asyan.org
добавить свой файл
1

Необхідна та достатня умови

Необхідна та достатня умови


Розглянемо такі твердження:

1) Щоб дорога була мокрою, досить, щоб пройшов дощ. Це достатньо, але не необхідно. Дорога буде мокрою і тоді, коли дощу не буде, але проїде поливальна машина.

2) Щоб принести додому кошик боровиків, достатньо влітку вранці після дощу знайти у лісі галявину, де вони ростуть. Але не необхідно, бо гриби можна купити на базарі.

3) Щоб росла троянда, необхідне сонечко. Необхідне, але недостатнє, бо ще потрібні і вода, і догляд.

4) Щоб читати книжку, необхідно вміти читати. Необхідно, але недостатньо, бо може книжки не буде, або не буде бажання читати.

5) Щоб стати математиком, необхідно вивчити її основи. Необхідно, але недостатньо, бо ще треба хотіти ним бути, треба вчитися далі, а є так багато інших цікавих наук.

6) Щоб настав день, необхідно, щоб сонечко виглянуло із-за горизонту. ^ Необхідно і достатньо, бо разом із сонечком починається день.

У всіх цих твердженнях є якась подія, і є умова, що пов’язана з цією подією.

Кожне з наведених тверджень можна спробувати записати у вигляді висловлювання

якщо А, то В, (1)

де А – це умова, а В – подія. Таке висловлювання може бути правильним, і може бути неправильним.

Такі висловлювання називаються умовними висловлюван-нями.

Не кожне твердження можна записати як умовне висловлювання. Наприклад, твердження "Іде дощ" сповіщає про якусь подію і не містить умови. Отже, його не можна записати як умовне висловлювання.

^ Щоб записати твердження як умовне висловлювання, треба встановити, про яку подію йде мова, і в чому полягає умова.

У повсякденному спілкуванні навіть твердження з умовою рідко записують у вигляді (1). Більше того, не завжди просто записати твердження у вигляді умовного висловлювання, навіть коли воно містить умову. Для цього треба зрозуміти, про яку подію йде мова, і в чому полягає умова.

Наприклад, прислів’я "Роботящі руки гори вернуть" можна записати у вигляду умовного висловлювання

"якщо руки роботящі, то вони гори вернуть".

З іншого боку, майже таке ж твердження "Його роботящі руки гори вернуть" уже не є умовним висловлюванням, бо тут немає умови.

Як видно з наведених раніше прикладів, умова може бути:

  • необхідною, але недостатньою;

  • достатньою, але не необхідною;

  • необхідною і достатньою.

Умова є достатньою, коли її виконання обов’язково приводить до події.

Якщо умова достатня, твердження можна записати у стандартному вигляді (1) і це умовне висловлювання буде правильним.

Наприклад, перше із розглянутих тверджень можна записати так:

якщо пройшов дощ, то дорога мокра.

Тут "пройшов дощ" – це умова, а подія – "дорога мокра". Умова в цьому твердженні достатня, і це висловлювання правильне.

Умова є необхідною, коли вона обов’язково виконується для даної події. Тобто, не може бути так, щоб подія відбулась, а ця умова не виконана.

Якщо умова необхідна, то твердження можна записати у вигляді правильного умовного висловлювання:

якщо В, то А, (2)

де Аце умова твердження, а В – подія твердження. Тобто треба умову і подію твердження поміняти місцями.

Спроба записати достатнє твердження у вигляді (2) може привести до неправильного висловлювання, коли умова достатня, але не є необхідною. Наприклад, таке твердження неправильне: "якщо дорога мокра, то пройшов дощ".

Спроба записати у вигляді (1) необхідне твердження теж може привести до неправильного висловлювання, коли умова необхідна, але не достатня. Наприклад, таке твердження теж неправильне: "якщо сонечко є, то троянда росте".

Для необхідної та достатньої умови будуть правильними обидва записи (1) та (2) твердження.

Наприклад, одночасно правильні висловлювання:

якщо зійшло сонце, то настав день;

якщо настав день, то зійшло сонце,

бо "зійшло сонце" є необхідною та достатньою умовою події "настав день".

Умовні висловлювання широко використовуються у математиці. Часто проблема стає зрозумілішою, коли математичне твердження записати у стандартному вигляді (1) або (2). Якщо до цього ж вияснити, якою є умова, то ми отримаємо нові знання про проблему.

Наприклад,

1) для того, щоб ціле число ділилося без остачі на 100, достатньо, щоб останні три цифри числа були 0. Тут умова "останні три цифри числа є 0" достатня для події "число ділиться без остачі на 100". Ця подія є достатньою, але не необхідною, бо, наприклад, число 600 ділиться на 100, але для нього умова не виконана.

2) для того, щоб ціле число ділилося без остачі на 100, необхідно, щоб останньою цифрою числа була цифра 0. Тут умова "остання цифра числа є 0" необхідна для події "число ділиться без остачі на 100". Ця подія є необхідною, але не достатньою, бо, наприклад, число 30 закінчується нулем, але не ділиться на 100.

3) для того, щоб ціле число ділилося без остачі на 100, достатньо, щоб останні дві цифри числа були 0. Тут умова "останні дві цифри числа є 0" необхідна і достатня для події "число ділиться без остачі на 100".

Зверніть увагу: для того, щоб довести, що якесь твердження неправильне, досить навести принаймні один приклад, коли відповідне умовне висловлювання неправильне.

Виконати вправи.

Які з наведених тверджень виражають умовне висловлювання. В умовних висловлюваннях виділити умову та подію і визначити, якою є умова: а) необхідною; б) достатньою; в) необхідною і достатньою.

  1. Чайка сіла в воду – чекай доброї погоди.

  2. Якщо вчора була гарна погода, то сьогодні зранку ллє дощ.

  3. Май холодний – рік хлібородний.

  4. Як сіно косять, то дощів не просять.

  5. Хто влітку буде співати, той взимку буде танцювати.

  6. Без діла слабіє сила.

  7. Якщо ти знаєш матеріал, то чому не відповідаєш?

  8. Частка не пишеться окремо від дієслова.

  9. Якщо хочеш шити, то перш вузлика зав’яжи (присл.).

  10. Не той друг, хто медом маже, а той, хто правду каже.