asyan.org
добавить свой файл
1 2 3
Практична робота № 1
ПРОСТА (З ДВОМА ЗМІННИМИ) ЕКОНОМЕТРИЧНА МОДЕЛЬ

Основні теоретичні положення

Серед численних зв'язків між економічними показниками завжди можна виокремити такий, вплив якого на результативну ознаку є основним, визначальним. Щоб виміряти цей зв'язок кількісно, необхідно побудувати економетричну модель з двома змінними (просту модель). Загальний вигляд такої моделі:

Y = f(X,u),

де Y — залежна змінна (результативна ознака); Xнезалежна змінна (фактор); uстохастична складова (залишки).

Аналітична форма цієї моделі може бути різною залежно від економічної сутності зв'язків. Найпоширенішими є такі форми моделі:



де , — невідомі параметри моделі; uстохастична складова.

Неважко переконатись, що наведені нелінійні форми залежностей за допомогою елементарних перетворень вихідної інформації зводяться до лінійних. Припустивши, що економетрична модель з двома змінними є лінійною, тобто подається у вигляді:

Y = a0+alX + u,

де стохастична складова має нульове математичне сподівання та постійну дисперсію, оцінимо параметри цієї моделі звичайним методом найменших квадратів (1 МНК).

В основу методу 1 МНК покладено принцип мінімізації суми квадратів залишків моделі. Реалізація цього принципу дає змогу дістати систему нормальних рівнянь:



У цій системі n — кількість спостережень; ,величини, значення яких можна обчислити на основі спостережень над змінними Y та X.

Розв'язавши систему нормальних рівнянь, дістанемо оцінки невідомих параметрів моделі і :

.

Достовірність побудованої економетричної моделі можна перевірити, скориставшись елементами дисперсійного аналізу. Насамперед слід обчислити залишки моделі



а далі знайти їх дисперсію:



де т — кількість змінних моделі (т = 2), і визначити стандартну похибку кожного параметра моделі:



Тут характеризує відповідний діагональний елемент матриці похибок (оберненої до матриці системи нормальних рівнянь). На підставі коефіцієнта детермінації



можна дійти висновку про ступінь значущості вимірюваного зв'язку згідно з економетричною моделлю. Значення R може належати такому інтервалу: R2 є ]0,1[.

Оскільки коефіцієнт детермінації R характеризує, якою мірою варіація залежної змінної визначається варіацією незалежної змінної, то чим ближче R до одиниці, тим впевненіше можна стверджувати, що зв'язок між цими змінними є статистично значущим.

Коефіцієнт кореляції характеризує тісноту зв'язку між змінними моделі. Він може міститися на інтервалі: Чим ближче R за модулем до одиниці, тим тіснішим є зв'язок. Знак «мінус» свідчить про обернений зв'язок, «плюс» — про прямий.

Прийнявши відповідну гіпотезу про закон розподілу залишків економетричної моделі, її параметри можна оцінити за методом максимальної правдоподібності.

Якщо залишки моделі розподіляються за нормальним законом, то функція правдоподібності подається у вигляді



Продиференціювавши цю функцію за невідомими параметрами і і прирівнявши похідні до нуля, дістанемо систему рівнянь:



Підставимо в цю систему значення, , , , ,

які обчислюються за вихідними даними, і розв'яжемо її відносно араметрів і . У результаті дістанемо оцінки параметрів моделі а також оцінку дисперсії залишків.
Побудова та аналіз економетричної моделі з двома змінними

Приклад. На основі даних про роздрібний товарообіг і доходи населення у грошових одиницях побудувати економетричну модель роздрібного товарообігу. Вихідні дані та їх елементарні перетворення для побудови моделі наведено в табл. 1.

Таблиця 1



з/п

Y

X



XY

















1

17

18

324

306

16,67

-6,5

-5

42,25

32,5

0,33

0,1089

25

2

18

20

400

360

18,31

-4,5

-4

20,25

18,0

-0,31

0,0961

16

3

19

21

441

399

19,31

-3,1

-3

12,25

10,5

-0,13

0,0169

9

4

21

24

576

504

21,59

-0,5

-1

0,25

0,5

-0,59

0,3481

1

5

23

25

625

575

22,41

0,5

1

0,25

0,5

0,59

0,3481

1

6

24

27

729

648

24,05

2,5

2

6,25

5,0

-0,5

0,0125

4

7

25

28

784

700

24,87

3,5

3

12,25

10,5

0,13

0,0169

9

8

26

29

841

754

25,69

4,5

4

20,25

18,0

0,31

0,0961

16

9

27

31

961

837

27,33

6,5

5

42,25

32,5

-0,33

0,1089

25



200

245

6165

5523

-







162,5

133




1,145

110


Розв 'язання

1. Ідентифікуємо змінні:

Yроздрібний товарообіг (залежна змінна);

Xдоходи населення (незалежна змінна).

2. Нехай економетрична модель специфікована у лінійній формі:

Y = a0 + а1Х + и,

де параметри моделі; u стохастична складова (залишки).

3. Оцінимо параметри моделі за методом 1 МНК. Для цього запишемо систему нормальних рівнянь:



n = 9 — кількість спостережень.

Підставивши в цю систему значення п, , , , , обчислені згідно з вихідними даними табл. 1, дістанемо cистему рівнянь

.

Розв'яжемо цю систему відносно невідомих оцінок параметрів і :





Отже, економетрична модель роздрібного товарообігу запишеться так:

.

4. Знайшовши відхилення кожної змінної від своєї середньої арифметичної, оцінимо параметри моделі альтернативним способом:





5. Обчислимо дисперсії залежної змінної та залишків:





6. Визначимо коефіцієнти детермінації та кореляції:





Коефіцієнт кореляції беремо зі знаком «плюс». Оскільки коефіцієнт детермінації R2 = 0,99, це свідчить про те, що варіація обсягу роздрібного товарообігу на 99% визначається варіацією доходів населення. Коефіцієнт кореляції R = 0,994 показує, що існує тісний зв'язок між цими соціально-економічними показниками. Значення R2 і R для парної економетричної моделі свідчать про статистичну значущість зв'язку, якщо вони наближаються до одиниці.

7. Знайдемо матрицю похибок С (матрицю, обернену до матриці системи нормальних рівнянь):



- матриця похибок.

8. Визначимо стандартні похибки оцінок параметрів моделі, враховуючи дисперсію залишків:





Порівняємо стандартні похибки оцінок параметрів моделі зі значеннями цих оцінок. Так, стандартна похибка оцінки параметра становить 3,9% абсолютного значення цієї оцінки (0,82), що свідчить про незміщеність такої оцінки параметра моделі. Стандартна похибка оцінки параметра становить 43% абсолютного значення цієї оцінки (1,92), а отже, згаданий параметр може мати зміщення, яке зумовлюється невеликою сукупністю спостережень (п = 9).

9. Висновки. Економетрична модель кількісно описує зв'язок роздрібного товарообігу і доходів населення.

Параметр = 0,82 характеризує граничний розмір витрат на купівлю товарів у роздрібній торгівлі, коли дохід збільшується на одиницю, тобто коли дохід збільшиться на одиницю, то обсяг роздрібного товарообігу зросте на 0,82 одиниці:



Визначимо коефіцієнт еластичності роздрібного товарообігу залежно від доходів населення:



Знаючи коефіцієнт еластичності, можна дійти висновку, що зі збільшенням доходів населення на 1% роздрібний товарообіг зростає на 0,91%.


следующая страница >>