asyan.org
добавить свой файл
1
Анотація

У роботі розглянуто деякі види задач на побудову, та доведено, що геометричним місцем середин хорд, проведених з однієї точки кола є коло, діаметром якого є радіус, проведений у цю точку. Ця теорема дала можливість по-іншому поділити відрізок пополам; розв'язати серію задач на побудову трикутника, за умовами яких можна побудувати описане навколо трикутника коло та відома одна з медіан.

Доведення теореми проведено з використанням координатного методу. Під час аналізу доведення теореми знайдено більш практичний спосіб її доведення, що стало можливим в силу того, що Декартову прямокутну систему координат можна вибрати як завгодно. Також у роботі запропоновано задачі для самостійного розв'язування, які можна розв'язати, використовуючи теорему про геометричне місце середин хорд, проведених з однієї точки кола.

Теорема про геометричне місце середин хорд проведених з однієї точки кола

З'ясуємо спочатку, що таке задачі на побудову? Задачі на побудову - це задачі, у яких йдеться про побудову деякої геометричної фігури за допомогою креслярських інструментів. Найчастіше такими інструментами є циркуль і лінійка. Розв'язування задач цього типу полягає не стільки у самій побудові геометричної фігури, що володіє певними властивостями, а насамперед у відшуканні способу як виконати побудову, доведенні, що побудована фігура володіє потрібними властивостями та аналізу розв'язку задачі. Тому розв'язування задач доцільно проводити у чотири етапи:

1. Аналіз умови задачі.

На цьому етапі потрібно уявити, що задача, яку треба виконати розв'язана і ми шукану фігуру вже побудували. Потім, рухаючи у зворотному порядку, ми повинні встановити як можна побудувати таку фігуру.

Результатом виконання першого пункту має бути складений план побудови.

2. Побудова шуканої фігури.

На цьому етапі розв'язування задачі за складеним при виконанні пункту 1 планом, виконуємо побудову.

Результатом виконання пункту 2 має бути побудована шукана фігура.

3. Доведення.

На цьому етапі розв'язування задачі потрібно довести, що фігура, яку побудували виконуючи пункт 2, володіє потрібними властивостями, тобто є шуканою.

4. Аналіз розв'язку задачі.

На цьому етапі потрібно проаналізувати розв'язання задач і встановити скільки розв'язків може мати дана задача, залежно від даних задачі, довжин заданих сторін,

медіан, бісектрис, величин кутів тощо.

Як правило ,у шкільному курсі геометрії обмежуються двома першими етапами розв'язування задачі, а доведення слідує безпосередньо з побудови. У нашій роботі основна увага буде приділена задачам, у яких дано сторону трикутника, медіану, проведену з одного кінців даної сторони, та за даними умови задачі можна побудувати коло, описане навколо шуканого трикутника.

Аналізуючи такі задачі ми сформулювали та довели теорему про геометричне місце середин хорд кола, проведених з однієї точки цього кола, і показали як можна застосовувати доведену теорему для розв'язування задач цього типу.

Зазначимо, що задачі цього типу зустрічаються на математичних олімпіадах для учнів старших класів. Розв'язування таких задач потребує від учнів вміння користуватись циркулем і лінійкою, мати добре розвинене логічне мислення, у багатьох випадках потребує від учнів неординарних кроків та вимагає високої графічної культури.
1. Аксіоми циркуля і лінійки.

Лінійка у задачах на побудову відрізняється від масштабної лінійки, яку використовують на уроках креслення. Лінійкою у задачах на побудову вважають інструмент, який має одну рівну сторону. Тому лінійкою можна виконувати такі операції:

  1. Провести довільну пряму.

  2. Провести довільну пряму, яка проходить через дану точку.

3. Провести пряму, що проходить через дві дані точки, ніяких інших операцій виконувати за допомогою лінійки не можна. Зокрема, за допомогою лінійки не можна відкласти відрізок даної довжини. За допомогою циркуля можна побудувати коло або його частину даного радіуса з центром у даній точці, а також на даній прямій від даної точки відкласти відрізок заданої довжини. Ніяких інших операцій виконувати за допомогою циркуля не можна.

