asyan.org
добавить свой файл
1
Урок алгебри і початків аналізу в 11 класі фізико-математичного профілю
Тема. Множини та операції над ними

(2 год)
Мета: формувати знання учнів про множину та її елементи, способи задання множин та про операції над ними: об’єднання, переріз, різницю; ввести поняття включення та доповнення множин. Розширювати кругозір учнів, поглиблювати міжпредметні зв’язки. Розвивати логічне і абстрактне мислення. Виховувати культуру математичного запису та мови.
Тип уроку: урок засвоєння нових знань.
Хід уроку
І. Мотивація вивчення нового матеріалу.
1.Вступне слово учителя:

- Давайте на хвилиночку забудемо, що ми на уроці алгебри, і послухаємо уривок художнього твору: «Зіронька! Красуня! Лиска! - підганяє пастух корів, що йдуть на пасовисько. Так і дивися, якась поверне до лісу або загубиться. Особливо Красуня: тільки замислився - шукай вітру в полі! Зіронька - та нічого: поки батогом не підженеш, з місця не зсунеться. А з Лискою своя біда: дуже бодлива, не підчепила б когось на роги...»

Для пастуха кожна корова - особлива: у кожної свій характер, свої звички. Для дачників усі корови на галявині однакові - просто стадо.

Ось що значить точка зору! Для одного - неповторні індивідуальності. Для іншого - сукупність, що розглядається як єдине ціле.

Взагалі, людині властиво розглядати те або інше зібрання предметів, споріднених за якою-небудь ознакою, як самостійний об’єкт.

Перша скрипка, друга скрипка, альт, віолончель, контрабас, флейта, труба, литаври. Про все це, взяте разом, ми говоримо: оркестр.

Посуд для кави, молока, цукру, декілька чашок і стільки ж блюдець. А все це разом - сервіз.

А, Б, В, Г, Д, ..., Ю, Я. Всі разом - алфавіт.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... Разом усі ці числа утворюють натуральний ряд чисел.

Невипадково кожну з цих сукупностей ми називаємо іменниками в однині: оркестр, сервіз, алфавіт, ряд - ідея об’єднання помітна навіть у такій граматичній категорії.

У математиці подібні об’єднання прийнято називати одним словом - МНОЖИНА.

2. Повідомлення теми і мети уроку.

- Сьогодні ми маємо познайомитися з поняттям множини, її елементів, навчитися виконувати операції над ними, тому що теорія множин лежить в основі найновіших математичних дисциплін, які ми вивчатимемо у ІІ семестрі – комбінаторики, теорії ймовірностей і статистики.

Слайд 1.

З терміном «множина» ми вже зустрічалися на уроках алгебри. Давайте пригадаємо, де і коли (порожня множина, множина розв’язків рівняння, множина значень функції, та й саме означення функції дається через відповідність між двома множинами; графік – множина точок з певними координатами і т. д.).
ІІ. Вивчення нового матеріалу.
1. Поняття множини.

У сучасній математиці поняття множини вважається одним з основних. Його універсальність полягає в тому, що під нього можна підвести будь-яку сукупність як матеріальних, так і нематеріальних об’єктів. Тут підійде все: марки, люди, зірки, птахи, квіти, книжки, числа, точки, функції, аксіоми, відтінки, типи людських характерів, війни, революції тощо.

Що ж таке множина? Що ж це за об’єкт розгляду, в якому, як у скриньці фокусника, ховаються і марки, і числа, і посуд, і музичні інструменти?

Спробуйте дати означення множини.

Це важко, до речі, до цього часу нікому з математиків не вдалося дати строгого означення множини, оскільки поняття множини є в математиці первинним, на основі якого будуються інші математичні поняття.

Найточніше його описав німецький математик Георг Кантор, який сказав: «Множина – це багато, що мислиться як єдине ціле». Кантора по праву називають батьком теорії множин.

2. Історична довідка.

Слайд 2.
КАНТОР, ГЕОРГ ФЕРДИНАНД ЛЮДВІГ ФІЛІП народився 3 березня 1845 р. в м. Санкт-Петербурзі. Його мама, Анна Бьом, була вихідцем із сім'ї талановитих музикантів, серед яких був і директор Віденської консерваторії, засновник відомої школи скрипалів. Його батько, Георг Вольдемар Кантор, був успішним комерсантом, людиною, яка передала сину глибокі релігійні переконання.

