asyan.org
добавить свой файл
1
Лабораторна робота №2

Синтез оптимальних систем автоматичного керування за допомогою методу динамічного програмування


Мета: засвоїти метод синтезу оптимальних САК за допомогою диференційного рівняння Р.Беллмана та отримати навички аналізу динаміки САК на ПОМ із використанням математичних моделей.

2.1. Теоретичні відомості
Метод динамічного керування вперше був створений для розв’язування задач дискретного керування, а потім при деяких припущеннях був поширений на задачі синтезу оптимального керування в неперервних автоматичних системах.

Сутність задачі заключається в тому , щоб синтезувати такий алгоритм керування об’єктом, за допомогою якого можна було б перевести об’єкт з початкового стану в кінцевий заданий стан при мінімумі функціоналу. Такий алгоритм керування вважається оптимальним.

В основі розв’язку цієї задачі лежить диференційне рівняння Р.Беллмана, яке представлене в матричній формі:

(1)

або у векторній формі

(2)

де (2а)

Невідома функція Белмана (x) виражає собою мінімальне значення функціоналу: звідки (3)

Оптимальне керування визначається із рівняння Белмана (2) при умові його мінімального значення. В залежності від обмежень на керування і типу критерію оптимальності, задача пошуку оптимального керування об’єктом має відповідний метод розв’язку.

Синтез оптимальної САК з обмеженнями на керування для квадратичного функціоналу, який не містить .

Дано об’єкт керування:



(4)

і квадратичний функціонал із діагональною матрицею 



(5)

Необхідно визначити оптимальне керування об’єктом при обмеженнях типу:

Складемо рівняння Белмана

(6)

Єдиним доданком, що залежить від вибору керування є:

(7)

Мінімум рівняння (6) буде забезпечений , якщо цей доданок буде завжди відніматися від решти членів рівняння при будь-яких значеннях xi.

Отже оптимальне керування повинно мати наступну форму:

(8)

Оскільки об’єкт керування (4) лінійний , а функціонал (5) квадратичний , то функцію (х) будемо шукати у формі квадратичної додатньо визначеної функції Ляпунова, яка повинна визначити стійкість синтезованої системи керування

(9)

Матрицю Q вважаємо симетричною, тобто

(10)

Елементи матриці необхідно визначити з умови стійкості вільного руху системи використовуючи рівняння об’єкта й функціонала. Визначимо похідну за часом функції Ляпунова:

(11)

Підставимо сюди рівняння вільного руху об’єкта (4) при U=0

.

Тоді одержимо:

(12)

Синтезована оптимальна система буде стійкою, якщо похідна за часом функції Ляпунова (11) буде від’ємно-визначеною функцією:

(13)

де права частина буде завжди від’ємно-визначеною в силу прийнятого квадратичного функціонала (5).

Якщо тепер прирівняти вирази (12) (13)

, (14)

то одержимо математичне алгебраїчне рівняння:

(15)

для визначення коефіцієнтів qi матриці Q , а значить функції (х) (9), яка дає можливість за формулою (8) одержати оптимальне керування.
2.2. Виконання роботи

Вихідні дані:

Варіант №56

а11 = 0, а12 = 1, а21 = -5, а22 = -6, α1 = 1 = 1, α2 = 2 = 0,5 , х10 = 0, х20 = -5, х= 5,

х= 10, Umax = 5, b1 = 0, b2 = 1,  = 0,1.

2.2.1. Розраховую керування для випадку квадратичного функціоналу, який не містить керування, та наявності обмежень на керування.

(16)

; ;

. (17)

та функціонал (18)

; . (19)

При обмеженні на керування визначити оптимальне керування.

Для розв’язку задачі складаю рівняння Беллмана за формулою (2)



(20)

З умови мінімуму рівняння Беллмана визначаю оптимальне керування:

(21)

У відповідності до (9) функцію Беллмана представлю функцією Ляпунова у вигляді квадратичної форми:
(22)

матрицю Q вважаємо симетричною , тобто q12 = q21 .крім того ввожу позначення

q11 = q1 , q22 = q2 , q12 = q21 = q3.

Тоді функція Ляпунова набуває наступної форми :

. (23)

Для забезпечення постійної додатності функції (х) коефіцієнти qi повинні задовольняти умовам критерію Сильвестра.

. (24)

Для визначення u(x)opt обчислюю значення похідних

. (25)

Тоді за формулою (21) отримую

(26)

де - функція переключення.

Компоненти матриці Q визначаю із рівняння (15)

, яке для нашої задачі має вигляд:

(27)

Виконую операцію множення матриць

(28)

З цього матричного рівняння одержую систему чотирьох лінійних рівнянь для визначення параметрів qi.

(29)

Друге і третє рівняння системи (29) ідентичні в силу симетричності матриці Q .Тому для визначення параметрів q1 , q2 , q3 розв’язую систему з трьох незалежних рівнянь.





