asyan.org
добавить свой файл
1
Лабораторна робота №1

Синтез та аналіз термінальних систем автоматичного керування

Мета роботизасвоїти методи синтезу термінальних систем автоматичного керування з використанням моделей на ЕОМ для їх аналізу.

1.1. Теоретичні відомості

1.1.1. Загальна постановка задачі та підхід до її розв’язання

Нехай задано об’єкт керування (ОК). Стан ОК характеризується фазовими координатами (ФК), які є вихідними величинами ОК Xi(t) (рис.1). Наприклад, положення об’єкта, сила струму в навантаженні, температура, тиск в певній установці тощо.



Рис. 1.1. САК

Нехай в початковий момент часу (t = 0) значення ФК об’єкта Xi(t=0) = Xi0.

Задача полягає в тому, що необхідно перевести ОК з заданого початкового стану Xi0 в заданий кінцевий стан Xiк за заданий час T.

Таким чином, задано стан ОК в початковий та кінцевий моменти часу:




;

.




Нехай кількість значень ФК, заданих в початковий момент часу = n. Кількість значень ФК, заданих в кінцевий момент часу – r. Нехай разом загальна кількість цих значень k = n+r.

Визначення. Значення ФК об’єкта в початковий момент часу називають початковими умовами. Значення ФК об’єкта в кінцевий момент часу називають кінцевими умовами. Разом початкові та кінцеві умови називають крайовими або граничними умовами. Кількість заданих значень ФК може не відповідати порядку ОК, тобто можуть бути задані крайові умови не для всіх ФК.

Таким чином, змістовно задача полягає в тому, щоб знайти таке керування u(t) (такий вхідний вплив на ОК), при дії якого на ОК, він буде переходити з заданого початкового стану в заданий кінцевий стан за заданий час. Або іншими словами, знайти закон керування (аналітичний вираз) або синтезувати регулятор, або побудувати систему керування, що є еквівалентними задачами.

Будемо вважати, що сигнал керування один (один вхідний вплив на ОК).

Якщо об’єкт змінює свій стан в часі, кажуть, що він здійснює рух (по певній траєкторії). Отже ОК має під дією сигналу u(t) здійснити рух із заданої початкової точки в задану кінцеву точку, причому за чітко визначений час (не більше і не менше).

Визначення. Керування, яке переводить об’єкт з заданого початкового стану в заданий кінцевий стан за заданий (встановлений) час, називається термінальним.

Існує 2 постановки задачі термінального керування.

1. Перша передбачає наявність додаткових вимог до процесу переведення об’єкта з заданого початкового стану в заданий кінцевий стан, які формулюються у вигляді певних критеріїв оптимізації. Наприклад, мінімум довжини траєкторії, мінімум енерговитрат, мінімум перерегулювання, мінімум помилки системи. Відповідні задачі відносіться до задач пошуку оптимальних керувань і вирішуються так званими варіаційними методими.

2. В другій постановці додаткові вимоги відсутні.

Визначення. Термінальне керування, при якому додаткових вимог до процесу переведення ОК не ставиться, називається чисто термінальним. Якраз в цій постановці і розглядається задача в даній лабораторній роботі. Приклади: стикування модулів космічних кораблів, задача захопити або поставити деталь роботом на конвеєр (необхідно узгодити об’єкти за положенням, швидкістю, прискоренням) і т.п.

Проілюструємо цю задачу (рис.2). Оскільки задано лише початкову та кінцеву точки траєкторії руху ОК, а сама траєкторія не задана, то ОК може рухатись по будь-якій з них. Отже існує нескінченна множина траєкторій руху ОК, що задовольняють крайовим умовам.



Рис. 1.2 Ілюстрація задачі термінального керування

Розглянемо методику пошуку термінального керування. Безпосередньо шукати термінальне керування складно, оскільки до нього не задано ніяких вимог. Вимоги задані лише до траєкторії руху ОК. Зокрема те, що вона повинна проходити через початкову та кінцеву точки. Тому підхід до пошуку чисто термінального керування базується на тому, що спочатку шукають будь-яку задовільну траєкторію руху ОК (з міркувань простоти пошуку та опису), а потім, користуючись мат. моделлю ОК, визначають керування, відповідно до якого ОК має рухатись по запланованій траєкторії. ОК можна описати передаточною функцією, одним диференційним рівнянням (ДР) певного порядку (рівний порядку ОК), системою ДР першого порядку – все це еквівалентні способи опису ОК. Можна завжди перейти від одного способу до іншого.

