asyan.org
добавить свой файл
1 2 3 4



ЗМІСТ
  • Розділ І. Загальні відомості про алгебраїчні рівняння вищих степенів


1. Історичні відомості

2. Властивості алгебраїчних рівнянь вищих степенів (основні теореми)
  • Розділ ІІ. Загальні методи розв'язання рівнянь вищих степенів


1. Застосування теореми Безу

2. Застосування схеми Горнера

3. Рівняння з раціональними коренями

4. Метод невизначених коефіцієнтів
  • Розділ ІІІ. Стандартні типи рівнянь та методи їх розв'язання


1. Двочленні рівняння

2. Тричленні рівняння (біквадратні)

3. Зворотні рівняння (симетричні, кососиметричні)

4. Кубічні рівняння

Розділ ІV. Штучні методи розв'язання рівнянь

1. Винесення спільного множника за дужки

2. Спосіб групування

3. Застосування формул скороченого множення

4. Різні структури рівнянь

5. Метод введення параметра

6. Метод заміни рівняння системою двох рівнянь із двома невідомими
  • Розділ І. Загальні відомості про алгебраїчні рівняння вищих степенів

  • Історичні відомості

  • Квадратні рівняння в Давньому Вавилоні


Необхідність розв'язувати рівняння ще в давнину була викликана потребою розв'язувати задачі, пов'язані із знаходженням площі земельних ділянок і з земельними роботами військового характеру, а також із розвитком астрономії і самої математики. Рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до н.е. вавилоняни. Використовуючи сучасний алгебраїчний запис, можна говорити, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння: хІ + х = , хІ - x = 14

Правило розв'язування цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах, співпадає суттєво із сучасним, хоча невідомо, яким чином дійшли вавилоняни до цього правила. Майже всі знайдені до цього часу клинописні тексти наводять лише завдання з розв'язками, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок відносно того, яким чином вони були знайдені.

Зустрічаються задачі, що зводяться до рівнянь 3-го і 4-го степеня та системи трьох і більше рівнянь.
  1. Рівняння в Індії


Задачі на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному тракті. "Аріабхаттіам", що був складений в 499 році індійським математиком і астрономом Аріабхаттою. Інший індійський вчений Брахмагупта (VII ст.) виклав загальне правило розв'язування квадратних рівнянь, зведених до єдиної канонічної форми:

ахІ + bх = с, а > 0. (1)

У рівнянні (1) коефіцієнти, крім "а", можуть бути і від'ємними. Правило Брахмагупти суттєво співпадає з теперішнім.
  1. Італія


XVI ст. в Італії характеризувалося специфічними звичаями в науковому житті. Право на професорську посаду та пріоритети різного роду відкриттів тоді захищалися на публічних наукових диспутах, які часто перетворювалися на азартні турніри. За цих умов деякі вчені довгий час тримали в таємниці свої відкриття. Найбільша суперечка того часу виникла між італійськими математиками Н. Тарталья і Д. Кардано за пріоритет відкриття правила розв'язання кубічного рівняння.

Вперше емпіричний спосіб розв'язування рівняння 3-го степеня знайшов професор Болонського університету Сципіон дель Ферро.

хі + px = q, де p, q – додатні числа. (2)

Він не опублікував це правило, а розповів його своєму учню Антоніо Марі Фіаре.

На 22 лютого призначили диспут (1553р.) між Н. Тарталья і А. Фіаре, на якому вони в присутності нотаріуса Мали обмінятися тридцятьма задачами, а через 50 днів подати розв'язання. Ще до турніpу Тарталья дізнався, що Фіаре знає правило розв'язання кубічних рівнянь виду (2), а тому, імовірно, запропонує розв'язати саме такі. Це послужило стимулом для інтенсивної роботи Тартальї у розв'язанні кубічних рівнянь. За 9 днів до строку він знайшов способи розв'язання трьох видів кубічних рівнянь. Це й принесло йому перемогу над Фіаре, який не зміг розв'язати жодної запропонованої задачі.

У результаті диспуту Н. Тарталья став відомим і отримав можливість займатися улюбленою справою. Але таємницю свого відкриття приховував.

Одночасно з Н. Тарталья розв'язуванням кубічних рівнянь займався Дж. Кардано. Ознайомившись з результатами Тартальї, він опублікував їх у своїй роботі "Велике мистецтво або про правило алгебри" (1545 р.). В цій книжці подавалося і розв'язання в радикалах рівнянь 4-го степеня. Частину цього відкриття Кардано приписував своєму учню Л. Феррарі.

Як бачимо, кожен з трьох математиків зробив свій внесок у розв'язання кубічних рівнянь в радикалах, а тому формулу, що зараз носить ім'я Кардано, справедливо було б назвати формулою Феррарі-Тарталья-Кардано.

