asyan.org
добавить свой файл
1 2 3
Розв’язання завдань ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 2011-2012 рік
6 клас
1. Який з двох виразів більший:

чи ?
Відповідь: перший вираз більший.

Розв’язання. Це можна зробити простим обчисленням цих виразів, якщо привести їх до спільного знаменника. Але простіше це можна зробити таким чином. У другому виразі ми маємо, що



,

звідки очевидно, що другий вираз менший.
2. Знайдіть найменше чотирицифрове число з усіма різними цифрами, яке ділиться націло на 9.
Відповідь: .

Розв’язання. Число тим менше, чим менше в нього перші цифри. Оскільки число чотирицифрове, то усього у нього 4 цифри, усі за умовою різні. Найменша перша цифра 1, найменша друга цифра – це 0. За таких умов найменша третя цифра – 2. Далі, щоб це число було кратним 9 треба, щоб остання цифра була 6.
3. У кожній клітині шахівниці записане число 0 або 1. Леся порахувала суми чисел у кожному рядку, у порядку зростання вони мали такі значення: 0, 1, 2, 2, 2, 5, 6 та 8. Андрійко підрахував суми чисел у кожному стовпчику і у порядку зростання вони мали такі значення: 0, 2, 2, 3, 4, 4, 5 та 6. Чи не помилився хтось із діток у своїх підрахунках?
Відповідь: хтось із діток помилився.

Розв’язання. Якщо припустити, що Леся правильно все підрахувала, то є рядок, у якому сума чисел дорівнює , у це означає, що цей рядок цілком складається з одиниць, тобто не містить жодного нуля, а це в свою чергу означає, що у кожному стовпчику є принаймні одна одиниця, тобто не може бути жодного стовпчика, у якого сума чисел , а це суперечить числам, що записані Андрієм. Тому хтось помилився.
4. Всередині квадрата зі стороною 6 розмістили 5 однакових прямокутників як це показане на рис. 1 (сторони кожного прямокутника паралельні сторонам квадрата). Знайдіть площу прямокутника.
Відповідь: .

Розв’язання. Нехай менша сторона прямокутника , а більша – . Тоді розглядаючи по горизонталі сторони прямокутників (рис. 1), одержимо таку рівність:

.

Аналогічно по вертикалі маємо, що:

.

Звідси площа прямокутника дорівнює 2.

7 клас
1. Який з двох виразів більший:

чи ?
Відповідь: перший вираз більший.

Розв’язання. Це можна зробити простим обчисленням цих виразів, якщо привести їх до спільного знаменника. Але простіше це можна зробити таким чином. Обчислимо вирази: та . Тому, якщо у кожному із заданих виразів розставити дужки таким чином:

та ,

оскільки перший вираз додатній як сума додатних доданків, а другий вираз – від’ємний.
2. Знайдіть найменше п’ятицифрове число з усіма різними цифрами, яке ділиться націло на 9.
Відповідь: .

Розв’язання. Число тим менше, чим менше в нього перші цифри. Оскільки число чотирицифрове, то усього у нього 4 цифри, усі за умовою різні. Найменша перша цифра 1, найменша друга цифра – це 0. За таких умов найменша третя цифра – 2. Для того, щоб число було кратним 9, треба щоб сума цифр була кратною 9, тобто у даному випадку дорівнювати 9 або 18. Сума перших трьох цифр дорівнює 3, тому сума двох останніх цифр повинна дорівнювати 6 або 15. У першому випадку можливі варіанти , , , – жоден з них умову не задовольняє. Для другого варіанту суму можна одержати так: або . Найменше число таким чином утвориться у випадку .
3. Заданий круг та кільце навколо нього, яке розрізане на 11 однакових частин, як це показане на рис. 2. Чи можна пофарбувати одержані 11 частин та круг у три кольори – жовтий, блакитний та червоний таким чином, щоб жодні дві фігури, які пофарбовані у однаковий колір, не мали спільної межі?
Відповідь: не можна.

