asyan.org
добавить свой файл
1 2 3
Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

План

  • Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду

  • Права частина виду

  • Права частина виду

1. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

            Розглянемо диференціальне рівняння

                                                   (12.46)

в якому - дійсні числа, а  - функція  спеціального виду

                     (12.47)

де - многочлени -го і -го степеня, - дійсні числа. Виявляється, що це рівняння можна досить легко розв’язати, не вдаючись до методу варіації довільних сталих і навіть без інтегрування. Це надзвичайно важливо, бо багато практичних задач зводиться саме до такого рівняння.

            1. Для простоти розглянемо спочатку частинний випадок функції (12.47), коли :

.

            Тоді рівняння (12.70) набуває вигляду

                                                (12.48)

            Його загальний розв’язок  як відомий з п.12.9 є сумою загального розв’язку  відповідного однорідного рівняння та частинного розв’язку  неоднорідного рівняння:  З’ясовуємо, що вигляд частинного розв’язку залежить від того, збігається чи ні число  з коренями характеристичного рівняння (12.39).

            а). Нехай число не є коренями характеристичного рівняння (12.39):  Тоді частинний розв’язок  слід шукати у вигляді

                                                              (12.49)

де - многочлен -го степеня відносно  з невизначеними коефіцієнтами  :



            Систему для визначення цих коефіцієнтів отримують після підстановки функції (12.49) у рівняння (12.48). Справді, така підстановка приводить до рівняння

             

            Зліва й справа від знака рівності стоять многочлени -го степеня, бо многочлен -го степеня, причому  а - многочлени відповідно 1-го і 2-го  степеня. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях  зліва й справа рівності  отримаємо алгебраїчну систему  рівнянь з  невідомими

            б). Нехай число  є однократним (простим) коренем характеристичного рівняння (12.39):  У цьому разі   і  зліва  в рівності  фігурує многочлен 1-го  степеня. Ця рівність не є тотожністю при жодних сталих

 Тому частинний         розв’язок  у цьому разі шукатимемо у формі

                                                                      (12.50)

            в). Нехай число  є двократним коренем характеристичного рівняння  Зауважимо, що в разі збігу коренів характеристичного рівняння маємо  Якщо то виконується рівність  Це означає, що зліва у рівності   фігурує многочлен 2 -го степеня з невизначеними коефіцієнтами. Щоб отримати многочлен го степеня, слід шукати частинний розв’язок у вигляді

                                                              (12.51)

            Приклад 1.   Розв’язати рівняння



            Р о з в ‘я з о к. Загальний розв’язок  відповідного однорідного рівняння було знайдено в прикладі 1 а) п.12.9:



            Дане рівняння є частинним випадком диференціального рівняння (12.48), у якому а - многочлен першого степеня вигляду:             Оскільки  є однократним коренем характеристичного рівняння  частинний розв’язок диференціального рівняння шукатимемо у формі (12.50)

абоде  - невизначені сталі. Диференціюючи двічі , маємо



            Підставляючи  в дане рівняння , маємо або                              Прирівнюючи вирази при однакових степенях  зліва й справа в одержаній  рівності отримуємо систему



Отже, частинний розв’язок :   

            Загальний розв’язок:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

            Зауваження 1.   Якби справа в рівнянні прикладу 3 стояв, наприклад, вираз


следующая страница >>