asyan.org
добавить свой файл
  1 2 3 4

Приклад. Розв'язати рівняння: хі - 3хІ + 2х 1 = 0. (1)

Розв'язання: вводимо заміну (2)

Підставляємо значення в (1) і виконуємо перетворення та згрупуємо члени з однаковими степенями :



Для того, щоб член із у рівнянні (3) зник, покладемо: і (4)

Значення з (4) підставимо в (3), дістанемо: (5)

Для розв'язання рівняння (5) вводимо підстановки:



Підставимо (6) в (5):





(8)

Згідно з (7) друга дужка в рівнянні (8) дорівнює нулю, тому остаточно маємо

(9)

Враховуючи (7), тобто а значить, (10)

Умови (9) і (10) відповідають теоремі Вієта відносно того, що і є коренями квадратного рівняння або звідки

Отже,

I згідно (6)

А врахувавши (2) і (4) знаходимо розв'язок рівняння (1).

.

РОЗДІЛ IV. Штучні методи розв'язання рівнянь.

Винесення спільного множника за дужки.

Розглянемо метод розкладання лівої частини рівняння на множники методом винесення спільного множника за дужки.

Надалі будемо вважати, що ліва частина рівняння це многочлен n-го степеня відносно невідомої, а права частина дорівнює нулю.

Якщо всі члени лівої частини рівняння мають спільний множник, то можна розкласти ліву частину рівняння на множники, виносячи спільний множник за дужки і одержуючи після цього еквівалентну сукупність рівнянь.

Приклад. Розв'язати рівняння хі - 3хІ - 4х = 0. (1)

Розв'язання:

хі - 3хІ - 4х = х (хІ - 3х – 4) = 0.

Звідси маємо еквівалентну рівнянню (1) сукупність двох рівнянь:



Розв'язуючи цю сукупність знайдемо: . Відповідь: -1; 0; 4.

Приклад. Розв'язати рівняння х + 6х - 16х (1)

Розв'язання: х + 6х - 16х = х (х + 6х - 16) = 0.

Звідси маємо еквівалентну рівнянню (1) сукупність двох рівнянь:



Розв'язавши цю сукупність, знайдемо:

Спосіб групування.

Наступний метод – розкладання лівої частини рівняння на множники за допомогою групування.

Цей спосіб застосовується найчастіше в поєднанні зі способом винесення за дужки спільного множника. Треба перегрупувати доданки так, щоб у кожній групі доданків утворився спільний вираз, який і виноситься за дужки.

Приклад. Розв'язати рівняння хі + хІ - 5х 5 = 0. (1)

Розв'язання: згрупуємо попарно перші й останні члени і з кожної пари винесемо за дужки спільний множник.

Одержимо: хІ (х + 1) 5 (х + 1) = 0. (2)

Тепер бачимо, що ліва частина рівняння (2) має спільний множник, який і винесемо за дужки: (х + 1) (хІ - 5) = 0. (3)

Рівняння (3) розпадається на еквівалентну рівнянню (1) сукупність двох рівнянь:



звідси маємо: Відповідь:

Іноді для того, щоб одержати спільний множник методом групування членів, попередньо додають і віднімають деякі вирази або розкладають коефіцієнти заданого рівняння на доданки.

Приклад. Розв'язати рівняння х - 7х - 4х + 20 = 0.

Розв'язання: віднімемо і додамо хІ, а 20 розкладемо на два доданки: 16 і 4. Тоді матимемо

х - 7х - 4х + 20 = (х - 8х + 16) + (х - 4х + 4) =

= (х - 4) + (х - 2) = (х - 2) (х + 2) + (х - 2) =

= (х - 2) [ (х + 2) + 1] = 0. (2)

Рівняння (2) розкладається на еквівалентну рівнянню (1) сукупність двох рівнянь:



звідси одержуємо: Відповідь: 2.

Приклад. Розв'язати рівняння х - 6х + 9х - х + 6х 9 = 0. (1)

Розв'язання: згрупуємо попарно члени рівняння біля яких містяться однакові коефіцієнти і з кожної пари винесемо за дужки спільний множник, одержимо

х (х - 1) 6х (х - 1) + 9 (х - 1) = 0.

З одержаного рівняння винесемо за дужки спільний множник:

(х - 1) (х - 6х + 9) = 0.

Дане рівняння розкладається на еквівалентну рівнянню (1) сукупність двох рівнянь:



звідси маємо:

Застосування формул скороченого множення.

