asyan.org
добавить свой файл
1
Розділ 2. КОМБІНАЦІЇ КУЛІ ТА ТІЛ ОБЕРТАННЯ

Розглянемо комбінації кулі та конуса, кулі та ци­ліндра.

Означення 3. Кулю називають описаною навколо циліндра, якщо паралельні перерізи кулі є основами циліндра. Циліндр називають у даному випадку впи­саним у кулю.



Означення 4. Кулю називають описаною навко­ло конуса, якщо переріз кулі є основою конуса, а вершина конуса лежить на поверхні кулі. Конус у такому випадку називають вписаним у кулю.

Означення 5. Кулю називають вписаною в циліндр, якщо одна її діаметральна площина є перерізом циліндра, а перпендикулярна їй діаметральна площи­на дотикається до основ циліндра. Циліндр назива­ють у даному випадку описаним навколо кулі.

Означення 6. Кулю називають вписаною в конус, якщо вона має з основою конуса одну спільну точ­ку, а решта спільних точок є одночасно перерізом кулі і конуса площиною, паралельною його основі. Конус у такому випадку називають описаним нав­коло кулі.
З означень випливають деякі властивості комбі­нації кулі та конуса, кулі та циліндра, які можна за­пропонувати учням для самостійного доведення:

  1. Навколо конуса можна описати кулю, причому центр кулі належить висоті конуса або її продовженню;

  2. Навколо циліндра можна описати кулю, при­чому центр її збігається з серединою осі циліндра;

  3. Навколо зрізаного конуса можна описати кулю, причому центр кулі лежить на осі зрізаного конуса;

  4. У циліндр, конус, зрізаний конус можна вписа­ти кулю тоді і тільки тоді, коли в осьовий переріз цих фігур можна вписати коло, причому центр кулі збігається з центром цього кола;

  5. У циліндр можна вписати кулю тоді і тільки тоді, коли він рівносторонній (осьовий переріз — квад­рат), причому центр вписаної кулі — середина відрізка, що сполучає центри основ циліндра, а її радіус дорів­нює радіусу основи циліндра;

  6. У конус можна вписати кулю, причому її центр — точка перетину бісектрис осьового перерізу конуса;

  7. У зрізаний конус можна вписати кулю тоді і тільки тоді, коли сума радіусів основ конуса дорів­нює його твірній, причому центр вписаної кулі —
    середина відрізка, що сполучає центри основ зріза­ного конуса.

Примітка. Доцільно пояснити учням, що коли в умові задачі сказано, що в деяке тіло вписано кулю (навколо деякого тіла описано кулю), не потрібно доводити те, що кулю можна вписати (описати). Об­ґрунтування потребує лише розміщення центра впи­саної (описаної) кулі.

Як і в попередньому розділі, після розглянутих опорних задач можна запропонувати учням запитан­ня для закріплення:

  1. Де знаходиться центр кулі, описаної навколо циліндра? Чи навколо будь-якого циліндра можна описати кулю?

  2. Які властивості симетрії має циліндр з описа­ною навколо нього кулею?

  3. Де знаходиться центр кулі, описаної навколо циліндра?

  4. Які властивості симетрії має зрізаний конус з описаною навколо нього кулею?

  5. За яких умов центр кулі, описаної навколо зріза­ного конуса, лежить:

а) усередині конуса;

б) на основі;

в) поза конусом?

  1. Чи може центр кулі, описаної навколо зрізано­го конуса, знаходитися поза конусом?

  2. Чи завжди у конус можна вписати кулю? Якщо так, то де знаходиться її центр?

  3. Чи в будь-який циліндр можна вписати кулю?


Задачі для самостійного розв'язування

Задача 1. а) Кут між твірною конуса і його висо­тою дорівнює . Відстань від центра описаної на­вколо конуса кулі до основи висоти дорівнює l. Об­числити повну поверхню конуса.

б) В основі конуса проведено хорду довжиною b, яку видно з центра основи під кутом . Кут при вершині осьового переріза конуса дорівнює . Знай­ти об'єм описаної кулі.

Задача 2. а) Відношення висоти конуса до радіуса описаної навколо нього кулі дорівнює q. Знайти відно­шення об'ємів цих тіл.

б) У кулю вписано рівносторонній циліндр і рівносторонній конус. Довести, що .

Задача 3. а) Радіуси основ зрізаного конуса дорів­нюють 24 см і 15 см, а його висота — 27 см. Знайти радіус описаної кулі.

б) Радіуси основ зрізаного конуса відносяться як 1 : 4, твірна нахилена до більшої основи під кутом . Знайти відношення площ поверхонь куль, описаних навколо зрізаного і повного конусів.

Задача 4. а) У нижній основі циліндра проведено хорду довжиною а, яку видно з центра основи під кутом . Відрізок, що сполучає центр верхньої осно­ви з серединою цієї хорди, утворює з основою кут . Знайти площу поверхні описаної навколо цилінд­ра кулі.

б) Конус вписано в кулю, радіус якої дорівнює R. Знайти площу бічної поверхні конуса, якщо кут при вершині його осьового перерізу дорівнює .

Задача 5. а) Знайти радіус кулі, описаної навколо зрізаного конуса з радіусами основ 25 см і 7 см і твірною 30 см.

б) У зрізаному конусі діагоналі осьового перерізу взаємно перпендикулярні, а твірна l утворює з пло­щиною основи кут . Знайти радіус кулі, описаної навколо зрізаного конуса.

Задача 6. а) У нижній основі рівностороннього циліндра проведено хорду довжиною b. З центра верх­ньої основи її видно під кутом . Знайти площу поверхні кулі, вписаної в циліндр.

б) Знайти відношення площі сфери, вписаної в конус, до площі повної поверхні конуса, якщо твірну конуса видно з центра сфери під кутом .

Задача 7. а) Навколо кулі описано рівносторонній циліндр і рівносторонній конус. Довести, що .

б) У циліндр, що вписаний в кулю, вписано куля. Знайти відношення площ поверхонь і об'ємів цих кулю.