asyan.org
добавить свой файл
1

Уроки геометрії в 7 класі Розділ ІІ. Взаємне розташування прямих на площині

Урок 14

Тема. Теореми і аксіоми.

Мета. Ознайомити учнів з поняттями теорема, аксіо­ма, означення, ознака, з доведенням методом від супротив­ного.

Вимоги до підготовки учнів. У результаті вивчення те­ми учні мають уміти пояснити, що таке аксіома, теорема, ознака, означення, доведення, метод доведення від супро­тивного.
Методичні вказівки

На уроці слід в доступній для семикласників формі по­яснити, що таке аксіома, теорема, означення, розкрити зміст понять: умова і висновок теореми, ознака, обернена теорема.

Ознака — це теорема, яка встановлює критерій існу­вання чи виконання чого-небудь. Учням відома, напри­клад, ознака подільності натуральних чисел на 3. її фор­мулюють здебільшого у вигляді двох тверджень (прямого й оберненого). Тому нерідко пояснюють, що ознака обо­в'язково включає достатню умову і необхідну умову. Це не завжди так. У математиці ознаками часто називають тіль­ки достатні умови або тільки необхідні. Стосовно пара­лельності прямих також правильне таке твердження:

Дві прямі паралельні тоді і лише тоді, коли січна ут­ворює з ними рівні внутрішні різносторонні кути.

Тут одним реченням сформульовано дві теореми. Одну з них — достатню умову — в підручнику названо ознакою паралельності прямих, а другу — властивістю. Хоч вони за змістом досить близькі, але за способами доведення — з різних геометрій: абсолютної і евклідової. Тому їх звичай­но не об'єднують.

До теорем відносимо тільки правильні доводжувані твердження.

Семикласникам не обов'язково наголошува­ти, що аксіоми і теореми — твердження (висловлення), а означення — не твердження. Це краще зробити пізніше.

Корисно звернути увагу учнів на доведення методом від супротивного. У підручнику [2, с. 28] пояснено: "Цей спо­сіб доведення полягає в тому, що спочатку робимо припу­щення, протилежне тому, яке стверджується теоремою..." Тут неправильно вжито слово протилежне замість супро­тивне. З погляду логіки це принципово різні поняття.

Доводячи теорему методом від супротивного, треба спростовувати не протилежне до даного твердження, а су­противне. Щоб краще зрозуміти суть питання, бажано з'ясувати, які два твердження називають протилежними, а які супротивними. Розглянемо для прикладу два вис­ловлення: "число а парне" і "число а непарне".

Якщо йдеться про одне і те саме конкретне ціле число а, то ці два висловлення супротивні: коли одне з них непра­вильне, то друге обов'язково правильне. Чи можна подіб­ний висновок зробити стосовно здавалось би аналогічних висловлень: "функція f(х) парна" і "функція f(х) непарна"?

Ні. Бо існують і такі числові функції f(х), для яких кожне з двох сформульованих висловлень неправильне. Ці два висловлення протилежні, але не супротивні. Різни­ця в тому, що у множині цілих чисел, крім парних і непар­них, ніяких інших немає (мал. 25). А крім парних і непар­них числових функцій існують і такі, які не є ні парними, ні непарними (мал. 26). Для висловлення "функція f(х) парна" супротивним є: "функція f(х) не є парною" .

Протилежні, але не супротивні також висловлення про дійсні числа: "число а додатне" і "число а від'ємне". А от висловлення "число а додатне" і "число а не додатне" не тільки протилежні, а й супротивні. Бо об'єднання додат­них і не додатних чисел становить множину дійсних чи­сел. Два твердження Т(А) і Т(В) про під множини А і В якоїсь універсальної множини U бувають супротивними, якщо множина U дорівнює об'єднанню А і В.



Логічною основою методу доведення від супротивного є закон виключеного третього. Формулюють його так. Два супротивні твердження одночасно не можуть бути хибними; одне з них обов'язково істинне, друге хибне, а третього не може бути. Саме тому, спростувавши одне з двох взаємно супротивних тверджень, можна стверджува­ти, що друге істинне. Для протилежних тверджень закон виключеного третього не справджується. Два протилежні твердження одночасно можуть бути хибними. Тому, спро­стувавши одне з двох протилежних тверджень, не можна стверджувати, що друге твердження істинне.

