asyan.org
добавить свой файл
1 2

Модуль раціонального числа

Модуль раціонального числа

  1. Основні поняття


Ми уміємо відкладати раціональні числа на координатній прямій. Положення числа на координатній прямій характеризується напрямком та відстанню від початку координат. Напрямок визначає знак числа, а відстань – абсолютну величину або модуль числа.

Модулем числа називається відстань на координатній прямій від числа до початку координат.

Кожній не рівній нулю відстані від початку координат на координатній прямій відповідає два числа – одне додатне, друге від’ємне. Ці числа мають одинакові модулі і різні знаки.

Числа, що мають одинакові модулі, але різні знаки, називаються протилежними.

Нульовій відстані відповідає одне число – число 0. Іноді говорять, що число, протилежне числу 0, є саме число 0.

^ Для числа а протилежним завжди буде число –а.

Модуль, як відстань, є завжди додатнім числом або нулем. Тому з двох протилежних чисел завжди одне, а саме додатне або нуль, співпадає з модулем.

Отже, коли число а додатне або нуль, то а=а. Коли число а від’ємне, то протилежне йому число –а буде додатнім і, значить, саме воно співпадає з модулем: а= –а.

Таким чином маємо інше визначення модуля:

модулем числа називається саме це число, коли воно додатне або нуль, і число, протилежне даному, коли дане число від’ємне:

(1)
  1. ^

    Рівняння з модулями


Наведені поняття дозволяють розв’язувати рівняння, що мають невідоме під знаком модуля.

Відповідно програмі, найпростіші рівняння з модулем розв’язують усі учні 6 класу. Це рівняння відносно модуля невідомого.

Наприклад:

–3x–

x– – 5,

–3x–

x

Звідси x=7 або x= –7.

Проте у 6 класі уже знають про перенесення елементів рівняння з одної частини в іншу, про ділення та множення обох частин рівняння на одне й те ж число, що не дорівнює нулеві. Це дає змогу розв’язувати більш складні рівняння з модулем, що вимагають перевірки. До того ж, перевірка є хорошим тренуванням у виконанні дій над числами з різними знаками та приведенні подібних членів.

Крім того, для учнів це – перша зустріч з перевіркою в рівнянні, яка відкидає зайві корені. Це дозволяє показати дітям, що перевірка призначена на для виявлення помилок, зроблених в арифметичних діях.

^ Перевірка – це метод вилучення зайвих коренів.

В таких рівняннях перевірка є невід’ємною частиною знаходження його розв’язків.

Розв’язали рівняння, і перевіркою раптом виявили зайвий корінь. У дітей вперше зароджується запитання: "А де він узявся? Я ж усе правильно робив!". І тоді розумним поясненням є розв’язування рівнянь з використанням алгебраїчного визначення (1) модуля, яке не складніше геометричного визначення.
^

3. Розв’язування рівнянь за допомогою перевірки підстановкою


Задача 1. Розв’язати рівняння: –2+x+x=3+3x.

Розв’язок. Маємо:

x=3+3xx+2;

x=5+2x;



а) x= 5+2x; x= –5.

б) x= –5–2x; 3x= –5; .

Перевірка. а) x= –5. Ліва частина: –2 –5 –5= –7= –2.

Права частина: 3+3(–5)=3–15=–12.

Порівняємо: –2–12. Значить х= –5 –не корінь.

б) . Ліва частина: .

Права частина: .

Порівняємо: –2 = –2. Значить – корінь рівняння.

Відповідь. .

Задача 2. Розв’язати рівняння: .

Розв’язок. Маємо:

–x+3=7,5–4x–2,3x–2,5;

–x+3=5–6,3x;

x+3= –2,53,15x;



а) x+3= –2,5+3,15x; 3,15xx = 3,15 + 2,5; 2,15x=5,5; .

б) x +3= 2,5–3,15x; 3,15x x= 2,53; 4,15x= –0,5; .

Перевірка. а). Ліва частина:

.

Права частина:

.

Порівняємо:. Значить, – корінь рівняння.

б) . Ліва частина:

.

Права частина: .

Значить, ліва частина не дорівнює правій. Тому – не корінь.

Відповідь. .

Задача 3. Розв’язати рівняння: 2+3x+1=x0,5.

Розв’язок. Маємо:

x+1 = x–2,5;

x+1 = (x–2,5);



а) .

б) .

Перевірка. а) x= –1,1. Ліва частина: 2=2+3,6= 5,6.

Права частина: –1,1–0,5= –1,6.

Порівняємо: 5,6–1,6. Значить, х= –1,1 –не корінь.

б) . Ліва частина: .

Права частина: .

Порівняємо: . Значить, – не корінь.

Відповідь. Рівняння коренів не має.

Задача 4. Розв’язати рівняння: –x+7x+0,5=3,5x+1,5.

Розв’язок. Маємо:

–x+7=3,5x+1,5–3x;

–x+7=0,5x+1;

x+7=0,5x–1;



а) 2x+7= –0,5x–1; 2,5x= –8; x= –8:2,5= –32:10= –3,2.

б) 2x+7= 0,5x+1; 1,5x= –6; x= –6:1,5= –4.

Перевірка. а) x= –3,2. Ліва частина:––3,2)+7

– ––6,4+7 –9= –0,6 –9= –9,7.

Права частина:3,5(–3,2)+1,5= –71,6+1,5= –11,2+1,5= –9,7.

Порівняємо: –9,7= –9,7. Значить, х = –3,2 – корінь рівняння.

б) x= –4. Ліва частина: ––4)+7–4 – –8+7 –12= –1–12+0,5= –12,5.

Права частина: 3,5(–4)+1,5= –14+1,5= –12,5.

Порівняємо: –12,5= –12,5. Значить, х = –4 – корінь рівняння.

Відповідь. x= –3,2; x= –4.

Виконати вправи

Розв’язати рівняння:

  1. 2,5–0,52x+43x=7x–4;

  2. 3,5 22x+6–4x=6x5;

3) 2,5x–17= –40,5x+57,5.



следующая страница >>