2. Основні методи розв'язування задач на побудову.

Частину задач на побудову вважають основними, їх використовують як одне ціле при розв'язуванні складніших задач.

Це такі задачі:

  1. Побудова трикутника за даними сторонами.

  2. Побудова кута, що дорівнює даному.

  3. Побудова бісектриси кута.

  4. Ділення даного відрізка пополам.

  5. Побудова перпендикулярної прямої:

а) що проходить через точку на даній прямій;

б) що проходить через точку поза даною прямою.
Задачі на побудову можна поділити на різні типи, але методи їх розв'язування можна поділити на дві групи:

  1. Алгебраїчний метод.

  2. Геометричні методи.

Алгебраїчний метод полягає в тому, що при розв'язуванні задачі використовують алгебраїчні розрахунки, а потім проводять геометричні побудови. Яскравим прикладом таких задач є задача про побудову трикутника за його висотами.

У геометричних методах можна обійтись без проведення алгебраїчних розрахунків.

3. Теорема про геометричне місце середин хорд, проведених з однієї точки кола.

Сформулюємо задачу.

Побудуйте трикутник за відомою стороною, медіаною, проведеною з одного з кінців даної сторони та радіусом описаного кола.



З аналізу умови задачі зрозуміло, що дана задача буде розв'язана, якщо буде відомо де знаходяться середини хорд, поведених з точки С.

Сформулюємо та доведемо теорему про геометричне місце
середин хорд, проведених з однієї точки кола.
Теорема.Середини хорд, проведених з даної точки кола
знаходяться на колі, діаметром якого є радіус,

проведений у цю точку кола, кожна точка малого кола є серединою деякої хорди з кінцем у даній точці.
Доведення. Нехай на малюнку зображено дане коло. Введемо систему координат так, що її початок співпаде з центром кола.

У цій системі координат коло має рівняння х2 + у2 =R2. Виберемо точку А1, яка знаходиться на верхній половині кола. Точка має координати А11;

Запишемо рівняння кола з центром у точці і радіусом r =

.

Візьмемо на верхній частині кола деяку точку А22; ). Покажемо, що середина відрізка A1A2 належить малому колу. Знайдемо координати точки Ас -середини хорди A 1 А 2.





Підставимо дані координати у рівняння малого кола.

(;

(;

;

=;

=;

;
Отже, координати точки Ас задовольняють рівняння малого кола.



Доведемо тепер, що будь-яка точка малого кола є серединою деякої хорди , одним з кінців якої є точка



Нехай точка X( хс;

довільна точка малого кола.

(Зазначимо , що вибір знака плюс перед виразом не обмежує загальності).

Знайдемо координати точки А3 такої, що точка X є серединою відрізка A1 А3.

;

;

;

;

;

;

2

Покажемо, що точка Аз належить великому колу.









Теорему доведено.

Отже, ми довели, що геометричним місцем середин хорд, проведених з однієї точки є коло побудоване на радіусі, проведеному у цю точку як на діаметрі.

Зауваження 1.

Вибір точки у верхній частині кола не обмежує загальності, так як у випадку, коли точка буде у нижній частині кола, то її ордината стане від'ємною, що не вплине на доведення. Цього можна уникнути , спрямувавши вісь ординат вниз. Якщо ж точка А3 потрапить на вісь х, то твердження теореми очевидне.

Зауваження 2.

Доведення теореми можна значно спростити, вибравши систему координат так, щоб її початок співпадав з центром кола і вісь х проходила через точку , а точка А2 знаходилась у верхній частині великого кола.

Виберемо систему координат так, щоб її початок співпадав з центром кола, а вісь х проходила через точку А1 і точка А2 знаходилась у верхній частині кола, тоді рівняння великого кола х2 + у2 =R2.



A1(R;0), A2(x2;), O1 - середина відрізка ОА1, матиме

координати О1(;0 ).

Мале коло матиме таке рівняння =

Знайдемо координати точки Ас - середини відрізка А1А2.





