asyan.org
добавить свой файл
1
Відповіді, вказівки, розв'язки

6 клас

    1. 6.2. Відповідь:

    2. 6.4. Розв'язання. Один з можливих розв'яків вказано на малюнку.















































































6.5. Відповідь: «Ні».

Розв'язання: Якщо передбачити, що перший хлопчик сказав правду, то виявляється, що всі троє правдиві, а другий хлопчик збрехав, тобто отримуємо протиріччя. Значить, перший хлопчик брехун, а другий сказав правду. Передбачаючи, що третій хлопчик завжди говорить правду, отримуємо, що перший учень сказав правду, тобто отримуємо протиріччя. Значить, третій хлопчик – брехун, тобто він збрехав і відповів: «Ні».

7 клас

7.1. Відповідь. Так, існують

7.2. Відповідь: на 45 відсотків.

Розв'язання: Якщо татові збільшать зарплату вдвічі і синові збільшать зарплату вдвічі, то сумарний дохід сім'ї зросте рівно на татову зарплату і на синів стипендію, що за умовами завдання становить 80% сімейного бюджету. Отже, мамина зарплата становить решту 20% сімейного бюджету. Якщо потроять синові стипендію і мамину зарплату, то дохід сім'ї збільшиться на 2 стипендії сина і 2 мамині зарплати, що становить 60% сімейного бюджету. Значить, син з мамою приносять до бюджету удвох 30%. Отже, татів дохід становить 70% сімейного бюджету. Мамина і татова зарплата разом становлять 20 +70 = 90% сімейного бюджету. Значить, якщо зарплату мамі і татові зменшать удвічі, то сімейний бюджет зменшиться на 45%

7.3. Відповідь:

Вказівка: звідси слідує, що (иботак як має ділитися націло на 10, а єдина цифра,що ділиться на на 10 - це 0).

7.4. Відповідь: ні.

Вказівка. Нехай у вихідній системі було x точок, а в новій - y точок. Тоді y + 2 (y-1) = 2013 і x + 2 (x - 1) = y. З першого рівняння y = не є цілим числом.
7.5. Відповідь: 30 °. Розвязання. Оскільки кожному пронумерованому куту відповідає рівний йому непронумерований вертикальний кут, то сума пронумерованих кутів дорівнює 180 °, тобто 1+2+3+4+5=180°; тоді 35=180°–50°–220°=90°, звідки 5=30°.

8 клас

8.1. Відповідь: 3 хвилини.

Розв'язання: Перший спосіб. За 1 хвилину старший брат проходить 1/12 частина відстані від будинку до школи, а молодший брат - 1/16 частину. Через хвилину молодший брат був від будинку на відстані 1/16 частини всього шляху, з цього моменту до нього навздогін відправився старший брат. За хвилину відстань між ними скорочується на 1/12-1/16 = 1/48 частина шляху. Значить, до зустрічі пройде 1/16: 1/48 = 3 хвилини.

Другий спосіб. Зауважимо, що якщо брати йдуть однаковий час, то молодший брат проходить ¾ від відстані, пройденої старшим. Нехай для того, щоб наздогнати молодшого, старшому довелося пройти відстань x. Значить в той момент, коли старший почав йти, молодший вже пройшов x / 4 за 1 хвилину. На решту ¾ шляху потрібно 3 хвилини.

8.2.

8.3. Відповідь: ні.

Вказівка. Нехай у вихідній системі було x точок, а в новій - y точок. Тоді система y + 2 (y - 1) = 2014 і x + 2 (x - 1) = y не має розвязку в натуральних числах.
8.4. Розв’язання: Очевидно, що KL + MN + PQ одно периметру трикутника ABC. Покажемо, що сума LM + NP + KQ більша периметра ABC. Розглянемо суму кутів при вершині А:  ВАС +  САQ +  QАК +  КАВ = 360°. Врахуємо, що  ВАС - гострий,  САQ =  КАВ = 90° . Значить,  QАК - тупий. Аналогічно доводиться, що кути B і C в трикутниках BLM і CNP, відповідно, тупі. Отже, сторони KQ, LM і NP - великі в розглянутих трикутниках. Запишемо нерівності: KQ>AK, LM>MB, NP>CP. Оскільки AK=AB, MB=BC і CP=AC, то KQ+LM+MP > AB+BC+AC, що й потрібно було довести.


8.5. Відповідь: жодного.

Розв'язання: Злодії ніколи не обманюють мешканців міста, тому ніхто з них не міг представитися як поліцейський. Поліціанти брешуть мешканцям міста, і ніхто з них не міг зізнатися, що він поліціант. Значить, у цій групі мешканців не було.
9 клас

9.1. Відповідь: .

Розв'язання: З наведених рівностей слідує: . Оскільки число х від’ємне, при множенні на воно зменшується. Тому .

9.2. Відповідь: ні.

Вказівка. Сума 2013 чисел непарна, тому шукане розбиття неможливо.

9.3. Відповідь: два кореня.