Розв'язування рівнянь 4-го степеня методом Феррарі зводилося до знаходження кореня допоміжного кубічного рівняння і коренів рівняння 2-го степеня. Цей підхід і використав Дж. Кардано.

Кардано систематизував методи розв'язування рівнянь степеня не вище 4-го, детально розглянув різні окремі випадки; показав можливість зведення рівнянь 3-го і 4-го степенів до виду, що не містить членів відповідно 2-го і 3-го степенів; вказав на залежність між коренями і коефіцієнтами рівняння, а також на подільність многочлена на вираз х а, де а – його корінь.

Останнім значним італійським алгебраїстом того періоду був Рафаель Бомбеллі. Він розглядав рівняння вищих степенів лише з додатними коефіцієнтами, але досить винахідливо маніпулював коренями з від'ємних чисел.

Рівняння у Європі ΧΙΙΙ – ΧVΙΙΙ ст.

Формули розв'язування квадратних рівнянь за зразком аль-Харезмі в Європі були вперше викладені в "Книзі абака", написаної в 1202 році італійським математиком Леонардо Фібоначі. Задачі з "Книги абака" переходили майже в усі європейські підручники ΧVΙ – ΧVΙΙ ст. і частково ΧVΙΙΙ.

Загальне правило розв'язування квадратних рівнянь, зведених до єдиного канонічного вигляду хІ + bх + с, при будь-яких комбінаціях знаків коефіцієнтів b, с було сформульовано у Європі лише в 1544 р. М. Штифелем.

Виведення формули розв'язання квадратного рівняння загального вигляду було у Вієта, хоча Вієт визнавав лише додатні корені. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших в ΧVΙ ст. враховують, крім того, від'ємні корені. Лише в ΧVΙΙ ст., дякуючи працям Жирара, Декарта, Ньютона, спосіб розв'язування рівнянь приймає сучасний вигляд.

Ще одну цікаву задачу алгебри розглядав Р. Декарт у своїй "Геометрії". Це задача представлення многочлена з цілими коефіцієнтами у вигляді добутку многочленів нижчих степенів. Він також встановив, що корені рівняння 3-го степеня з цілими коефіцієнтами і старшим коефіцієнтом, що дорівнює одиниці, можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки. Тобто рівняння можна розв'язати в квадратних радикалах тоді, і тільки тоді, коли ліву частину його можна представити у вигляді добутку множників 1-го і 2-го степеня, вказувалась і умова розв'язності в радикалах 4-го степеня.

Загальний метод розв'язування рівнянь у Р. Декарта полягає в побудові їх коренів як координат належним чином обраних алгебраїчних кривих. Ці криві виражаються алгебраїчними рівняннями з двома біжучими координатами. В кінці третьої книги Декарт графічно розв'язує рівняння 3-го, 4-го, 5-го і 6-го степенів і вказує, що кількість дійсних коренів збігається з кількістю спільних точок кривих.

Наприклад, щоб розв'язати рівняння 4-го степеня , він покладав zІ = х і отримував рівняння кола хІ + zІ - (р+1) х + qz r = 0, яке можна накреслити. Абсциси точок перетину кола з параболою zІ = х - корені заданого рівняння.

У XVIII ст. в алгебрі основні зусилля математиків були спрямовані на розв'язання трьох проблем: 1) доведення основної теореми алгебри; 2) розв'язування в радикалах алгебраїчних рівнянь степеня вищого за 4-й; 3) розв'язування систем алгебраїчних рівнянь з кількома невідомими.

Зупинюся на другій проблемі - розв'язуванні в радикалах алгебраїчних рівнянь вищих степенів. В кінці XVIII ст. від пошуків необхідних форм ірраціональностей вчені перейшли до пошуків спростування самої можливості розв'язування рівнянь вищих степенів у радикалах.

Ж. Лагранж показував, що всі розглянуті ним існуючі методи зводяться до встановлення залежності розв'язку запропонованого рівняння від розв'язку деякого допоміжного рівняння, корені якого є лінійною комбінацією коренів даного рівняння і степенів кореня -го степеня з одиниці.

Розв'язування рівняння можна спростити, якщо степінь допоміжного рівняння менший степеня вихідного рівняння. А для степенів більших за 4, допоміжне рівняння має степінь більший від степеня вихідного рівняння, тому пониження не відбувається. Він прийшов до такого висновку: "Якщо алгебраїчне розв'язання рівняння степеня більшого за 4 можливе, то воно повинно залежати від деяких функцій коренів, відмінних від тих, які розглядалися раніше". Запропонований Лагранжем метод не давав можливості розв'язувати рівняння степеня , але сприяв розумінню того, що розглянуті групи підстановок коренів рівняння є "шляхом до розв'язання". Бо на цьому шляху він знайшов розв'язки рівнянь з циклічною групою підстановок.

