asyan.org
добавить свой файл
1 2 3 4
Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними властивостями. Пряма на площині. Площина. Пряма в просторі. Пряма і площина.

План

  • Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними властивостями.

  • Рівняння прямої на площині.

  • Площина.

  • Пряма в просторі.

  • Кут між прямими, умови паралельності та перпендикулярності. Кут між площинами, умови паралельності та перпендикулярності.

  • Віддаль від точки до прямої на площині та від точки до площини.

  • Пряма та площина.

Пряма на площині

1. Рівняння прямої на площині

     Рівняння першого степеня, що зв’язує координати точки на площині, - це рівняння

           (3.3)

при умові

     В декартовій системі координат на площині кожна пряма лінія може бути задана лінійним рівнянням і, навпаки, кожне лінійне рівняння (3.3) визначає пряму лінію .

     Рівняння (3.3) називається загальним рівнянням прямої на площині.

     Нехай точка  лежить на прямій  (). Це значить, що її координати задовольняють рівняння (3.7)



Вираховуючи із рівняння (3.7) дану рівність, одержимо рівняння прямої, що проходить через задану точку

               (3.4)

     Якщо довільна точка на прямій, то вектор  повністю лежить на прямій а ліва частина рівності (3.8) виражає скалярний добуток векторів  і Оскільки скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, то вони є перпендикулярні , а це значить, що вектор  перпендикулярний прямій . Вектор, який перпендикулярний до прямої  називається нормальним вектором прямої. Вектор який паралельний прямій, називається направляючим вектором прямої. Очевидно, що  і, наприклад,

     Нехай задана пряма Позначимо через  радіус-вектор її початкової точки . Розглянемо тепер деяку точку  , радіус-вектор якої позначимо через (рис.3.7). Вектор , початок якого лежить на прямій, паралельний прямій тоді і тільки тоді, коли його кінець   ( точка ) також лежить на прямій. В цьому

 

  Рис.3.7

випадку для точки  знайдеться таке число  (параметр), що

        (3.5)

Рівняння (3.5) називається векторно-параметричим рівнянням прямої.

Нехай в загальному вигляді направляючий вектор має координати Записавши рівняння (3.5) в координатній формі, одержимо параметричні рівняння прямої на площині

         (3.6)

     Виключаючи із рівнянь (3.6) параметр  одержимо канонічне рівняння прямої         (3.7)

     Із рівняння (3.17) одержимо



Позначимо . Тоді одержимо рівняння прямої, що проходить через задану точкув заданому напрямку

      (3.8)

Очевидно, що де кут, що утворює пряма (вектор ) з

додатнім напрямом осі Величину  називають кутовим коефіцієнтом прямої

     Позначивши через із рівняння (3.8) одержимо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

       (3.9)

     Нехай дві точки  і  лежать на прямій Тоді за напрямний вектор можна взяти вектор, що з’єднує ці дві точки Підставивши в рівняння (3.7)

Замість  і  координати вектора  одержимо рівняння прямої, що проходить через дві заданих точки

       (3.10)

     Нехай задані точки перетину прямої з осями координат  і Використавши рівняння (3.10), одержимо

 або

      (3.11)

Рівняння (3.11) називається рівнянням прямої у відрізках.

     Пучком прямих на площині називається сукупність прямих, що проходять через фіксовану точку – пучка. Будемо вважати, що дві прямі  і  перетинаються

() в точці  Рівняння

        (3.12)

де називається рівнянням пучка прямих на площині.

^ 2. Кут між прямими. Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих

     Нехай дві прямі  і  задані рівняннями

  і   . Позначимо через

 і   кути, які утворюють  прямі  і   з додатнім напрямком осі (рис.3.8), а  це кут між цими прямими.



Рис.3.8

Тоді а Оскільки, то



або      (3.13)

Якщо прямі  і  паралельні, то їх кутові коефіцієнти рівні

Якщо прямі перпендикулярні, то , а тому

Можна обчислювати кут між двома прямими як кут між їх нормальними векторами   і

          (3.14)

    



следующая страница >>