asyan.org
добавить свой файл
1 2 3
Основні означення та факти з теорії визначників

Визначники другого та третього порядку.


Означення. Визначником другого порядку називається число, яке обчислюється за правилом = x1y2x2y1.

Означення. Визначником третього порядку називається число, яке обчислюється за правилом

= x1y2z3 +x2y3z1 + x3y1z2 - x3y2z1 - x2y1z3 - x1y3z2.

Поняття матриці.


Матрицею порядку m x n називається прямокутна таблиця чисел, яка складається з m рядків та n стовпчиків.

A = .

Числа aij називаються елементами матриці A. Положення кожного елемента матриці визначається номерами рядка і стовпчика, в яких знаходиться цей елемент. Це положення визначається парою індексів, наприклад, aij – елемент, який знаходиться в i–му рядку і j–му стовпчику матриці A.

Матриця, число рядків якої співпадає з числом стовпчиків, називається квадратною. Квадратна матриця порядку n x n називається квадратною матрицею порядку n.

Поняття перестановки.


Нехай дана система різних елементів a1,a2,…,an. Перестановкою цієї системи називається будь-яке упорядкуване розміщення елементів.

Іншими словами, перестановкою називається будь-яка упорядкована послідовність, яку утворюють дані елементи. Наприклад, числа 1,2,3,4 утворюють перестановки 1,2,3,4; 3,4,2,1; 2,3,1,4 та ін. Далі будемо розглядати лише перестановки систем натуральних чисел.

Будемо казати, що два числа і,j в перестановці утворюють інверсію, якщо і>j і в перестановці число і стоїть раніше від j.

Наприклад, в перестановці 4,2,1,3 інверсії утворюють пари чисел (4,2), (4,1), (4,3), (2,1).

Перестановка називається парною, якщо її елементи утворюють парне число інверсій. Перестановка називається непарною, якщо її елементи утворюють непарне число інверсій.

Наприклад, в перестановці 4,2,1,3 інверсії утворюють пари чисел (4,2), (4,1), (4,3), (2,1), тобто в перестановці 4 інверсії, а тому перестановка парна. В перестановці 3,1,4,2 інверсії утворюють пари чисел (3,1), (3,2), (4,2), тобто в перестановці 3 інверсії, і перестановка непарна. В перестановці 1,2,3,4 інверсій немає, тобто число інверсій дорівнює нулю, і перестановка парна.

Теорема 1.


^ Число всіх перестановок, які можна скласти з n елементів, дорівнює n!

Нехай в перестановці міняються місцями два елементи. Така операція називається транспозицією.

Теорема 2.


Кожна транспозиція змінює парність перестановки.

Наслідок. При n2 число парних перестановок з n елементів співпадає з числом непарних і дорівнює .



следующая страница >>