Зроблю перевірку по критерію Сильвестра (24):

.

Отже


Структурна схема оптимальної САК для даної задачі зображена на рис.2.1.
Р
ис.2.1 Структурна схема оптимальної САК


2.2.2 Виконання моделювання для трьох варіантів постановки задачі.

2.2.2.1. Моделювання для випадку відсутності обмежень на керування

2.2.2.1.1. Для заданих значень коефіцієнтів функціоналу.



Рис. 2.2. Перехідний процес для заданих значень коефіцієнтів функціоналу
2.2.2.1.2. Для двох інших значень α1.



Рис. 2.3. Перехідний процес при α1 = 0,8



Рис. 2.4. Перехідний процес при α1 = 0,9


2.1.3. Для двох інших значень α2.



Рис. 2.5. Перехідний процес при α2 = 1



Рис. 2.6. Перехідний процес при α2 = 0,7

2.2.2.1.4. Для двох інших значень β



Рис. 2.7. Перехідний процес при β = 0,15



Рис. 2.8. Перехідний процес при β = 0,19
2.2.2.2. Моделювання для випадку наявності обмежень на керування

2.2.2.2.1. Для заданих значень коефіцієнтів функціоналу.



Рис. 2.9. Перехідний процес для заданих значень коефіцієнтів функціоналу


2.2.2.2.2. Для двох інших значень α1.



Рис. 2.10. Перехідний процес при α1 = 0,8



Рис. 2.11. Перехідний процес при α1 = 0,9


2.2.2.2.3. Для двох інших значень α2.



Рис. 2.12. Перехідний процес при α2 = 1



Рис. 2.13. Перехідний процес при α2 = 0,7


2.2.2.2.4. Для двох інших значень Umax



Рис. 2.14. Перехідний процес при Umax = 1



Рис. 2.15. Перехідний процес при Umax =7

2.2.2.3. Моделювання для випадку наявності обмежень на керування та функціоналу, що не містить керування

2.2.2.3.1. Для заданих значень коефіцієнтів функціоналу.



Рис. 2.16. Перехідний процес для заданих значень коефіцієнтів функціоналу


2.2.2.3.2. Для двох інших значень λ1.



Рис. 2.17. Перехідний процес при λ1 = 0,8


Рис. 2.18. Перехідний процес при λ1 = 0,9




2.2.2.3.3. Для двох інших значень λ2.



Рис. 2.19. Перехідний процес при λ2 = 1




Рис. 2.20. Перехідний процес при λ2 = 0,7

2.2.2.3.4. Для двох інших значень Umax



Рис. 2.21. Перехідний процес при Umax = 1



Рис. 2.22. Перехідний процес при Umax= 7


Таблиця 2.1. Результати досліджень

Тип постановки задачі (без обмежень, з обмеженнями тощо)

Значення параметрів, вплив яких досліджується

Час регулю-вання

за X1вих

Час регулю-вання

за X2вих

Перерегу-лювання за X1вих

Перерегу-лювання за X2вих

α1

(λ1)

α2

(λ2)

β

(Umax)

tрег1

tрег2

σ1

σ2

Необмежене керування

1

0,5

0,1

1,34

1,37

0

0

0,8

0,5

0.1

1,32

1,36

0

0

0,9

0,5

0,1

1,33

1,36

0

0

1

1

0,1

1,36

1,40

0

0

1

0,7

0,1

1,34

1,38

0

0

1

0,5

0,15

1,29

1,34

0

0

1

0,5

0,3

1,29

1,31

0

0


Обмежене керування

1

0,5

5

4,54

3,27

0

41,2

0,8

0,5

5

4,54

3,27

0

41,1

0,9

0,5

5

4,54

3,28

0

41,2

1

1

5

4,55

3,27

0

41,4

1

0,7

5

4,54

3,27

0

41,0

1

0,5

1

4,28

3,01

0

41,7

1

0,5

7

4,54

3,28

0

41,2

Обмеження на керування і функціонал

1

0,5

5

2,54

2,46

0

48,7

0,8

0,5

5

2,75

2,53

0

48,2

0,9

0,5

5

2,63

2,44

0

48,8

1

1

5

3,58

2,89

0

48,1

1

0,7

5

2,90

2,58

0

48,5

1

0,5

1

3,13

3,02

0

45,6

1

0,5

7

2,45

2,35

0

51,2


Висновок:


В даній лабораторній роботі я засвоїв метод синтезу оптимальних САК за допомогою диференційного рівняння Р.Беллмана та отримав навички аналізу динаміки САК на ПОМ із використанням математичних моделей. Розрахував керування для випадку квадратичного функціоналу, який не містить керування, та наявності обмежень на керування.

Виконав моделювання для випадку відсутності обмежень на керування,

наявності обмежень на керування і наявності обмежень на керування та функціонал, що не містить керування. Визначив час регулювання та перерегулювання