Покажемо, що координати точки Ас

задовольняють рівняння малого кола.









Покажемо тепер, що будь-яка точка малого кола є серединою деякої хорди з кінцем у точці А1.



Нехай X - точка верхньої частини малого кола, тоді X(






Так як X - точка верхньої половини малого кола, то



X()

Знайдемо координати точки А3 такої, що точка X буде

серединою відрізка А1А3.



;

;

;

;

;

Покажемо, що координати точки А3 задовольняють рівняння великого кола.

;

;

;

;

;

Що й треба було довести.

4. Застосування теореми про геометричне місце середин хорд , проведених з однієї точки кола , для розв'язування задач на побудову.

Застосуємо теореми про геометричне місце середин хорд, проведених з однієї точки кола для розв'язування задач.

Задача №1 . Побудувати трикутник за його стороною, радіусом описаного кола та медіаною, проведеною до однієї з невідомих сторін.

І. Аналіз умови задачі.



Припустимо, що шуканий трикутник ми вже побудували.

На малюнку О - центр кола описаного навколо АВС , АС -дана сторона, АК - дана медіана. З'ясуємо , за яким планом можна побудувати шуканий трикутник.

  1. Потрібно провести пряму а і вибрати на ній довільну точку А.

  2. На цій прямій вправо від точки А можна відкласти дану сторону трикутника. Отримана точка буде вершиною С.

  3. Маючи радіус описаного кола, можна знайти його центр, провівши кола даного радіуса з центром в точках А і С. Точка перетину цих кіл буде центром описаного кола О.

  1. З центром у точці О можна провести коло даного радіуса R - це коло, описане навколо АВС.

  2. Згідно з теоремою про геометричне місце середин хорд, проведених з однієї точки кола, можна побудувати коло діаметром, якого є радіус ОС, а кожна точка цього кола є серединою хорди з кінцем у точці С.

  3. Можна провести дугу з центром у точці А радіусом, що дорівнює даній медіані до перетину з малим колом. Точка перетину К - основа медіани, проведеної на сторону ВС.

  4. Можна провести хорду, яка проходить через точку К і одним кінцем якої є точка С. Ця хорда перетне коло в точці В.

8. З'єднаємо точки А і В.



II. Побудова.

З міркувань, наведених вище, маємо такий план побудови.

План побудови

  1. Проведемо довільну пряму а і виберемо на ній довільну точку А.

  2. На прямій а від точки А вправо відкладемо дану сторону. Одержану точку назвемо С

  3. У верхній півплощині відносно прямої а проведемо дуги кіл. Радіуси яких R, а центрами є точки А і С до їх перетину. Точки перетину назвемо О.

  4. З центром у точці О проведемо коло радіусом R.

  5. Проведемо радіус ОС.

  6. Поділимо радіус ОС пополам і його середину назвемо О1.

  7. З центром у точці проведемо коло радіусом .

  8. З центром у точці А у верхній півплощині проведемо дугу, радіус якої дорівнює даній медіані. Точку перетину проведеної дуги і малого кола назвемо К.

  9. Через точку К проведемо хорду великого кола одним з кінців якої є точка С. Другий кінець хорди назвемо В.

10.Сполучимо точки А і В. Одержали АВС.



III. Доведення.

Доведемо, що побудований АВС володіє потрібними властивостями. За теоремою про геометричне місце середин хорд, проведених з однієї точки кола,ВК=СК. За побудовою АК дорівнює довжині медіани, так як розхил циркуля

АК= m. AC дорівнює довжині даної сторони за побудовою. Радіус описаного кола дорівнює R за побудовою.

IV. Аналіз розв'язку задачі.

Якщо R < ,то задача розв'язків не матиме, так як не можна буде побудувати центр описаного кола О, бо кола з центром у точках А і С і радіусом R не перетнуться.

Задача також не матиме розв'язку, якщо виконуватиметься нерівність

т + < АО1.

У цьому випадку коло з центром у точці А і радіусом т не перетне мале коло, а тому точку К побудувати неможливо.