Коли Георг був ще дитиною, сім'я переїхала з Росії до Німеччини, і саме там почалось його навчання математиці. Освіту він отримав в університетах Цюріха, Берліна та Геттенгина. У 24-річному віці став приват-доцентом, у 1872 - ад'юнкт-професором, у 1879 р. - професором Галльського університету.

Перші праці Кантора були присвячені тригонометричним рядам (рядам Фур'є).У ході цих досліджень він створив теорію ірраціональних чисел, яка отримала широке визнання.

У 1874 р. довів, що множина дійсних чисел є нескінченною, у 1878 р. сформулював загальне поняття множини. У своїх працях Кантор виклав принципи вчення про нескінченність.

Перші праці вченого зустріли опір з боку багатьох сучасних йому математиків, оскільки вважалося, що «нескінченність» ніколи не увійде до складу математичних понять. Ідеї Кантора виявились настільки неочікуваними і так суперечили інтуїції, що знаменитий французький математик Анрі Пуанкаре називав їх «хворобою», від якої математика мала невдовзі видужати, а Леопольд Кронекер - учитель Кантора і один з найавторитетніших математиків Німеччини, особисто нападав на Кантора, називаючи його «шарлатаном».

І хоча Кантор був переконаний, що його ідеї були послані Богом, але все-таки дуже важко переживав неприйняття своїх поглядів. Кажуть, що наслідком цих переживань став маніакально- депресивний психоз, яким Кантор страждав на схилі літ.

Помер Кантор в Галлі 6 січня 1918 р. Проте його теорія множин розвивалася й невдовзі стала основною математичною дисципліною, яка широко застосовується в різних розділах математики.
Отже, множина - це основне математичне поняття, яке не означається.

У повсякденному житті його зміст можна виразити словами: сукупність, набір, клас, табун, колекція, команда, екіпаж, букет, зграя тощо.

Наведемо приклади різних множин і підберемо інші слова, що вказують на ту ж саму сукупність об’єктів.

Множина квітів у вазі - букет.

Множина сухих листочків різних рослин у альбомі - гербарій.

Множина книжок на полицях - бібліотека.

Множина людей, які є громадянами однієї країни, - співвітчизники.

Поняття множини використовують у різних шкільних предметах: математиці, географії, біології, хімії. Наприклад.

Коло - це множина всіх точок площини, рівновіддалених від однієї точки цієї площини.

Іменники – це множина слів, які відповідають на питання «хто?», «що?».

Меридіан - це множина всіх точок земної поверхні, що мають одну й ту ж довготу.

Паралель - це множина всіх точок земної поверхні, що мають одну й ту ж широту.

Електричний струм – це множина заряджених частинок, що рухаються в певному напрямку.

Бджолина сім’я (рій) - це множина бджіл.

Обмін речовин - це множина хімічних реакцій.

Кухонна сіль - це множина молекул NaCl.
3. Позначення і способи задання множин.

Працюючи з числовими множинами, ми помітили, що множини позначаються великими літерами латинського алфавіту, а їх елементи – малими (слайд 3).

Яким же способом можна задати множину?

Найпростішим є той, яким задана множина учнів вашого класу у класному журналі - списком, тобто переліком елементів (слайд 4). Цим способом задана множина днів тижня, множина уроків на вівторок і т. д.

Але множину парних чисел, множину розв’язків нерівності х<3 задати переліком елементів неможливо, оскільки вони є нескінченними. Тоді використовують спосіб задання множини за допомогою характеристичної властивості. Зручно задавати множини графічним способом, а також за допомогою так званих кругів Ейлера.
4. Поняття включення і доповнення.

Відношення між множинами, коли елементи однієї множини є одночасно і елементами другої, називається включенням, а множина А в цьому випадку називається підмножиною множини В (слайд 5). Наприклад, множина дівчат вашого класу є підмножиною учнів вашого класу. Які ще підмножини включаються у множину учнів вашого класу?

