asyan.org
добавить свой файл
1

Найпростіші випадки зниження порядку в диференціальних рівняннях вищих порядків


Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь вищого порядку, що допускають зниження порядку.

1) Рівняння не містить шуканої функції і її похідних до -порядку включно

.

Зробивши заміну: ,

одержимо рівняння -порядку .

2) Рівняння не містить явно незалежної змінної

.

Будемо вважати, що - нова незалежна змінна, а - функції від . Тоді



Після підстановки одержимо диференціальне рівняння -порядку.

3) Нехай функція диференціального рівняння



є однорідної щодо аргументів .

Робимо заміну , де - нова невідома функція. Одержимо



Після підстановки одержимо

.

Оскільки рівняння однорідне відносно , то цей член можна винести і на нього скоротити. Одержимо



диференціальне рівняння -порядку.

4) Нехай ліва частина рівняння



є похідної деякого диференціального вираза ступеня , тобто

.

У цьому випадку легко обчислюється, так званий, перший інтеграл

.

5) Нехай диференціальне рівняння

,

розписано у вигляді диференціалів



і - функція однорідна по всім перемінним. Зробимо заміну , де - нові змінні. Тоді одержуємо

, ,



Підставивши, одержимо



Скоротивши на одержимо .

Тобто одержимо диференціальне рівняння, що не містить явно незалежної змінної, або повертаємося до другого випадку.