Розв’язання. Припустимо, що ми можемо це зробити. Без обмеження загальності будемо вважати, що круг у центрі пофарбований у червоний колір. Він має спільну межу з кожним із секторів, тому усі вони повинні бути пофарбовані у жовтий та блакитний кольори. Якщо перший пофарбований у жовтий колір, і оскільки він межує з другим сектором, то другий сектор має бути пофарбований у блакитний колір, далі так само, третій фарбується знову у жовтий, четвертий – у блакитний і т.д. При цьому це єдина можливість потрібного фарбування. Дійдемо до 10 сектора, він повинен бути пофарбованим у блакитний колір. Тому далі 11-й сектор треба пофарбувати у жовтий колір, але тоді він має спільну межу з першим сектором, який так само жовтий. Одержана суперечність показує неможливість указаного фарбування.
4. У чотирикутника такі довжини сторін , , , . Знайдіть довжину діагоналі , якщо відомо, що вона визначається цілим числом.
Відповідь: .

Розв’язання. Позначимо , тоді , крім того, . Звідси, .
5. Леся написала на дошці декілька попарно різних натуральних чисел. Андрійко не зміг серед них вибрати трьох, сума яких кратна 3. Скільки щонайбільше чисел могла написати на дошці Леся?
Відповідь: 4 числа.

Розв’язання. Спочатку наведемо відповідний приклад. Серед чотирьох чисел не можна вибрати шуканих трьох, у чому легко переконатись простим перебором.

Припустимо, що таких чисел можна обрати п’ять. Усього числа можуть мати три різні остачі при діленні на , це числа . Якщо там є такі три, які мають попарно різні остачі при діленні на , то їх сума кратна . Інакше, тоді якоїсь остачі повинно не бути. Тобто різних остач щонайбільше дві, але чисел п’ять, тому якась остача зустрічається принаймні у трьох різних чисел. Тоді вже їх сума кратна . Твердження доведене.
8 клас
1. Обчисліть значення виразу:

.
Відповідь: .

Розв’язання. Позначимо число , тоді заданий дріб можна подати у такому вигляді:


2. Чи існують цілі числа , які задовольняють рівність:

?
Відповідь: таких чисел не існує.

Розв’язання. З трьох цілих чисел принаймні два маю однакову парність, наприклад це числа , тоді сума – парна, звідси кратна , а – ні. Одержана суперечність доводить потрібне.
3. У першій коробці є деяка кількість жовтих м’ячів, а у другій деяка кількість блакитних м’ячів. Андрій бере якусь кількість м’ячів з першої коробки та перекладає їх в другу і перемішує їх там. Після цього Леся перекладає таку ж саму кількість м’ячів з другої коробки у першу. Яких м’ячів більше – жовтих у другій коробці чи блакитних у першій після таких двох перекладань?
Розв’язання. Однакова кількість

Нехай з першої коробки Андрій переклав жовтих м’ячів у другу коробку. Леся переклала м’ячів у першу коробку, серед яких було жовтих. Тоді жовтих м’ячів у другій коробці залишиться , але тоді і блакитних у першій коробці буде також .

що й треба було довести.
4. Знайдіть усі такі прості числа та , для яких число також є простим.
Відповідь: або .

Розв’язання. Без обмеження загальності будемо вважати, що . Простою перевіркою переконуємось, що пара не задовольняє умови.

Якщо – непарні, то вони також умову не задовольняють, оскільки сума парне число більше . Тому одне з них парне, звідси . Залишається з’ясувати при яких простих число – просте. Розглянемо остачу при діленні на . Якщо , то воно не кратне і дає остачу при діленні на або , або , тому дає остачу , звідки ділиться на тобто простим не є. Таким чином єдина можливість, що залишилась – це . Перевіркою переконуємось, що число – просте.






следующая страница >>