Завдання. Побудувати «ланцюжок» включень для таких множин (слайди 6-8) :

І варіант

Z- множина цілих чисел;

Q- множина раціональних чисел;

R- множина дійсних чисел;

N- множина натуральних чисел;

P- множина додатних чисел, які діляться на 5.

ІІ варіант

A - множина чотирикутників;

K - множина квадратів;

P - множина паралелограмів;

R - множина ромбів;

M - множина многокутників.

Інколи доцільно розглядати сукупність елементів, які не входять до даної множини. Вони утворюють множину, яка називається доповненням даної множини (слайд 9). Коли говорять про доповнення, то мають на увазі доповнення до якоїсь універсальної множини, з якої беруться об’єкти. Наприклад, Якщо А – множина голосних звуків, то її доповнення – множина приголосних звуків, якщо В - множина робочих днів тижня, то її доповнення – множина вихідних днів. Дід з бабою тягнуть ріпку у дитячій казці. Ким ще потрібно доповнити множину персонажів, щоб витягнути ріпку?
5. Операції над множинами.

Оскільки множини - це математичні об’єкти, то над ними повинні виконуватись операції, схожі на ті, які ми виконуємо, наприклад, над числами.

Об'єднанням множин А і В називають множину С, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать хоча б одній із цих множин (слайди 10-13).

Перерізом множин А і В називають множину С, яка складається з тих і тільки тих елементів, що належать обом множинам одночасно (слайди 14-17) .

Різницею множин А і В називають множину А\В, яка складається з тих і тільки тих елементів, які належать множині А і не належать множині В (слайди 18-21) .
ІІІ. Розв’язування вправ та задач
(Є.П.Нелін, О.Є.Долгова, Алгебра і початки аналізу, 11 клас,ст. 229-231)
2 (усно). За якою характеристичною властивістю записані такі множини:
1) {понеділок, вівторок, середа, четвер, п’ятниця, субота, неділя};

2) {січень, лютий, березень, квітень, травень, червень, липень, серпень, вересень, жовтень, листопад, грудень};

3) {Австралія, Азія, Америка, Антарктида, Африка, Європа};

4) {до, ре, мі, фа, соль, ля, сі};

5) {0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8,. 9}
3 (усно). Наведіть приклади порожніх множин.
7 (усно). Поясніть, чому виконується рівність:

1) А Ø =А;

2) А А =А;

3) А Ø =Ø ;

4) А А =А.
8 (самостійно з наступною перевіркою). Запишіть множину всіх двоцифрових чисел, які можна записати за допомогою цифр 0, 1, 3.
11 (колективно). В одній множині 40 різних елементів, а в другій — 30. Скільки елементів може бути в їх:

а) перерізі; б) об'єднанні (слайди 22-23)?
Задача №1(колективно)

У деякому вузі було складено звіт про вивчення іноземних мов студентами однієї групи. Перевірте, чи правильно складено цей звіт.

(Слайди 24-25)
Задача №2 (колективно)

У жорстокому бою 70 із 100 піратів втратили око, 75 – одне вухо, 80 дістали поранення в руку, а 85 – поранення в ногу.

Яка мінімальна кількість могла бути тих, хто дістав одночасно усі чотири поранення?

(Слайди 26-27)
ІV. Самостійна робота
1. І варіант

А = {м, у, х, а},

В = {п, а, в, у, к},

С = {к, о, м, а, х, и}.

ІІ варіант

А = {к, в, і, т, и},

В = {т, р, а, в, и},

С = {н, е, к, т, а, р}.

Знайти:

а) переріз А і В;

б) переріз В і С;

в) переріз А , В і С;

г) об'єднання А і В;

д) об'єднання В і С;

е) об'єднання А, В і С;

є) різницю А і В;

ж) різницю А і С

з) доповнення С до А В С.

2. В об'єднанні трьох множин M, N, K, що перетинаються, 5 елементів.

Розташуйте їх так, щоб у кожній із множин було:

а) по 5 елементів;

б) по 4 елементи;

в) по 3 елементи;

г) по 2 елементи.
V. Підсумки уроку
Домашнє завдання:

§18, №5, №6, №13, №14, ст. 230 (слайд 28).

.