asyan.org
добавить свой файл
1 2 3
Питання1. Збіжність послідовності

Лема1. Якщо послідовність  має границю, то вона обмежена

  • Нехай .Тоді, за означенням, , тобто числова послідовність  обмежена. Тобто , що  .

Лема2. Послідовність  не може збігатися до двох різних точок.

  • Нехай . В силу нерівності трикутника для

 правильна нерівність .

Оскільки , . при , то .

Лема3. Для того щоб послідовність точок  простору Rn , де , збігаласть до границі  необхідно і досить, щоб виконувались рівності , .

  • Нехай , тоді . Для всіх 

 при  при  І навпаки, якщо , то , при .

Лема4. Якщо послідовність  метричного простору Х збігається, то вона фундаментальна.

  • Нехай , що  і  . В силу нерівності трикутника маємо:

=.
Питання2. Границя Функції

Означення1. Нехай функція f(x) визначена в проколотому околі (x) точки  метричного простору Х. Кажуть, що число А є границею функції f(x) при  , якщо  такке, що  , яке задовольняє нерівність  виконується нерівність 

Означення 2 Кажуть, що функція, яка визначена в  має при  границю А, якщо для довільної послідовності  і такої, що  , виконується рівність 

Еквівалентність двох означень границі доводять так само, як для функції однієї змінної.

Отже, якщо число А – границя функції f(x) при  , то пишуть =A

У випадку двох незалежних змінних, тобто якщо функція f(x,y) визначена в проколеному околі  і число А – границя при  , то пишуть



Число А називається подвійною границею.

Аналогічно для функції n змінних рівність =A записують ще так:



Лема1. Нехай функції f(x) і  визначені в  і  в . Якщо то і  .

  • Оскільки  , то  знайдеться куля  , що для всіх  виконується: . Тим більше, для всіх  виконується нерівність  , тобто .


Питання 3

Нехай функція f(x) неперервна в області  і набуває в цій області значень А і В. Тоді функція f(x) набуває в області G всі значення, що містяться між А і В.

  • Оскількі область зв’язана множина, то будь-які дві точки можна з’єднати ламаною (чи кривою), яку можна параметризувати параметром t. Нехай f(a)=A, f(b)=B. З’єднаємо точки a і b неперервною кривою 

  • . Оскільки f(x(t)) - неперервна функція, то вона, як функція однієї змінної набуває всіх значень між A і B.

Зауважимо, що з цієї теореми слідує, що якщо  і  , то функція обов’язково в деякій точці набуває нульового значення

Питання4

Л.3п.2.теорема3

Достатня умова диференційованості функції в точці

Якщо всі частинні похідні  визначені в околі точки  і неперервні в точці , то функція f(x) диференційована в точці .

  • Розглянемо випадок трьох змінних. Загальний випадок доводиться аналогічно. Нехай  - визначені в деякій кулі  і неперервні в точці . Запишемо приріст функції у вигляді



Кожна з трьох різниць правої частини є частинним приростом функції по одній змінній.

Застосовуємо формулу Лагранжа для першої різниці:



Оскільки  - неперервна функції в точці , то



Аналогічно отримуємо





Де функції  мають скінченні границі при 

Отже



А функція записана в такому вигляді є диференційована.
Питання5.Л.3 п.4 Диференціал. Інваріантність форми першого диференціалу.

Нехай функція f(x) диференційована в точці . Тоді при  можна записати 

Покладемо за означенням 

Якщо функція f(x) диференційована в точці , то лінійну частину відносно приростів незалежних змінних

(*)

називають диференціалом функції f(x) в точці .

Тоді  при 

Вираз (*) також називають першим диференціалом функції f(x) в точці .

Знайдемо диференціал складної функції. Нехай функції  диференційовані в точці , а функція  є диференційованою в точці  . За відповідною теоремою складна функція  є диференційованою в точці . Тоді можна записати



=



Отже 

Якщо б  були новими незалежними змінними, то диференціал мав би вигляд 

Формально даний диференціал має такий самий вигляд як і попередній відносно змінних. Кажуть, що форма першого диференціалу інваріантна відносно заміни змінних.

Нехай функція f(x) диференційована в деякій області . Тоді в кожній точці  можна записати диференціал



Цей диференціал є функцією 2n змінних 

Правила диференціювання такі ж як і для функції однієї змінної

  1. ;

  2. ; 3), 


Питання6. Похідна за напрямком градієнт.(л4,п1 теорема)

Нехай функція f(x,y,z) визначена в області  і нехай точка P .Розглянемо промінь, що проходить через точку Р, і паралельний до вектора , де .Оскільки Р – внутрішня точка G, то можна знайти  таке, що відрізок



лежить в області G.

Похідною функції f(x,y,z) в точці  за напрямком  називають





следующая страница >>