувати  як площу паралелограма, побудованого на векторах і .

            Розглянемо впорядковану трійку векторів  яка віднесена до спільного початку. Вектори  утворюють праву трійку, якщо з кінця вектора видно найкоротший поворот від вектора  до вектора проти стрілки годинника. В противному випадку, якщо цей поворот видно за стрілкою годинника, то вектори утворюють ліву трійку.

            Означення. Векторним добутком вектора  на вектор

називається такий третій вектор , довжина якого чисельно

дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах  і , перпендикулярний до площини цих векторів і спрямований так, що вектори утворюють праву трійку.

            З означення випливає, що довжина вектора становить

.

Векторний добуток на  позначається символом

 або .                            

            Отже, в розглянутому прикладі про момент сили можна записати:  або , а напрямок вектора , якщо

поглянути на напрямки обертання головки свердлика, відповідає тому, який визначається означенням векторного добутку.

            До поняття векторного добутку приводять багато інших задач фізики і техніки. Наприклад, зв’язок між кутовою швидкістю обертання, лінійною швидкістю і радіусом обертання теж дається векторним добутком .

            З означення векторного добутку випливає, що він перетворюється в нуль тоді і тільки тоді, коли хоч би один з векторів дорівнює нулю, або якщо вектори колінеарні (тобто паралельні).

            Умови колінеарності двох векторів  і  виглядає так:

 і, зокрема, .

Умову колінеарності можна виразити і так: , де - числовий множник.

            Розглянемо векторний добуток векторів, заданих координатами.













Користуючись означеннями векторного добутку, легко довести, що 

Останні три рівності легко запам’ятати за схемою, зображеною на рис.2.14, рухаючись у напрямку, показаному стрілками. Якщо рухатись

                                                Рис.2.14

у протилежному напрямку, то матимемо

.

Нехай .

Тоді

.

            Враховуючи таблицю одиничних ортів, одержимо



.                                       

Отже,

                                             .                           (2.15)



следующая страница >>