asyan.org
добавить свой файл
  1 ... 2 3 4

8. Рівняння виду (1)

де - числа, які не дорівнюють нулю, розв'язується множенням рівняння (1) на таке число, щоб у другій та третій дужках коефіцієнти при А потім у другій та третій дужках виділяють двочлен який приймають за , що веде до спрощення рівняння (1).

Приклад. Розв'язати рівняння: (8x + 7)І ( 4x + 3)(x+1) = (1)

Розв'язання: ліву і праву частини рівняння (1) помножимо на 16 з тим, щоб у кожній із дужок, коефіцієнти при х = 8:



Вводимо заміну (3)

Підставимо (3) у (2) і одержимо: або . (4)

Розв'язуючи рівняння (4), знайдемо: Підставляючи ці значення у (3) – знаходимо розв'язки рівняння (1):

Приклад. Розв'язати рівняння: (6х 5)І (3х 2)(х1) = 1.

Розв'язання: ліву і праву частину рівняння помножимо на 12:





Вводимо заміну: . Підставляємо в рівняння і маємо , або . Розв'язавши рівняння отримаємо такі значення: . Повернувшись до заміни остаточно маємо: .

Відповідь:

9. Рівняння виду (1)

де числа, які не дорівнюють нулю, а - деякі вирази відносно .

Такі рівняння розв'язуються діленням рівняння (1) на многочлен або і одержують рівняння відносно виразу або де не є коренями рівняння (1).

Приклад. Розв'язати рівняння:

2(хІ + х + 1)І - 7(х 1)І = 13(хі - 1). (1)

Розв'язання: поділимо ліву і праву частини рівняння (1) на і одержимо

Вводимо заміну (2)

Маємо звідки

Підставивши значення у (2), одержимо сукупність двох рівнянь і Розв'язавши, одержимо всі розв'язки рівняння (1):

10. Рівняння виду (1) де розв'язуються діленням чисельника і знаменника кожного дробу на , а потім, зробивши заміну зведемо рівняння (1) до квадратного.

Приклад. Розв'язати рівняння: (1)

Розв'язання: поділимо чисельник і знаменник кожного дробу лівої частини рівняння на тоді (2)

Вводимо заміну (3)

Підставивши (3) у (2), дістанемо рівняння розв'язком якого є

Підставивши значення у (3), знайдемо еквівалентну рівнянню (1) сукупність двох рівнянь: розв'язавши яку, знайдемо розв'язки рівняння (1):

11. Рівняння виду (1)

де для "+" і для "-";

де і коефіцієнти рівняння не дорівнюють нулю, розв'язується діленням чисельника і знаменника дробів лівої частини на . Утворяться однакові вирази відносно , увівши заміни, зводять рівняння (1) до квадратного.

Приклад. Розв'язати рівняння: (2)

Нехай . Підставляємо в рівняння і отримуємо . Отже один із коренів . Нехай тепер . Тоді щоб утворилися однакові вирази з невідомою, поділимо чисельник і знаменник лівої і правої частини на тоді (3)

Вводимо заміну (4)

Підставивши у (3), дістанемо звідки

Підставимо значення у (4), дістанемо рівняння (5) яке еквівалентне рівнянню (2).

Розв'язавши рівняння (5), знайдемо корені рівняння (2): .

12. Рівняння виду де розв'язують виділенням у лівій частині повного квадрата двочлена. Причому, якщо > 0, то виділяється квадрат різниці двочлена, а якщо < 0, то квадрат суми.

Приклад. Розв'язати рівняння: (1)

Розв'язання: у лівій частині рівняння (1) виділимо повний квадрат різниці двочлена:

або



(2)

Вводимо заміну (3)

Підставивши (3) у (2), дістанемо рівняння розв'язками якого є

Підставивши значення у (3), дістанемо сукупність двох рівнянь, які еквівалентні рівнянню (1): (5)

Розв'язавши сукупність (5), знайдемо корені рівняння (1):

Приклад. Розв'язати рівняння (1)

Розв'язання: виділимо в лівій частині рівняння (1) повний квадрат суми двочлена:



(2)

Вводимо заміну (3)

Підставимо (3) у (2), звідки

Значення підставляємо у (3) і дістаємо сукупність двох рівнянь, еквівалентних рівнянню (1), розв'язавши яку, дістаємо розв'язки рівняння (1):

Відповідь:

13. Рівняння виду



розв'язують шляхом представлення кожного дробу в рівнянні у вигляді , де – деякі комбінації чисел , після чого рівняння спрощується.

