asyan.org
добавить свой файл
1
Геометричні задачі професійного спрямування

(для груп металообробного виробництва та переробної промисловості)




Задача 1 ( Тема: « Многогранники »)
Токарю при обробці деталі силу Р взаємодії ріжучої кромки різця і деталі (силу різання) можна розкласти на три взаємно перпендикулярні складові: Рх (зусилля подачі), Ру (радіальне зусилля) і Рz (вертикальне зусилля різання)* (мал..1)

Визначити величину Р через значення величин Рх , Ру і Рz.



мал..1
Розв’язання:

З малюнку видно, що Рх , Ру і Рz – ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, Р – діагональ цього паралелепіпеда.

За теоремою про діагональ прямокутного паралелепіпеда (у прямокутному паралелепіпеді квадрат будь - якої діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його лінійних розмірів):

,

або






* Зусилля подачі Рх визначає ту частину сили різання, яка витрачається на поздовжню подачу різця.

Радіальне зусилля Ру визначає ту частину сили різання, яка витрачається на поперечну подачу різця.

Вертикальне зусилля різання Рz визначає ту частину сили різання, яка витрачається безпосередньо на знімання стружки з оброблювальної заготовки.
Відповідь:
Задача 2 ( Тема: « Площі поверхонь тіл »)
Токарю для отримання конічної лійки найбільшої місткості треба, щоб центральний кут розгортки цієї лійки був рівним (мал.а). Визначте радіус розгортки - Rр, якщо висота лійки рівна Н (мал..б).

(мал.а) (мал..б)

мал.. а, б Схема отримання конічної лійки

Розв’язання:

Розгортка бічної поверхні конуса є сектором. Довжина дуги цього сектора

рівна і рівна довжині кола основи конуса , де R – радіус основи конуса. Звідси випливає:

,

де .

За теоремою Піфагора: , або ,

звідси .
Відповідь:
Задача 3 ( Тема: « Площі поверхонь тіл »)
Визначите середню площу поперечного перерізу Fсер. стружки, яку знімає фреза з гвинтовими канавками, якщо b – ширина фрезерування, t – глибина фрезерування, sхв. – хвилинна подача заготовки відносно працюючої фрези (мм / хв.), v – швидкість різання (м / хв.).


Розв’язання:

Метал, знятий за одну хвилину, можна представити у формі прямокутного паралелепіпеда з розмірами b, t та sхв. Тоді об’єм стружки V = b t sхв. При цьому реальний процес фрезерування умовно замінено струганням (мал..) і стружка утворюється призматичної форми з поперечним перерізом Fсер. та висотою, рівною швидкості різання v.

В цьому випадку об’єм стружки V =1000(Fсер. v). Введення коефіцієнту 1000 визвано тим, що хвилинна подача вимірюється в мм / хв., а швидкість різання – в м / хв.. З умови рівності об’єму одного й того ж тіла, знайденого різними способами, слідує, що

1000 Fсер. v = b t sхв.

Fсер. =





Мал.. Схема стругання

Задача 4 ( Тема: « Об’єми тіл »)
Визначте найменший діаметр заготовки Dз , з якої необхідно виготовити фрезеруванням брусок квадратного перерізу із стороною . Чому дорівнює об’єм знятої стружки при довжині заготовки .
Розв’язання:
Нехай D – діаметр основи циліндра, описаного навколо прямокутного паралелепіпеда, основа якого – квадрат із стороною . При цьому . За сортаментом знаходимо найближче . Об’єм знятої стружки Vc знайдемо як різницю об’ємів заготовки Vз і бруска Vб , тобто як різницю об’ємів циліндра та прямокутного паралелепіпеда:

.

У деякому випадку, якщо , отримаємо

.

Відповідь: об’єм знятої стружки при довжині заготовки дорівнює .
Задача 5 ( Тема: « Многогранники. Тіла обертання »)
Токарю необхідно обточити кульове закінчення діаметром Dк на вершині центра конуса з діаметром основи D, висотою Н та кутом відхилення 30°. На якій відстані по твірній конуса від його основи необхідно почати обточування кульової поверхні?
Розв’язання:




Мал.. Центр з кульовим закінченням конуса


Осьовий переріз центру – рівнобедрений трикутник, до бічних сторін якого дотикається коло діаметром Dк . Кут при вершині трикутника дорівнює подвійному куту ухилення конуса, тобто 60°. Центр О вписаного кола лежить на бісектрисі кута АСВ та віддалений від сторін кута на відстані , тобто . Відрізок необхідно визначити.