Якщо виконуватиметься нерівність m >AO1 + ,то

задача також не матиме розв'язків, бо мале коло буде знаходитись всередині кола з центром у точці А і радіусом т.

Якщо R = і т =задача не матиме розв'язків ,так як О буде серединою відрізка АС і точка К співпаде з точкою О.

Якщо R = і т = ,то задача не матиме розв'язків, так як точка К співпаде з точкою С.

Якщо R = і трикутники, так як АС -діаметр описаного кола.

Таких трикутників у різних розміщеннях можна отримати 4 і вони будуть рівні між собою, тому що хоч мале коло перетнеться із колом з центром у точці А і радіусом т, але точки перетину будуть симетричні відносно сторони АС.

Якщо R>і т=.

У цьому випадку задача матиме чотири розв'язки ,так як одна з точок перетину малого кола і кола з центром А і радіусом т буде серединою відрізка АС.

Якщо R > і т = АС задача також матиме чотири розв'язки (чотири

однакових трикутники),так як одна з точок перетину малого кола і кола з центром у точці А і радіусом т співпаде з точкою С(лежатиме на відрізку АС )

Якщо R>



т

тАС,

то мале коло перетинатиметься з колом з центром у точці А і радіусом т у 2 точках, жодна з яких не належатиме відрізку АС. Кожну з цих точок можна взяти за К і вони не будуть симетричні відносно прямої а(2 розв'язки).

Якщо точки А і С поміняти місцями, отримаємо ще 2 розв'язки.

Якщо точку О побудувати в нижній півплощині відносно прямої а і повторити наведені вище викладки, отримаємо ще 4 розв'язки.

Отже, у цьому випадку задача матиме 8 розв'язків і дві четвірки рівних трикутників, по-різному розміщених відносно сторони АС.

Отже, залежно від даних, задача може не мати розв'язків взагалі, мати 4 розв'язки(4 однакових трикутники, розміщених по-різному зокрема , 4 прямокутних трикутники ) або мати 8 розв'язків (2 четвірки рівних трикутників, розміщених по-різному).

Задача 2

Побудувати трикутник за відомою стороною, протилежним їй кутом та медіаною, проведеною до однієї з невідомих сторін.

Розв'язання.

І. Аналіз умови задачі.



Припустимо, що шуканий трикутник ми побудували. На малюнку це трикутник ABC.

За умовою задачі дані сторона АС, медіана АК та А В. Проаналізуємо, як можна було б це зробити.

  1. Можна провести довільну пряму і вибрати на ній довільну точку А та відкласти вправо від вибраної точки відрізок АС.

  2. Враховуючи, що всі кути, вписані в коло, які опираються на одну і ту саму хорду, рівні, можна побудувати трикутник АLС такий, що ABC = ALC і

AL = CL.

  1. Маючи ALC, можна знайти центр кола, описаного навколо цього трикутника (точку О). Очевидно, що це коло буде описане і навколо трикутника ABC.

4.Можна побудувати геометричне місце середин хорд,

одним з кінців яких є точка С.

5. Маючи медіану АК, можна побудувати точку К.

6.Провівши хорду через точки С і К, одержимо точку В. Таким чином трикутник буде побудований.

II. Побудова шуканого трикутника.

З міркувань, наведених вище, маємо слідуючий план побудови шуканого трикутника.

План побудови

  1. Проведемо довільну пряму а і виберемо на ній довільну точку А.

  2. На вибраній прямій вправо від точки А відкладемо відрізок, що дорівнює даній стороні трикутника. Одержану точку назвемо С.

  1. Поділимо даний кут В пополам.

  2. Побудуємо кут 90° B.

  3. У верхню півплощину від променя АС відкладемо кут

90° B.

6. Від променя СА у верхню півплощину відкладемо
кут 90° - B. Точку перетину сторін відкладених кутів назвемо L.

  1. Побудуємо центр описаного кола навколо ACL. Для цього проведемо серединні перпендикуляри до сторін АL, і CL і точку їх перетину назвемо О.