Оскільки розв'язати рівняння алгебраїчно означає виразити його корені у вигляді алгебраїчних функцій його коефіцієнтів, Н. Абель шукав загальний вигляд алгебраїчних функцій, класифікуючи їх у відповідності з кількістю радикалів, які вони містять та їх розташуванням у виразі. Потім він досліджував, яким умовам має відповідати розв'язане алгебраїчне рівняння, тобто рівняння, корені якого є алгебраїчними функціями, раніше визначеними і класифікованими.

Н. Абель дійшов висновку, що завжди можна надати кореню таку форму, щоб усі алгебраїчні функції, з яких він складається, можна було виразити як раціональні функції від коренів даного рівняння. Свої міркування він закінчив доведенням того,що будь-який раціональний вираз від 5 змінних, що приймає 5 різних значень, повинні мати вигляд: , де - симетричний вираз від 5 величин, а х – одна з них. Після цього він зміг зробити висновок про нерозв'язність у радикалах рівняння 5-го степеня загального вигляду.

Н. Абель не встиг повністю завершити свої дослідження, а тому не зміг дати загальний критерій розв'язності рівнянь з числовими коефіцієнтами в радикалах. Це здійснив французький математик Е. Галуа. Відомий критерій Галуа розв'язності рівняння в радикалах сьогодні можна сформулювати так: "Рівняння розв'язане тоді, і тільки тоді, якщо його група Галуа є розв'язною групою ".

Таким чином, Е. Галуа не лише поставив крапку в розв'язанні у радикалах рівнянь n-го степеня, а й започаткував нові напрями розвитку алгебри. З цього приводу видавці Галуа писали: "Його думка була не з тих, від яких відштовхуються, але з тих, до яких ще потрібно дорости".
Властивості алгебраїчних рівнянь вищих степенів (основні означення і теореми)

Алгебраїчним рівнянням вищого степеня називається рівняння виду: (1)

де - невідоме; будемо вважати дійсними числами; >2 – натуральне число.

Якщо , то рівняння називається зведеним. Коренем рівняння називається таке значення , яке перетворює рівняння в тотожність. Ліва частина рівняння (1) – це многочлен n-го степеня відносно . У загальному вигляді многочлен позначається так:

, . (2)

Значення многочлена (2) при , тобто , називається частковим значенням многочлена.

Якщо , тобто многочлен обертається в нуль при підстановці в нього числа замість , то називають коренем многочлена (або рівняння ). Тому розглядаючи властивості лівої частини рівняння (1), тобто властивості многочлена , ми тим самим розглянемо властивості алгебраїчного рівняння вищих степенів.

Властивості рівнянь вищих степенів.

1. Теорема Безу. Остача від ділення многочлена на лінійний многочлен (двочлен) дорівнює значенню многочлена при

З теореми Безу випливають такі наслідки:

1) число тоді, й тільки тоді, буде коренем многочлена , якщо ділиться на без остачі;

2) щоб многочлен ділився на , необхідно й достатньо, щоб =0;

3) щоб многочлен ділився на , необхідно й достатньо, щоб .

2. Основна теорема алгебри. Будь-який многочлен n-го степеня у множині комплексних чисел має n коренів, серед яких можуть бути і такі, що дорівнюють один одному (кратні).

3. Будь-який многочлен n-го степеня у множині комплексних чисел можна подати, причому єдиним способом, у вигляді добутку двочленів з точністю до порядку множників:

, де - корені многочлена; - кратність коренів і

4. Якщо многочлен має комплексний корінь , то він має й спряжений з ним корінь .

5. Будь-який многочлен непарного степеня з дійсними коефіцієнтами має принаймні один дійсний корінь.

6. Якщо зведений ( =1) многочлен f(x) із цілими коефіцієнтами має цілі корені, то вони є дільниками вільного члена.

7. Якщо многочлен з цілими коефіцієнтами й має корінь де - нескоротний дріб, то - дільник вільного члена , а - дільник старшого коефіцієнта

Сформульовані властивості многочлена використовуються при розв'язанні рівнянь вищих степенів.

Методи розв'язання алгебраїчних рівнянь вищих степенів базуються в основному на двох принципах:

а) розкладання лівої частини рівняння, права частина якого дорівнює нулю, на множники з наступною заміною вихідного рівняння еквівалентного йому сукупністю рівнянь меншого степеня;

б) послідовним пониженням степеня вихідного рівняння або, навіть, зведенням його до квадратного за допомогою вдало підібраної заміни змінних.



следующая страница >>