asyan.org
добавить свой файл
1
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математики

ІІ етап
6 клас


  1. Використовуючи не більше шести цифр із 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а також знаки арифметичних дій та дужки, отримайте число 2011. Кожну цифру можна використовувати не більше одного разу, а також з цифр можна складати числа.

  2. Іван, Петро і Сидір їли цукерки. Їх прізвища – Іванов, Петров і Сидоров. Іванов з’їв на 2 цукерки менше Івана, Петров – на 2 цукерки менше Петра, а Петро з’їв більше за всіх. Які прізвища кожного з них? Відповідь обґрунтуйте.

  3. Незнайка записує у рядок натуральні числа: 123456789101112131415…. На яких місцях, починаючи від початку, вперше будуть стояти три цифри 5 підряд?

  4. Дано круг з центром в точці О і точка А в середині цього круга, відмінна від точки О. Розріжте цей круг на: а) три частини; б) дві частини так, щоб з них можна було скласти круг, але з центром в точці А.


Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Користування калькулятором заборонено.

Всеукраїнська учнівська олімпіада з математики

ІІ етап
7 клас


    1. Довести, що число є складеним.

    2. Знайти трицифрове число , таке що чотирицифрові числа , задовольняють рівняння .

    3. В середині кута АОВ, рівного , проведені промені ОС і ОD так, що кожен з них є бісектрисою якогось із кутів, що утворилися при цьому. Знайдіть величину кута АОС. Укажіть всі можливі варіанти.

    4. Декілька учнів ходили по гриби. Учень, який зібрав найбільшу кількість грибів, зібрав від загальної кількості зібраних учнями грибів, а учень, який зібрав найменшу кількість грибів, зібрав від загальної кількості. Скільки учнів ходило по гриби? Відповідь обґрунтуйте.

    5. У гральному кубику грані пронумеровані числами від 1 до 6. З п’яти таких кубиків склали башту (поставили один на інший) та підрахували суму чисел на усіх зовнішніх гранях. Після того, як зняли верхній кубик, ця сума зменшилась на 19. Яке число могло б бути на верхній грані нового верхнього кубика.


Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Користування калькулятором заборонено.

Всеукраїнська учнівська олімпіада з математики

ІІ етап
8 клас


  1. Яке з чисел більше: чи ?

  2. Знайдіть усі трійки натуральних чисел, які задовольняють умові:

  3. Відрізки AМ і BH відповідно медіана і висота гострокутного трикутника ABC. Відомо, що AH=1, а . Знайдіть довжину сторони BC.

  4. По кругу записані n цілих чисел, сума яких дорівнює 14. Відомо, що будь-яке з записаних чисел дорівнює модулю різниці двох чисел, які слідують за ним. Знайдіть всі можливі значення n.

  5. До кожної грані кубика приклеїли по такому ж кубику. До кожної грані поверхні одержаної фігури приклеїли ще раз по такому ж кубику (можливо, деякі кубики закрили дві грані). З якої кількості квадратиків складається поверхня одержаного тіла?


Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Користування калькулятором заборонено.

^ Всеукраїнська учнівська олімпіада з математики

ІІ етап
9 клас


  1. Знайти суму: , де – ціла частина числа .

  2. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:

  3. Графік функції перетинає вісь абсцис у точках А і С, а вісь ординат у точці В. Відомо, що Знайти де О – початок координат.

  4. В прямокутному трикутнику висота, яка опущена на гіпотенузу, ділить її на відрізки, різниця яких дорівнює одному з катетів трикутника. Знайдіть кути трикутника.

  5. По кругу записані n цілих чисел, сума яких дорівнює 4022. Відомо, що будь-яке із записаних чисел дорівнює модулю різниці двох чисел, які слідують за ним. Знайдіть всі можливі значення n.


Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Користування калькулятором заборонено.

^ Всеукраїнська учнівська олімпіада з математики

ІІ етап
10 клас


  1. Скількома нулями закінчується число, що дорівнює значенню виразу:

?

  1. Про функцію відомо, що:

для всіх додатних та ;



Знайти:

  1. Нехай O – внутрішня точка квадрата ABCD зі стороною AB=1, для якої виконується рівність . Доведіть, що O – центр квадрата.

  2. Нехай — арифметична прогресія з різницею 1. Відомо, що найменша серед усіх (менше суми перших n членів для будь-якого іншого значення n). Яких значень може приймати перший член прогресії?

  3. Для даного натурального  8 розглянемо на шаховій дошці квадрати розміру n n клітинок. Для кожного такого квадрата порахуємо кількість чорних клітинок на ньому, а потім додамо отриману кількість для всіх квадратів n n. При якому n ця сума досягає найбільшого значення?


Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Користування калькулятором заборонено.

^ Всеукраїнська учнівська олімпіада з математики

ІІ етап

11 клас

  1. Порівняти числа та , де – дробова частина числа , – ціла частина числа і

  2. Доведіть, що якщо додатні дійсні числа і , то .

  3. Дано прямокутний паралелепіпед . Порівняйте відстані від вершини до площин і

  4. Про многочлени з цілими коефіцієнтами відомо, що многочлен ділиться без остачі на Знайдіть

  5. До кола R1=4 будується коло R2=2, яке дотикається його зовнішнім чином, потім будується коло R3=1, що дотикається цих двох зовнішнім чином. На кожному наступному кроці будується коло радіуса вдвічі менше попереднього, що дотикається зовнішнім чином двох кіл, побудованих на двох попередніх кроках. Доведіть, що:

a) всі побудовані кола вміщаються у квадрат зі стороною

b) всі побудовані кола вміщаються у круг радіуса
Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Користування калькулятором заборонено.