Часто ліву частину рівняння можна розкласти на множники, застосовуючи формули скороченого множення.

Приклад. Розв'язати рівняння (хІ - 3х)І - (5х - 7)І = 0. (1)

Розв'язання: розкладаючи на множники ліву частину рівняння (1) як різницю квадратів,одержимо (хІ - 8х + 7) (хІ + 2х - 7) = 0.

Рівняння (2) розкладається на еквівалентну рівнянню (1) сукупність двох рівнянь:



звідси маємо: Відповідь:

Приклад. Розв'язати рівняння (х - 1)і + (2х + 3)і = 27хі + 8. (1)

Розв'язання: розкладемо ліву і праву частини рівняння (1) за формулою суми кубів, потім перенесемо праву частину в ліву та винесемо спільний множник за дужки:

(х – 1 + 2х + 3) [ (х - 1)І - (х - 1)(2х + 3) + (2х + 3)І] =

= (3х + 2)(9хІ - 6х + 4);

(3хІ + 2)(3хІ + 9х + 13) – (3х + 2)(9хІ - 6х + 4) = 0;

(3х + 2)(3хІ + 9х + 13 – 9хІ + 6х - 4) = 0,

або (3х + 2)(-6хІ + 15х + 9) = 0.

Поділивши обидві частини рівняння на -3, будемо мати

(3х + 2)(2хІ - 5х - 3)=0. (2)

Рівняння (2) розкладається на сукупність двох рівнянь, яка еквівалентна рівнянню (1)

(3)

Розв'язавши сукупність рівнянь (3), знаходимо розв'язки рівняння (1): Відповідь:

Приклад. Розв'язати рівняння (х - 1)і - (2х - 3)і = -хі + 8. (1)

Розв'язання: розкладемо ліву і праву частини рівняння (1) за формулою різниці кубів, потім перенесемо праву частину в ліву та винесемо спільний множник за дужки:

(х – 1 – 2х + 3) [ (х – 1)І + (х – 1)(2х – 3) + (2х – 3)І] =

= (2 – х)(4 + 2х + хІ);

(2 – х) [хІ - 2х + 1 + 2хІ - 5х + 3 + 4хІ - 12х + 9] =

= (2 – х)(хІ + 2х + 4);

(2 – х)(6хІ - 21х + 9) = 0.



Розв'язавши сукупність рівнянь, знаходимо розв'язки рівняння (1):

Іноді ліву частину рівняння можна розкласти на множники, попередньо виділивши квадрат або куб двочлена з подальшим застосуванням відповідних формул скороченого множення.

Приклад. Розв'язати рівняння х + 16х 12 = 0. (1)

Розв'язання: виділимо в лівій частині рівняння (1) повні квадрати. З цією метою додамо і віднімемо в лівій частині рівняння вираз (4хІ + 4):

(х + 4х + 4) 4х - 16х 16 = (х + 2) - (4х - 16х + 16) =

= (х + 2) - (2х 4) = 0. (2)

Розкладемо на множники ліву частину рівняння (2):

(хІ + 2 – 2х + 4)(хІ + 2 + 2х – 4) = (хІ - 2х + 6)(хІ + 2х – 2) = 0.

Одержане рівняння еквівалентне сукупності двох рівнянь:



Перше рівняння сукупності має розв'язок

Друге рівняння розв'язку не має, тому що < 0.

Приклад. Розв'язати рівняння хі - хІ - 3х 3 = 0. (1)

Розв'язання: щоб виділити куб двочлена, треба мати або чергування знаків членів куба, якщо виділяється куб різниці, або однакові знаки членів, якщо виділяється куб суми. Три останні члени рівняння (1) мають однакові знаки. Тому будемо виділяти куб суми. Для цього введемо заміну:

Підставимо значення в (1), позбавимося від знаменника і помножимо праву і ліву частини рівняння на мінус, після чого послідовно матимемо:



або (2)

Тепер помножимо ліву і праву частини рівняння (2) на 9. Дістанемо: (3)

Введемо заміну: звідки . (4)

Підставимо значення в (3). Дістанемо: або

Додамо до лівої частини рівняння 1 та віднімемо 1:

(5)

Чотири перші члени рівняння (5) – це розгорнутий куб двочлена. Згорнемо його та перенесемо 10 у праву частину рівняння (5). Послідовно матимемо: або і

Значення підставимо в (4) і знайдемо

Тепер значення підставимо в заміну :

Отже,


Різні структури рівнянь.