Нехай ОК l-того порядку задано у вигляді системи з l рівнянь першого порядку:




.




Можна завжди перейти до одного ДР відповідно l-того порядку. Будемо вважати, що координата X1 має реальний фізичний зміст (є виходом ОК). Запишемо ДР від цієї координати. Якщо керування можна відокремити від інших змінних, тоді це буде певна функція від координати X1 та всіх її похідних аж до l-тої, рівна функції керування від часу:




.




Якщо знайти аналітичний вираз для траєкторії руху ОК X1(t), знайти його похідні та підставити в ДР, отримаємо шукане керування u(t).

Залишається визначити, як шукати траєкторію руху ОК X1(t). Вимогою до функції, що її описує є те, що ця функція має бути диференційованою, тобто повинна мати похідні. Найбільш простим способом опису траєкторії руху ОК є опис у вигляді функції поліному від часу, яка завжди має похідні:




.




Залишається визначити, якого порядку має бути поліном та як шукати невідомі константи Ci. На перший погляд може здатися, що чим більший порядок поліному, тим краще (можна задати більшу кількість можливих траєкторій руху, більшу кількість вимог врахувати), але у полінома, наприклад, 10-го порядку є 11 невідомих коефіцієнтів, які треба визначати. Коефіцієнти можна визначити, підставляючи в рівняння траєкторії руху об’єкта значення часу та координати з крайових умов. При цьому отримається система лінійних рівнянь з невідомими коефіцієнтами Ci. Треба зазначити, що якщо задано k значень в крайових умовах, то можна скласти систему з k незалежних рівнянь, яка має однозначний розв’язок, якщо містить k невідомих. З іншої сторони k невідомих коефіцієнтів є в поліномі (k-1)-го порядку. Отже будемо шукати траєкторію руху ОК X1(t) у вигляді поліному (k-1)-го порядку:




.




Склавши систему з k рівнянь, розв’язавши її та підставивши аналітичні вирази в ДР ОК, отримується аналітичний вираз керування u(t).

1.1.2. Пошук термінального керування для ОК 2-го порядку

Нехай задано ОК 2-го порядку у вигляді системи з 2-ох рівнянь першого порядку:






.




Нехай задано крайові умови:




;

.




Запишемо ДР 2-го порядку для об’єкта відносно x1. ДР має містити лише координату x1, її першу та другу похідну, а також функцію керування. Інші координати мають бути відсутні. Для цього візьмемо похідну за часом від першого рівняння системи:




.




Підставимо замість похідної x2 друге рівняння:




.




Розкриємо дужки, а змінну x1 виразимо з першого рівняння:






.




Перенесемо все, крім керування, в ліву частину рівняння:









або




.




Будемо шукати аналітичний вираз для траєкторії руху об’єкта у вигляді полінома 3-го порядку:




,




який має 4 невідомі коефіцієнти. Якщо підставити замість часу моменти t=0 та t=T, а замість x1(t)x10 та x1k відповідно, то отримаємо два рівняння. З рівняння x1(t=0)=C0 можна безпосередньо визначити коефіцієнт C0. З другого рівняння (для t=T) визначити безпосередньо нічого не можливо. Щоб знайти всі 4 коефіцієнти треба скористатися крайовими умовами не тільки для x1(t), а і для x2(t), склавши 4 рівняння. Для цього можна 2 інших рівняння скласти для похідної x1(t). Знайдемо вираз похідної x1(t):




.




Щоб знайти значення в початковий та кінцевий моменти часу, треба скористатися першим рівнянням системи ДР ОК, записавши його для моментів часу t=0 та t=T:






.




Ця дія називається перерахунок крайових умов.

