asyan.org
добавить свой файл
1 2
Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.

План

  • Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводять до поняття подвійного інтеграла

  • Означення подвійного інтеграла

  • Теорема існування

  • Властивості подвійного інтеграла

ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ

1. Означення

            Визначення об’єму циліндричного тіла. Циліндричним називається тіло, обмежене зверху поверхнею, рівняння якої , з боків - циліндричною поверхнею з твірними, паралельними осі , знизу - площиною .

            Область , що висікається в площині циліндричною поверхнею, називається основою циліндричного тіла. В частинних випадках бічна циліндрична поверхня може бути відсутня; наприклад, тіло, обмежене площиною  і верхньою частиною кулі .

            Поставимо задачу про визначення об’єму циліндричного тіла. Для цього припустимо, що функція  неперервна в області

 і що поверхня повністю лежить над площиною , тобто  скрізь в області .

            Розіб’ємо область якими-небудь лініями на частин (рис.11.1), які називатимемо площадками. Щоб не вводити нових символів, позначатимемо через  також площі цих площадок (двохвимірні міри). У кожній із площадок виберемо точки  і позначимо через  значення функції у вибраних точках. Через межу кожної площадки проведемо циліндричну поверхню з твірною, паралельною осі . Тоді циліндричне тіло буде розбите на  циліндричних елементарних тіл. Замінивши кожне з них на прямий циліндр з тією самою основою і висотою , в результаті дістанемо об’єм  - ступінчастого тіла:

(11.1)            

            Ця сума називається інтегральною сумою для функції  в області .

Беручи об’єм  розглядуваного тіла приблизно таким, що дорівнює об’єму побудованого  - ступінчастого тіла, вважатимемо, що  тим точніше виражає , чим більше  і чим менша кожна з площадок. Переходячи до границі в (11.1) при  вимагатимемо, щоб до нуля розміри (при цьому площадка стягуватиметься у точку, тобто її найбільший діаметр  ).













            Відповідно до викладеного беремо шуканий об’єм таким, що дорівнює границі, до якої прямує  при :

           

Рис.11.1

.           (11.2)

            Можна абстрагуватися від задачі про знаходження об’єму тіла і дивитися на вираз (11.2) як на деяку операцію, що проводиться над функцією, визначеною на  Ця операція називається операцією подвійного інтегрування функції  (або  ) за областю , а її результат – означеним інтегралом від  по  і позначається так:

            .

            Отже, об’єм циліндричного тіла

                            .                                (11.3)

            Маса тіла. Нехай тепер в трьохвимірному просторі, де визначена прямокутна декартова система координат , задано тіло  (множина) з неперервно розподіленою в ньому масою з густиною розподілу  ( ). Потрібно визначити масу тіла . Розіб’ємо  на частин  об’єми (трьохвимірні міри) яких ( в припущенні, що вони існують) позначимо  або

Виберемо довільним чином в кожній частині точку і тоді маса тіла (по аналогії із об’ємом циліндричного тіла) дорівнює













               Рис.11.2                                       Рис.11.3                                    

                                     (11.4)

            Знову ж таки на вираз (11.4) можна дивитися як на певну операцію над функцією  , що задана в трьохвимірному просторі .

Ця операція на цей раз називається операцією потрійного інтегрування (за Ріманом 1)), а її результат – визначеним потрійним інтегралом, що позначається так:



            Отже,

                                                 (11.5)

            До знаходження таких границь приводять не тільки задачі про визначення об’єму циліндричного тіла і знаходження маси, але й інші задачі.

            Нижче ми побачимо, що частина теорії кратного інтегрування, зокрема, теореми існування і теореми про аддитивні властивості інтеграла, може бути викладена цілком аналогічно як в одновимірному, так і в вимірному випадку. Проте в теорії кратних інтегралів виникають певні труднощі, яких не було в теорії звичайного означеного інтеграла.

            Справа в тому, що однократний інтеграл Рімана 1) ми визначали для дуже простої множини – відрізку  який дробився знову на відрізки. Ніяких труднощів у визначенні довжини (одновимірної міри) відрізків не виникало. Проте у випадку подвійних, потрійних і, взагалі,  кратних інтегралів область інтегрування доводиться ділити (лініями,  поверхнями, гіперповерхнями) на частини з криволінійними границями, і виникає питання визначення поняття площі, об’єму або взагалі вимірної міри цих частин.

1)       Б. Ріман (1826-1866) – німецький математик.

            ^ Поняття про міру Жордана 1). В двохвимірному випадку ми будемо мати справу з обмеженими областями, що мають гладку границю (рис. 11.2) або кусково-гладку границю, що складається із кінцевого числа гладких кусків (ліній). Ці області в свою чергу доводиться ділити на частини, що мають кусково-гладку границю. Кожній такій області  і деяким іншим множинам можна привести у відповідність додатне число  яке називається площею або двохвимірною мірою Жордана . При цьому виконуються такі властивості:

1)      якщо  прямокутник з основою  і висотою  то

2)      якщо  і  мають міри  то

3)      якщо область  розрізана  за допомогою кусково-гладкої кривої на дві частини  і  то



            Існують множини двохвимірної міри, що дорівнюють нулю, такі, як точка, відрізок, гладка або кусково-гладка крива.

            В трьохвимірному випадку нас будуть цікавити області, що мають своєю границею кусково-гладкі поверхні. Куля, еліпсоїд, куб можуть служити прикладом таких поверхонь.

            Поверхня називається гладкою, якщо в довільній її точці

можна провести дотичну площину, що неперервно змінюється разом з цією точкою. Поверхня називається кусково-гладкою, якщо її можна

розрізати на кінцеве число гладких кусків. По лінії розрізів дотичні площини можуть і не існувати.

                Для трьохвимірних обмежених областей  з кусково-гладкими границями можна визначити їх об’єм (трьохвимірну міру), тобто додатне число  , що задовольняє таким властивостям:

1)      якщо прямокутний паралелепіпед з ребрами  то



 2)  якщо   і  мають міри  то

             3)  якщо область  розрізана  за допомогою кусково-гладкої                         поверхні на дві частини  і  то



           

1) К. Жордан (1838-1922) – французький математик

Є множини трьохвимірної міри, що дорівнює нулю. Такими є точка, відрізок, плоский прямокутник, гладка або кусково-гладка поверхня.

            Означення. Дамо тепер визначення кратного інтеграла, не розглядаючи задачі геометричного або фізичного змісту.

            Нехай в  вимірному просторі  задана обмежена область      з кусково-гладкою границею  і на(або на ) задана функція  Розріжемо довільним чином на частини , що перетинаються хіба що по своїх границях, які будемо вважати кусково-гладкими. Виберемо в кожній частині по довільній точці  і складемо суму



яку будемо називати інтегральною сумою Рімана функції  що відповідає даному розбиттю.

            Якщо існує скінчена границя послідовності інтегральних сум  коли максимальний діаметр частинних множин  ( ) і вона не залежить від вибору точок   в , а також не залежить від способів розбиття області , то ця границя називається кратним інтегралом від функції  на  (або по ).            Отже,

                     .                 (11.6)

            Зауваження. Чи будемо ми обчислювати границю (11.6) для області , чи для її замикання  не має значення, оскільки  де кусково-гладка границя області А кусково-гладка границя області має вимірну міру нуль .



следующая страница >>