Раніше були розглянуті стандартні рівняння, яким і відповідали стандартні заміни змінних.

Але структури рівнянь настільки різноманітні, що неможливо уніфікувати всі випадки заміни змінних. У кожному випадку вибір заміни обумовлюється будовою рівняння і вимагає певного досвіду і кмітливості.

1. Рівняння виду (1) де числа такі, що заміною зводиться до біквадратного рівняння. Вказана заміна є середнім арифметичним усіх множників лівої частини рівняння (1).

Якщо ж ця заміна дає дробові коефіцієнти, то, щоб одержати цілі коефіцієнти, треба многочлени, які стоять в окремих дужках, попарно перемножити так, щоб одержати однаковий вираз, пов'язаний з невідомою. Прийнявши цей вираз за іншу змінну, одержують відносно цієї змінної квадратне рівняння або рівняння нижчого степеня відносно заданого рівняння.

Приклад. Розв'язати рівняння: х(х + 1)(х + 2)(х + 3) = 24. (1)

Розв'язання: середнє арифметичне множників дає дробовий вираз. Тому попарно перемножимо множники рівняння (1) так, щоб вирази з невідомими збіглися. Перемножимо між собою середні й крайні множники. Дістанемо (2)

Позначимо (3)

Тоді рівняння (2) перепишемо так: або , звідки

Значення підставимо у (3) і дістанемо розв'язки рівняння (1):

Приклад. Розв'язати рівняння .

Робимо заміну .

Тоді маємо:



Робимо ще одну заміну:



Повертаємось до заміни:

Повернувшись до початкової заміни остаточно маємо:

2. Рівняння виду

Розділимо обидві частини рівняння на добуток :

.

Якщо , то дане рівняння зводиться до попереднього прикладу.

3. Рівняння виду (1)

де і не є коренями рівняння (1).

Поділивши рівняння (1) на одержимо рівносильне йому рівняння яке після заміни зводиться до квадратного.

Приклад. Розв'язати рівняння:

.

Розділимо обидві частини рівняння на :



Робимо заміну і отримаємо:

. Повернувшись до заміни маємо таку сукупність рівнянь: .

Розв'язавши квадратні рівняння маємо такі розв'язки: і .

4. Рівняння виду

Розділимо обидві частини рівняння на добуток :

. Якщо , то після попарного перемноження відповідних множників рівняння зводиться до попереднього прикладу.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Помічаємо, що , тому перемножуємо перший з четвертим і другий з третім множники: . Далі рівняння розв'язується подібно до попереднього прикладу.

5. Рівняння виду (1) де і кожне із вказаних чисел не дорівнює нулю, розв'язують за допомогою ділення обох частин рівняння на

Маємо: яке після заміни зводиться до квадратного відносно .

Приклад. Розв'язати рівняння:

2(хІ - х + 2)І - 3(хІ + х +2)І + 40хІ = 0. (1)

Розв'язання: поділимо обидві частини рівняння (1) на

Дістанемо: і т.д.

6. Рівняння виду (1)

де і числа такі, що вираз без остачі ділиться на двочлен який не дорівнює нулю, розв'язують шляхом виділення в других дужках рівняння (1) виразу, який дорівнює виразу в перших дужках. Після спрощення лівої частини рівняння (1) ділять обидві частини на квадрат двочлена з наступною заміною, яка приводить до квадратного рівняння.

Приклад. Розв'язати рівняння:

(хІ + х + 1)І = хІ(3хІ + х + 1). (1)

Розв'язання: виділимо в дужках правої частини тричлен, який збігається з тричленом із лівої частини рівняння (1), і розкриємо дужки:



(2)

(3)

Вводимо заміну (4)

Підставивши (4) у (3), матимемо квадратне рівняння розв'язком якого є

Значення підставимо в (4) і одержимо сукупність двох рівнянь:

(5)

які еквівалентні рівнянню (1). Розв'язавши сукупність (5), одержимо розв'язки рівняння (1):

7. Рівняння виду розв'язується наступним чином:



Приклад. Розв'язати рівняння: (х + 3) + (х + 5) = 16.





Відповідь: -5; -3.

Приклад. Розв'язати рівняння (х – 3) + (х – 5) = 2. (1)

Розв'язання: вводимо заміну звідки (2)

Підставимо значення в (1) і одержимо (3)

або звідки Підставивши значення у (2), одержимо

Відповідь:



<< предыдущая страница   следующая страница >>