asyan.org
добавить свой файл
1
6 клас

  1. Малюк і Карлсон їли кавун. Малюк з’їв половину третини від чверті кавуна, а Карлсон – чверть половини від третини кавуна. Хто з них з’їв більше кавуна?


2. Замініть літери цифрами так, щоб були правильними дві рівності одночасно: та , якщо відомо, що однакові літери відповідають однаковим цифрам, різні – різним.
3. Точки і мають на числовій прямій координати 1 і 2013 відповідно. Знайти координати точок, які поділяють відрізок на дві частини, одна з яких у три рази довша за іншу.
4. Ділянку квадратної форми розміром 5м  5м потрібно поділити кількома кусками сітки на 5 рівних за площею клітчастих ділянок, використовуючи 16м сітки. Це легко зробити, використовуючи 20м сітки, як показано на рисунку. Зробіть рисунок шуканого поділу.














































































5. Кожен з трьох хлопчиків або завжди говорять правду, або завжди неправду. На питання «Чи є хоча б один брехун (той хто завжди каже неправду) серед двох інших?» перший відповів: «Ні», другий відповів: «Так». Яку відповідь дав третій хлопчик. Відповідь обґрунтуйте.


Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Користування калькулятором заборонено.

7 клас

  1. Чи існують такі натуральні числа і , для яких виконується рівність:




  1. Сім’я складається з трьох осіб – тата, мами та сина. Якщо тату збільшать вдвічі зарплату і сину збільшать вдвічі стипендію, то сімейний бюджет збільшиться на 80%. Якщо мамі збільшать втричі зарплату і сину збільшать втричі стипендію, то сімейний бюджет збільшиться на 60%. На скільки відсотків зменшиться сімейний бюджет, якщо мамі й татові вдвічі зменшать зарплату?



  1. Знайдіть усі цифри такі, щоб виконувалася рівність , де позначає десятковий запис числа з 2 цілих, десятих та сотих.




  1. На прямій відмічено декілька точок. Між кожними сусідніми точками вставили по дві точки. Отримали нову систему точок, яка складається із відмічених та вставлених точок. З новою системою точок проробили ще раз подібну процедуру. Чи можна в результаті отримати 2013 точок?



  1. П’ять прямих на рисунку перетинаються в одній точці. Відомо, що 1=50°, 2=3=20°, 4 вдвоє більше 5. Знайдіте величину кута 5.








2

5

1

4

3

Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Користування калькулятором заборонено.

8 клас

  1. Старший брат іде від дому до школи 12 хвилин, а молодший – 16 хвилин. Скільки хвилин потрібно старшому братові, щоб наздогнати молодшого, якщо той вийшов з дому на 1 хвилину раніше?



  1. Довести, що число ціле.




  1. На прямій відмічено декілька точок. Між кожними сусідніми точками вставили по дві точки. Отримали нову систему точок, яка складається із відмічених та вставлених точок. З новою системою точок проробили ще раз подібну процедуру. Чи можна в результаті отримати 2014 точок?



  1. Задано гострокутний трикутник ^ ABC. На його сторонах (зовні) побудовано квадрати AKLB, BMNC и CPQA. Доведіть, що периметр шестикутника KLMNPQ більший за подвоєний периметр трикутника ABC.


5. В місті Глупів кожен мешканець – поліцейський, крадій або звичайна людина. Поліціанти завжди брешуть звичайним людям, крадії – поліціантам, звичайні люди- крадіям, а в інших випадках мешканці м.Глупів говорять один одному правду. Одного разу декілька мешканців м.Глупів розмовляли, стоячи по кругу, і кожний сказав своєму сусіду: «Я – поліціант». Скільки звичайних людей було серед цієї групи?
Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Користування калькулятором заборонено.

9 клас

  1. Три від’ємні числа підібрано так, що виконуються рівності і . Що більше: z чи x?




  1. Чи можна розбити 2013 чисел 1, 2, 3, …, 2012, 2013 на дві множини так, щоб сума чисел першої множини дорівнювала сумі чисел другої.



  1. Скільки коренів має рівняння якщо відомо, що



  1. Футбольні матчі між командами «Зубило», «Дробило», «Молотило» виявилися дуже результативними. Команда «Зубило» в сумі забила 60 голів, «Дробило» пропустила 80, «Молотило» забила стільки ж голів, скільки ж і пропустила. Доведіть, що в матчі «Дробило»-«Молотило» було забито не менше 40 голів.




  1. Центр Р кола, описаного навколо опуклого чотирикутника ABCD, лежить в середині цього чотирикутника. При цьому діагоналі чотирикутника перпендикулярні, а сторони AB і CD не паралельні. Доведіть, що площі трикутників АВР і CPD рівні.

Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Користування калькулятором заборонено.

10 клас

  1. Здана функція Знайдіть значення (знак функції використовується 2013 раз).



  1. Сума чотирьох векторів дорівнює нулю, а різниця суми будь – яких трьох векторів та четвертого вектора дає вектор довжиною 2013. Якою може бути сума довжин цих чотирьох векторів?



  1. Нехай додатні числа, Знайдіть найбільше можливе значення




  1. Футбольні матчі між командами «Зубило», «Дробило», «Молотило» виявилися дуже результативними. Команда «Зубило» в сумі забила 60 голів, «Дробило» пропустила 80, «Молотило» забила стільки ж голів, скільки ж і пропустила. Доведіть, що в матчі «Дробило»-«Молотило» було забито не менше 40 голів.



  1. На стороні ^ ВС квадрата ABCЕ вибрали точку М (відмінну від вершини) і через неї провели пряму, яка перетинає діагональ АС і пряму АВ в точках Т і Р відповідно. Відомо, що МТ=ЕТ. Знайдіть величину кута MPЕ.


Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Користування калькулятором заборонено.

11 клас

  1. Відомо, що і Яких значень може приймати ?



  1. Порівняйте числа і




  1. Задана функція Побудувати графік функції (знак функції використовується 2013 раз).



  1. Величини  і  гострих кутів задовольняють рівність Доведіть, що .



  1. Сума чотирьох векторів дорівнює нулю, а різниця суми будь – яких трьох векторів та четвертого вектора дає вектор довжиною 2013. Якою може бути сума довжин цих чотирьох векторів?




  1. В чотирикутній піраміді SABCD з основою ABCD площі усіх бічних граней рівні. Площина α перетинає ребра SA, SB, SC, SD в точках так, що у піраміді площі двох сусідніх бічних граней рівні. Доведіть, що тоді й площі двох інших бічних граней піраміди рівні.


Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Користування калькулятором заборонено.