З прямокутного трикутника СЕО отримуємо:

СЕ = ОЕ та .

Так як рівнобедрений трикутник АВС має при вершині кут, рівний 60°, тому він правильний. Тоді АС = D, а

.
Відповідь: обточування кульової поверхні по твірній конуса необхідно почати на відстані від його основи.

Задача 6 ( Тема: « Многогранники. Тіла обертання »)
Визначте діаметр D круглої плоскої заготовки товщеюдля отримання на висадочному штампі циліндричного стакану, зображеного на даному малюнку.
Розв’язання:


Мал.. Стакан, отриманий на висадочному штампі


Розв’язання:
За основу розрахунку приймаємо рівність об’ємів заготовки Vз та готової деталі Vд :

;

.

Тоді

;

.

Відповідь:

Задача 7 ( Тема: « Взаємне розміщення прямих та площин у просторі »)
Для обробки деталей з чавуну і деяких кольорових сплавів застосовують швидкоріжучі циліндричні фрези з переднім кутом γ = 0°. Визначте залежність між кутом нахилу гвинтової лінії w (0° < w ≤ 45°)? Кутом загострення β (0° < β < 60°) та кутом загострення в нормальній площині βн

(0° < βн < 60°).


Мал. Схема профілю зубу циліндричної фрези


Розв’язання:

На даному малюнку - профіль зуба в торцевій площині. ; - відрізок гвинтової лінії; ; - профіль зубу у нормальній площині, тобто в площині, перпендикулярній (АВ); .

Відмітимо, що . Тоді та . Крім того, та . З прямокутного трикутника АВО отримуємо:

,

або . (1)

З прямокутного трикутника ASO:

. (2)

З прямокутного трикутника ВSO:

(3)

Перемноживши рівності (1) і (2):

.

З цієї рівності і рівності (3) випливає

.

Кути w і β є заданими., тому цією залежністю користуються для визначення кута βн, який в свою чергу, дозволяє знайти задній нормальний кут αн ( в даній задачі, додатковий до βн), який впливає на шорсткість обробки.
Задача 8 ( Тема: « Взаємне розміщення прямих та площин у просторі »)
Визначте залежність між кутом нахилу ω гвинтової лінії фрези (0° < ω ≤ 45°), кутом загострення β (0° < β < 60°), переднім кутом γ (0° < γ < 20°) і заднім кутом в нормальній площині αн.
Розв’язання:


Враховуючи, що і , тоді Так як α + β + γ = 90°, отримуємо tg (90° - αн) = cos ω tg ( β + γ), або ctg αн = cos ω tg ( β + γ).
Відповідь: ctg αн = cos ω tg ( β + γ).



Мал. Схема профілю зубу циліндричної фрези

Задача 9 ( Тема: « Взаємне розміщення прямих та площин у просторі »)
Розв’язання:

По куту ε при вершині різця для нарізання трикутної різьби і задньому куту α визначте лінійний кут εр двогранного кута між задніми гранями. Цей кут необхідний для виготовлення шаблону, по якому перевіряють правильність заточки різця.

Розв’язання:


На мал.. ΔASB – передня грань різця; ; SD (ASB); SO – ребро двогранного кута між задніми гранями (ASO) і (BSO), причому ; ; , де С – середина ; за теоремою про три перпендикуляри. Відмітимо, що






Мал. Схема робочої частини різьбового різця

З прямокутного трикутника CSO:

,

або . (1)
З прямокутного трикутника ВSС:

. (2)
З прямокутного трикутника ВСО:

. (3)

Розділивши рівності (1) і (2):
.

З цієї рівності і рівності (3) почленними множеннями отримуємо:

,

або ,

звідси випливає, що .

Відповідь: .



Задача 10 ( Тема: «Об’єми тіл обертання »)
Чан, що має форму півсфери з внутрішнім радіусом R, наповнений томатним соусом (мал..а). Визначити, який об’єм рідини виллється з чану, коли нахилити його на кут (мал.б).