У рубриці "Для допитливих" запитується, чи в кожно­му трикутнику середини сторін і основи висот лежать на одному колі. На цьому уроці краще на це запитання не відповідати, а дати можливість допитливим учням са­мостійно пошукати відповідь. Тільки через кілька днів можна відповісти, що таку властивість має кожний три­кутник. А ще доповнити відповідь, сказавши, що це коло проходить і через середини відрізків, які сполучають точ­ку перетину висот трикутника з усіма його вершинами, і що таке коло називають колом дев'яти точок або колом Ейлера. Звичайно, у 7 класі розглядати це питання не обов'язково.
Робота з матеріалом підручника

Для роботи в класі: § 8; № 225—235, 237, 238, 240—242, 244, 245, 248.

Для роботи вдома: § 8; ЗДС (с. 73); № 236, 239, 243, 246, 247, 249.
Вказівки до розв'язування задач

233. Якщо кути суміжні, то їх сума дорівнює 180°.

234. Якщо а || b і а || с, то b || с. Можна писати і так: як­що а || b і b || с, то а || с.

Або ще коротше: (а || b і b || с) → а || с.

235. Твердження а) і б) неправильні, бо рівними бува­ють не тільки вертикальні кути.

Твердження в) правильне, бо будь-які два вертикальні кути рівні.

235. Якщо сума мір двох кутів дорівнює 180°, то ці ку­ти суміжні. Це твердження неправильне.

236. Якщо прямі паралельні, то відповідні кути, утво­рені ними з січною, дорівнюють один одному. Це тверд­ження правильне.

237. Кути з відповідно паралельними сторонами рівні або їх сума дорівнює 180°.

239. а) Ні. Бісектриса кута — промінь, а не пряма.

б) Ні. Наприклад, промінь КР ділить кут АОВ на рівні частини, але не є його бісектрисою (мал. 27).



241. Ні. Бо мимобіжні прямі також не перетинаються.

242. Твердження 1 правильне, а 2 неправильне. Бо, на­приклад, сума чисел 13, 4 і 8 ділиться на 5, а жодне з них на 5 не ділиться.

243. Кут між бісектрисами двох вертикальних кутів розгорнутий (мал. 28). Адже якщо ОР і ОК — бісектриси вертикальних кутів АОС і ВОD, то АОВ = 180° і 1 = 4, тому 1 + 2 + 3 = 4 + 2 + 3 = 180°.

Кут між бісектрисами двох суміжних кутів — прямий.

244. а) Дві прямі, паралельні третій, паралельні одна одній.

б) Дві прямі однієї площини, які перпендикулярні до третьої прямої, паралельні одна одній.

Твердження а) правильне і для простору (це доводить­ся в 10 класі), а твердження б) для простору неправильне.

246. а) Неправильне, бо кути А і С вертикальні; б) непра­вильне; в) неправильне. Наприклад, якщо АВСDА1В1С1D1 — куб, то ребра АВ і ВВ1 лежать в одній площині, ВВ1 і В1С1 — в другій, а АВ і В1С1 не лежать в одній площині.

247. На малюнку 29 ребра АВ і РС піраміди зображено паралельними відрізками, хоч насправді вони не пара­лельні. Не паралельні і ребра АР і ВС.

248. Січна с перетинає паралельні прямі а і b так, що внутрішні різносторонні кути 1 і 3 рівні, а) Оскільки 1 = 6 і 8 = 3 як вертикальні, то кути 6 і 8 рівні, б) Оскільки 1 = 8 і 1 + 5 = 180°, то і 8 + 5 = 180° (мал. 30). Подібним способом можна показати, що коли а || b, то 5 = 7 і 6 + 7 = 180°.

249. Спочатку розглянемо випадок, коли дані кути з відповідно перпендикулярними сторонами мають спільну вершину О (мал. 31 ). Якщо ОК ОА і ОВ ОР, то 1 = 90° - 2 = 3.

Якщо кути 3 і 4 суміжні, то 4 + 1 = 4 + 3 = 180°.

Якщо МХ ОА і МY ОB, то 5 = 3 як кути зі спів-напрямленими сторонами (див. с. 65 підручника).

Отже, 5 = 1, 6 + 1 = 180° - 5 + 1 = 180°.





Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н.Г. Урок 14