asyan.org
добавить свой файл
1
Метод заміни змінної чи підстановки.

Полягає в тому, що деякий вираз позначають новою змінною, а потім весь підінтегральний вираз виражають через цю нову змінну.

Приклад:

В загальному випадку



Якщо останній інтеграл виявиться простішим від початкового, то заміна вдала.

Для цього методу бажано знати, які заміни змінних в тих чи інших випадках приведуть до спрощення інтегралу.

Такі вказівки розглянемо пізніше.

^ Метод інтегрування частинами.

Базується на використанні формули інтегрування частинами:



Відома формула:

^ Проінтегруємо обидві частини.



За цим методом.

Підінтегральний вираз розбивають на дві частини u та dv, а потім інтеграл перетворюється згідно формули інтегрування частинами.

^ Корисні вказівки для цього методу.

I

Позначаємо . Інтегруємо частинами n разів.

II Позначаємо . III

Інтегрують два рази частинами, обидва рази позначаючи за u або показникову або тригонометричну функцію і отримують рівняння відносно невідомого інтегралу.

IV

Інтегрують частинами один раз і приходять до рівняння відносно невідомого інтегралу.
Приклад 1:

Приклад 2:

Приклад 3:

Позначимо I=. Отримаємо рівняння:







Приклад 4:

Позначимо I=. Отримаємо рівняння:




Інтегрування деяких класів елементарних функцій

План.

  1. Інтегрування раціональних функцій:

а. Основні означення.

б. Виділення цілої частини в неправильному дробі.

в. Прості раціональні дроби та їх інтегрування.

г. Розклад правильного раціонального дробу на прості дроби.

  1. Інтегрування тригонометричних виразів:

а. Інтеграли виду та і т. п.

б. Інтеграли виду та універсальна тригонометрична підстановка.

в. Підстановка

  1. Інтеграли від деяких ірраціональностей.

Д.З.:Б-Н 153-162, 165-172.

Інтегрування раціональних функцій

Означення: Раціональна функція, це така, де зустрічаються тільки дії додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до натурального степеня змінної. Позначається R(x).

Її можна подати у вигляді частки многочленів.

Тому, R(x)=- Pn(x), Qm(x)-многочлени зі степенями n і m відповідно.

Раціональну функцію називають ще раціональним дробом.

Означення: Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь многочленна в чисельнику строго менший від степеня многочленна в знаменнику: .

Інакше дріб називається неправильним: .
^ Виділення цілої частини в неправильному дробі

Неправильний дріб можна подати у вигляді суми многочлена (ціла частина) і правильного дробу. Для цього треба поділити чисельник на знаменник з остачею.
Приклад: f(x)= -- неправильний дріб.
х5-2х3+3х І х3-3

- 5-3х2) І х2-2 – ціла частина.

-2х3+3х2+3х

- (-2х3 +6)

2+3х-6 -- остача.
f(x) = x2-2+

Отже, треба навчитись інтегрувати правильні дроби.
Прості раціональні дроби

Це дроби таких чотирьох типів.

I ; ІІ ІІІ ІV n1.

Всі букви, крім х - сталі числа, n- натуральне число.

В ІІІ і ІV типах дискримінант знаменника від’ємний.

Інтегрування простих дробів.

І ІІ

ІІІ

Спочатку виділяють повний квадрат у знаменнику, тобто подають його у вигляді

а)2b, а потім підведення під знак диференціалу або заміну змінної хa=t.
Приклад 1: При А=0:

Приклад 2: При А0: Інтегрування дробів ІV типу не входить в програму. Але при їх інтегруванні також отримують степеневі функції, ln і arctg.