Мал..а Мал..б
Розв’язання:
Об’єм посудини дорівнює:

.

Знаходимо об’єм соусу, що залишився в посудині після нахилення її на кут :

.

Але . Тому



Об’єм соусу, що вилився з посудини, становить

.

Відповідь: .

Задача 11 ( Тема: « Об’єми тіл обертання »)
Яблучний сік, налитий в конічний чан висотою 0,18м і діаметром основи 0,24м переливається в циліндричний чан діаметр основи якого 0,1м. Як високо знаходиться рівень яблучного соку в чані?

Об’єм соку у конусі і у циліндрі однаковий.




З умови Vк = Vц:




Відповідь: ≈ 0,35м.


Задача 12 ( Тема: « Площі многогранників »)
Просіювач борошна – бурат має призматичне сито, площа його основи дорівнює 20 м2, площа повної поверхні 730 м2. Під час роботи воно пошкодилось. Вирахувати площу пошкодженої частини сита за умови, що призма правильна шестикутна, та коли воно виходить з ладу, то пошкоджується лише одна грань.
Розв’язання:
Площа повної поверхні призми складається з двох однакових основ та бічної поверхні :

Sп.п. = 2Sосн. + Sбіч.,

звідси Sбіч. = Sп.п. - 2Sосн.,

Sбіч. = 730 – 2 ∙ 20 = 690(см2).
Так як призма шестикутна правильна, то його бічна поверхня складається з шести однакових граней, тому:

Sбіч. грані = 690 : 6 = 115(см2).
Відповідь: площа пошкодженої частини сита дорівнює 115(см2).

Задача 13 ( Тема: « Площі тіл обертання »)
Просіювач борошна – бурат має циліндричне сито, діаметр площі його основи дорівнює 4м, площа повної поверхні 37,68м2. Під час роботи сито пошкодилось. Вирахувати площу пошкодженої частини сита (це буде площа бічної поверхні циліндра).
Розв’язання:



Оскільки Sц = 2Sосн + Sбіч = 2πR2 +2πRH,
то Sц - 2πR2 = 2πRH, так як , отже
,
Sб.п. = 2πRH = 2 ∙ 3,14 ∙ 2 ∙ 1 = 12,56 (м2).
Відповідь: площа пошкодженої частини сита дорівнює 12,56(м2).

Задача 14 ( Тема: « Об’єми многогранників »)
Визначити об’єм пекарної камери (ПХС – 25), якщо її розміри 1,9×0,2×10(м).
Розв’язання:
Пекарна камера має форму прямокутного паралелепіпеда, тому


Відповідь:

Задача 15 ( Тема: « Многогранники »)
Пекарна камера (ПХС – 25) має форму прямокутного паралелепіпеда. Чому дорівнює її повна поверхня, якщо три її грані мають площі 1м2, 2м2, 3м2.
Розв’язання:
У паралелепіпеда протилежні грані рівні, а отже, мають рівні площі. Значить, дві грані мають площі по 1м2, дві інші – по 2 і ще дві – по 3м2.

У паралелепіпеда 6 граней.

Отже, Sп.п. = 2 ∙ (1 + 2 + 3 ) = 12 (м2).
Відповідь: 12 м2.



Задача 16 ( Тема: « Об’єми тіл обертання »)
Нехай у кухаря є дві циліндричні каструлі: одна вузька і висока, а друга – вдвоє нижча, але вдвічі ширша. Для приготування борщу кухарю треба каструля більшої місткості. Яка з цих каструль має більшу місткість?

Розв’язання:

Нехай R і H – радіус дна і висота першої каструлі. Тоді 2R і - радіус дна і висота другої каструлі.

, .

Отже, об’єм другої каструлі в 2 рази більший ніж першої.

Відповідь: Друга каструля має місткість більшу ніж перша у два рази.

Задача 17 ( Тема: « Об’єми тіл обертання »)
Яку кількість томатного пюре ( в тонах) вміщує варочний котел ( має циліндричну форму) діаметром 1848 мм та висотою 2350 мм, якщо густина пюре дорівнює 0,16.

Дано:

Н = 2350мм = 235см

D = 1848мм = 184, 8см

.

Знайти:

m - ?



Розв’язання:
V = π R2H;

, тому , тоді

Відповідь: 1 тону.