Приклад. Розв'язати рівняння .

ОДЗ: .









Розв'язавши квадратне рівняння отримаємо .

Метод введення параметра.

Це один із важливих методів розв'язування рівнянь третього і четвертого степенів. Параметр вводять як проміжну змінну, відносно якої розв'язують рівняння, що має степінь нижчий степеня основної невідомої. Розв'язавши рівняння відносно параметра, використовують знайдені його значення для знаходження розв'язків рівняння відносно невідомої. Розглянемо метод введення параметра на прикладах.

Метод введення параметра замість сталого коефіцієнта рівняння.

Приклад. Розв'язати рівняння: (1)

Розв'язання: введемо параметр: Тоді рівняння (1) матиме вигляд: (2)

Розглянемо рівняння (2) відносно параметра . Тоді маємо:





Підставивши замість і значення знайдемо сукупність двох рівнянь:

Ця сукупність еквівалентна рівнянню (1). Розв'язавши її, знайдемо розв'язки рівняння (1):

Приклад. Розв'язати рівняння

(1)

Розв'язання: нехай тоді і рівняння (1) набуде вигляду Вважаючи тепер основною невідомою, розв'яжемо рівняння відносно :



Підставивши замість і значення знайдемо сукупність двох рівнянь еквівалентну рівнянню (1): і (2)

Розв'язавши сукупність рівнянь (2), знайдемо розв'язки рівняння (1).

Відповідь:

Метод Феррарі.

Метод Феррарі дає можливість зводити розв'язок рівнянь четвертого степеня відносно основної невідомої до рівняння третього степеня відносно введеного параметра. Потім, використовуючи знайдені значення параметра, знаходять розв'язки вихідного рівняння. Розглянемо метод Феррарі на прикладах.

Приклад. Розв'язати рівняння: х - 8х - 16 = 0. (1)

Розв'язання: розв'яжемо рівняння вищевказаним методом. Суть цього методу полягає в наступному: за допомогою введеного параметра виділити повні квадрати, а потім розкласти ліву частину рівняння на множники як різницю квадратів.

Виділимо повний квадрат у лівій частині рівняння (1). Для цього додамо і віднімемо , тоді дістанемо:

або (2)

Вводимо параметр . Виділяємо повний квадрат різниці в якій1 другим членом є , а вираз у лівій частині рівняння (2) – за квадрат першого члена:



(3)

Підбираємо параметр так, щоб у правій частині рівняння (3) був також повний квадрат.

У правій частині тричлен відносно буде повним квадратом, якщо його дискримінант дорівнюватиме нулю. Тому (4)

Рівняння (4) розв'язуємо методом підбору. Одержимо:

Підставимо значення в рівняння (3): або

(5)







Метод заміни рівняння системою двох рівнянь з двома невідомими.

Іноді процедуру розв'язання рівняння з однією невідомою спрощують заміною цього рівняння системою рівнянь з двома невідомими.

Приклад. Розв'язати рівняння:

(хІ + 3х - 2)І + 3(хІ + 3х 2) 2 = х. (1)

Розв'язання: позначимо (2)

Тоді маємо систему двох рівнянь:



Віднімемо (3) від (4):

або

Звідки отримаємо:

Об'єднавши кожне рівняння сукупності з рівнянням (4), маємо сукупність двох систем:



Розв'язавши кожну з систем, дістанемо:



Приклад. Розв'язати рівняння .

Нехай , .

Тоді маємо таку систему:

Дана система еквівалентна такій сукупності:



Врахувавши заміни отримаємо таку сукупність:



Розв'язавши рівняння отримаємо корені: .




<< предыдущая страница