asyan.org
добавить свой файл
1
КУТОВА МОДУЛЯЦІЯ
Кутова модуляція гармонічного переносника
До кутових видів модуляції належать частотна (ЧМ) та фазова (ФМ) модуляції.
Для частотної модуляції відхилення частоти модульованого сигналу від частоти переносника змінюється пропорційно миттєвим значенням модулюючого сигналу:
, (1)
де коефіцієнт пропорційності, який називають девіацією частоти (від лат. dеviato – відхилення); він дорівнює максимальному відхиленню частоти модульованого сигналу від частоти переносника .
У виразі (1) величина нормована, тобто .
Девіація частоти є одним із головних параметрів частоти модуляторів і може набувати значень від одиниць герців до сотень мегагерців у модуляторах різного призначення.
Для фазової модуляції відхилення (зсув) фази від лінійної змінюється пропорційно миттєвим значенням модулюючого сигналу:
. (2)
Фізичний зміст цього коефіцієнта пояснює рис.1, де зображені модулюючий сигнал і повна фаза ФМ-сигналу. Якщо зростає, то і повна фаза зростає, причому швидше, ніж за лінійним законом. Якщо ж сигнал спадає, маємо зменшення швидкості зростання фази . Абсолютна величина відхилення (зсуву) фази від лінійного закону найбільша, коли досягає екстремальних значень.
На рис.1, б зазначені максимальні відхилення фази вверх та вниз . Найбільше відхилення фази від лінійної і є девіацією фази для ФМ. У прикладі, що наведений на рис.1, . Вимірюється в радіанах і може набирати значень від одиниць до десятків тисяч радіан.
Аналітичний вираз ФМ-сигналу можна записати так:
. (3)




Рис. 1. Повна фаза ФМ-сигналу:

амодулюючий сигнал;

б – зміна повної фази


У випадку кутової модуляції (ЧМ та ФМ) модульована функція має вигляд
. (4)
При синусоїдальній несучій модульований сигнал матиме наступний вираз:
. (5)
Реальний сигнал
. (6)
Згідно з (6) повна фаза високочастотного коливання дорівнює
, (7)
а миттєва частота коливання змінюється за законом похідної від, тобто
. (8)
У разі змінення частоти за законом (8) фаза коливання
. (9)
У випадку фазової модуляції , де – девіація фази. Тоді

; (10)

. (11)

При частотній модуляції за законом первинного сигналу, який характеризує повідомлення, змінюється частота несучої коливання:
, (12)

де –девіація частоти.
Повна фаза коливання при цьому
. (13)
Тоді ЧМ-СИГНАЛ
. (14)

При модуляції одним тоном, коли , сигнали при ФМ і ЧМ за формою мають однаковий вигляд:
(15)
де m – індекс модуляції: при фазовій модуляції , а при частотній модуляції .

Для визначення спектра сигналу замінимо в (15) косинус суми двох кутів за відомими тригонометричними формулами, взявши для спрощення :
. (16)


Рис. 2. Графіки функції Бесселя
З теорії бесселевих функцій відомі наступні співвідношення:
, (17)
, (18)
де – бесселева функція першого роду k-го порядку від аргументу m (рис. 2).
Після підстановки отримаємо



(19)




Рис. 3 Спектр сигналу з кутовою модуляцією




Таким чином, навіть при синусоїдальних ЧМ і ФМ отримаємо теоретично нескінченний спектр. Він складається з несучої і двох бічних смуг . Амплітуда несучої при ЧМ і ФМ, на відміну від АМ, залежить від модулюючого коливання. При деяких значеннях вона може дорівнювати нулю. Амплітуда бічних частот

Однак практикно ширина спектра ЧМ- і ФМ-сигналів обмежена.
Практично ширина спектра сигналу при кутовій модуляції дорівнює , де – частота модулюючого коливання.
Розглянемо різницю між ЧМ та ФМ. Нехай повідомлення має вигляд . У цьому випадку
; (20)


(21)
Порівнюючи (20) і (21), визначимо еквівалентне значення зміни фази при ЧМ:
. (22)
З отриманого виразу випливає, що при ЧМ зміна фази сигналу обернено пропорційна частоті модулюючого повідомлення.

При ФМ:

. (23)
При ЧМ девіація частоти не залежить від модулюючого повідомлення, а при ФМ девіація частоти прямо пропорційна частоті модулюючого сигналу. Залежності (22) і (23) проілюстровані на рис. 4.
Різниця між ЧМ і ФМ полягає і в тому, що ширина спектра ФМ-коливання залежить від ширини спектра модулюючого повідомлення, тоді як ширина спектра при ЧМ практично не залежить від ширини спектра модулюючого повідомлення
.



Рис. 4 – Залежність фази (а) і частоти (б) модульованих коливань при ФМ і ЧМ


Функції Бесселя мають цікаву закономірність: чим вищий порядок k функції Бесселя, тим при більших значеннях аргументу спостерігається її максимум, але якщо , значення функції Бесселя є малою величиною. З цього випливає, що малими будуть і складові спектра, а тому ними можна нехтувати.

Ширина спектра кутових модуляцій залежить від того, з якою амплітудою ми відкидаємо складові спектра. Практично вважають, що можна нехтувати тими спектральними складовими, номери яких (значення амплітуди їх менше за 5 % амплітуди переносника). З цього випливає, що ширина спектра сигналів з кутовими модуляціями дорівнює
, (24)
де – частота гармонічного модулюючого сигналу.

Інколи вважають, що для забезпечення передавання модулюючого сигналу з більш високою точністю потрібно передавати спектральні складові із значеннями амплітуди до 1 % амплітуди переносника. Тоді ширина кутових модуляцій .