  2. Проведемо відрізок ОС та знайдемо його середину.

9. Побудуємо коло з центром у точці О1 і радіусом О1O.
10.3 центром у точці А проведемо коло радіусом т.

Точку перетину цього кола з малим колом, яка знаходиться у тій же півплощині, що й точка L, позначимо К.

11. Через точки С і К проведемо хорду великого кола. Другий її кінець позначимо В.

12.Сполучимо точки А і В.

Проведемо побудову за вказаним планом.



III. Доведення.

Доведемо, що АВС володіє потрібними властивостями. Сторона АС має дану довжину за побудовою.

Так як LAC = LCA = 90° - B, то

LAC + LCA = 90° - - B + 90° - -B=180° -B

LAC + LCA + ALC = 180°, бо сума кутів трикутника дорівнює 180°.

ALC = B.

Отже, ці кути спираються на одну й ту саму хорду АС. Так як центр описаного навколо трикутника кола є точкою перетину серединних перпендикулярів до його сторін, то О - центр кола, описаного навколо АВС і ALC .

Отже, коло , діаметром якого є відрізок ОС є геометричним місцем середин хорд, описаного кола, одним з кінців якого є точка С. Отже, ВК=СК, АК=т - за побудовою. IV. Аналіз розв'язку задачі.

З умови задачі зрозуміло, що 0°<<180°, зокрема, якщо B = 90°, то точка О (центр описаного кола) буде серединою відрізка АС. У цьому випадку, якщо

т АС, то задача розв'язків не матиме.

Якщо тАС, задача також не матиме розв'язків.

При АС<т<АС задача матиме 4 розв'язки (4 однакові прямокутні трикутники, але по-різному розміщені відносно відрізка АС, крім випадку, коли ВО є серединним перпендикуляром до АС. У цьому випадку розв'язком є 2 прямокутні рівнобедрені трикутники).

Нехай радіус побудованого описаного кола OC=R.

При умові m AO1,

задача розв'язків не матиме.

Якщо АО1- задача матиме 2 розв'язки, крім випадку, коли ВО є серединним перпендикуляром до відрізка АС. Якщо ж ВО буде серединним перпендикуляром до відрізка АС, то розв'язком буде один рівнобедрений трикутник (точки В і L співпадуть).

Отже, задача може не мати розв'язків, мати 1 розв'язок, 2 або 4 розв'язки.

5.3адачі для самостійного розв'язування

№1

Використовуючи теорему про геометричне місце середин хорд, проведених з однієї точки кола, поділити даний відрізок пополам.

№2

Побудувати трикутник за відомою стороною, протилежним їм кутом та медіаною, проведеною до цієї сторони.

№3

Побудувати трикутник за стороною, сумою прилеглих до неї кутів та медіаною, проведеною до однієї з невідомих сторін.

№4

Побудувати трикутник за стороною, сумою прилеглих до неї кутів та медіаною, проведеною до цієї сторони.

№5

Побудувати трикутник за радіусом описаного кола, центральним кутом, що відповідає одній із сторін та медіаною, проведеною до однієї з двох інших сторін.

№6

Побудувати трикутник за радіусом описаного кола, центральним кутом, що відповідає одній із сторін, та медіаною, проведеною до цієї сторони.

№7

Побудувати трикутник за стороною, відстанню від цієї сторони до центра описаного навколо трикутника кола та медіаною, поведеною до однієї з двох інших сторін.

№8

Побудувати трикутник за стороною, відстанню від цієї сторони до центра описаного кола та медіаною, проведеною до цієї сторони.

№9

Побудувати трикутник за радіусом описаного кола, відстанню від центра описаного кола до однієї з сторін та медіаною, проведеною до однієї з двох інших сторін.

№10

Побудувати трикутник за радіусом описаного кола, відстанню від центра описаного кола до однієї з сторін та медіаною, проведеною до цієї сторони.

№11

Побудувати трикутник за відомою стороною, радіусом описаного кола та медіаною, проведеної до відомої сторони.