Розв'язання: Розглянемо функцію f(x)=x2+px+2013q. Оскільки так як а гілки параболи спрямовані вгору, то графік функції у = f (x) перетинає вісь абсцис у двох точках, а, отже, дане рівняння має два кореня.

9.5. Позначимо через М точку перетину діагоналей чотирикутника. З точки Р опустимо перпендикуляр РЕ на сторону АВ і перпендикуляр РК на сторону CD. Розглянемо трикутники АEР і РКD. Кут КРD є половина центрального кута СРD і тому вимірюється половиною дуги СD. Але половиною цієї дуги також вимірюється і спирається на неї вписаний кут CBD. Значить  КРD= CBD. Аналогічно кут ЕРА вимірюється половиною дуги АВ і тому дорівнює вписаному куту АСВ. Але кути АСВ і CBD - гострі кути в прямокутному трикутнику СМВ, тому їх сума становить 90 градусів. Але тоді в силу доведеного  ЕРА+КРD=90і, розглядаючи прямокутний трикутник АEР, отримуємо КРD=90– ЕРА=ЕАР . Це означає, що трикутники АEР і КРD рівні за гострим кутах і гіпотенузи (їх гіпотенузи - радіуси кола). Але тоді рівні і їх площі, а вони складають по половині площі трикутників АРВ і CPD відповідно. Значить, площі цих трикутників тakoж рівні.



10 клас

10.1 Відповідь: 2

Розв'язання: Найдем , тоді , отже . Таким чином, композиція трьох функцій число 2 відображається в себе. Число 2013 при діленні на 3 дає в остачі 0. Це означає, що композиція 2013 підряд функцій число 2 відображає в 2.

10.2. Відповідь: 4026.

Розв'язання: Нехай маємо чотири вектора . Тоді

, так як сума чотирьох

векторів дорівнює 0. Оскільки за умовою вектор має

довжину 2013, то довжина вектора рівна 2013, тоді довжина рівна 2013:2. Аналогічно, кожний з чотирьох векторів має довжину 2013:2, тоді сума їх довжин рівна 4026.

10.4. Доведення. Складем турнірну таблицю ігр команд «Зубило», «Дробило», «Молотило» між собою:








Результат ігр

«Зубило»

«Дробило»

«Молотило»

Команди

«Зубило»




a:b

c:d

«Дробило»

b:a




e:f

«Молотило»

d:c

f:e




Отримаємо:

a+c=60,

a+f=80,

d+f=с+е.

З перших двох рівностей знаходимо

f–с=20,

з третьої отримаємо

е=d+f–с=d+20,

е+(f–с)=d+20+20.

звідси слідує,

е+f40.

Отже, в матчі «Дробило»-«Молотило» було забито не меньше 40 голів.
10.5. Відповідь:45°.

Розв'язання: Оскільки діагональ АС є серединним перпендикуляром до діагоналі ВЕ, то ВТ=ТЕ. Тоді з рівності МТ=ЕТ слідує ВТ=МТ. Отже, трикутник ВТМ – равнобедренний. Так як РВТ=АВС–МВТ=90°–МВТ и ВРТ=90°–МВТ, то РВТ=ВРТ.

В М С


Т
А Е

Р

Тому, трикутник РВТ – рівнобедренний. Оскільки ВТ=МТ=РТ=ЕТ, то точки В, М, Р, Е лежать на колі з центром в точці Т. А так як кути МРЕ і МВЕ опираються на одну і ту ж само дугу кола, то вони рівні і МВЕ=МРЕ=45°.



11 клас

11.1. Відповідь: Умова і рівносильна системі:

Звідси слідує, що єдине можливе значення так як для а також при вихідна система не має розв’язків.

11.2. Відповідь: . Очевидно, що

.

11.3. Якщо то при .

при .

11.4. Розв’язання: Із умови слідує, що

.

Якщо і , то - протиріччя. Точно таке ж отримаємо протиріччя, якщо змінити знаки в двох попередніх нерівностях. Отже, и , звідки слідує, що . Задачу доведено.
11.5. Відповідь: 4026.

Розв'язання: Нехай маємо чотири вектора . Тоді

, так як сума чотирьох

векторів дорівнює 0. Оскільки за умовою вектор має

довжину 2013, то довжина вектора рівна 2013, тоді довжина рівна 2013:2. Аналогічно, кожний з чотирьох векторів має довжину 2013:2, тоді сума їх довжин рівна 4026.

11.6.

Розв'язання: Нехай для визначеності SFA1B1 = SFC1B1. Із рівності площ бічних граней маємо:

SSAB = SSCD = SSCB= SSAD, тобто SA*SB*sinASB=SC*SD*sinCSD =

= SB*SC*sinBSC=SA*SD*sinASD.

Звідси, одержуємо, що sinASB*sinCSD = SSC1B1* SSA1D1

= sinBSC*sinASD. Помноживши цю рівність на добуток

SA1*SB1*SC1*SD1, ми отримаємо, що SSA1B1 * SSC1D1=SSA1B1*SSC1D1 .

Враховуючи, що SSA1B1 = SSC1D1, маємо що SSA1D1= SSC1D1.