Отже записуємо систему 4-ох рівнянь:










.




Отже, алгоритм пошуку термінального керування є таким:

1) на основі системи ДР записати одне ДР об’єкта 2-го порядку;

2) виконати перерахунок крайових умов;

3) записати рівняння траєкторії руху ОК як поліном від часу 3-го порядку та знайти його похідну;

4) скласти на основі рівнянь координати x1(t) та її похідної систему лінійних рівнянь з невідомими Ci. Визначити з перших двох рівнянь C0 та C1, підставити їх у третє та четверте рівняння, отримавши систему 2-х рівнянь з 2-ма невідомими та розв’язати її.

5) записати вирази для x1(t) та її першої та другої похідних, підставити їх в ДР ОК та знайти аналітичний вираз керування u(t).

Із системи рівнянь для Ci знаходимо відразу C0 та C1, підставляємо їх у третє та четверте рівняння:










.




Розв’язуємо систему рівнянь, що включає 3-тє та 4-те рівняння, методом Крамера. Для цього позначимо:






.




Тоді система рівнянь:




.




Знаходимо визначники:




,

,

.




Тоді невідомі C2 та C3:




,

.




Отже знайшли аналітичні вирази для траєкторії руху ОК, швидкості та прискорення руху:




,

,

.




Виразимо з ДР ОК









функцію керування u(t) та підставимо вирази для x1(t) та похідних:
















.




Позначимо




,

,

,

.




Отримали аналітичний вираз функції керування теж як поліном від часу третього порядку:




.




1.1.3. Синтез замкнутої системи керування в задачі термінального керування

Треба зазначити, що розглянутий підхід до визначення термінального керування дозволяє отримати так зване “програмне керування”, що відповідає роботі розімкнутої системи керування. Цей підхід має відомі недоліки, а саме не враховує вплив можливих збурень на ОК під час руху, тобто відповідність руху ОК запланованій траєкторії. Розглянемо дану ситуацію на прикладі. Нехай є ОК – ракета, якою треба влучити в ціль – вертоліт, що знаходиться в повітрі і не рухається. Припустимо прийнято певний час руху ракети, за який вона має влучити в ціль, сформульовано крайові умови та розраховане термінальне керування. Розглянемо перший випадок. Припустимо, що під час польоту на ракету дує вітер – збурення, внаслідок якого ракета зміщується від запланованої траєкторії. В такому випадку рух ОК можна описати наступним чином:




.




Тобто під час руху до положення об’єкта додається певна величина, пропорційна часу руху. Нехай коефіцієнт враховує вплив збурення на ОК. Внаслідок цього ракета прийде не туди, де знаходиться вертоліт, а в інше місце.

Для того, щоб врахувати вплив збурення і компенсувати його, поступають наступним чином. Весь інтервал руху ОК (наприклад 10 секунд) розбивають на m підінтервалів (наприклад 5 інтервалів по 2 секунди):




.




Припустимо, що ОК виконав рух напротязі першого інтервалу, і його положення внаслідок дії збурення не відповідає запланованому. Тоді перед наступним інтервалом виконується новий розрахунок керування, але в якості початкових умов приймається поточне положення об’єкта (поточне значення ФК). Це дозволяє певним чином компенсувати вплив збурення на об’єкт і привести його більш точно в необхідну точку (хоча все рівно певне відхилення буде, тому що на протязі останнього інтервалу збурення ніяк не враховується, і воно теж трохи зміщує ОК).

Розглянемо другий випадок. Нехай збурення на ОК не діє, але вертоліт рухається, наприклад з постійною швидкістю, тому координати цілі будуть лінійно змінюватись в часі. Як наслідок, ракета прийде в те положення, в якому була ціль на початку руху, а не туди, де вона знаходиться в кінці руху. Отже ціль також не буде досягнута. У такому випадку (тобто випадку рухомих кінцевих точок траєкторії) поступають аналогічним чином, як в першому випадку. Але при цьому на початку кожного нового інтервалу руху оновлюють не лише початкові умови задачі, а й кінцеві, в якості яких приймається поточні координати цілі

1.2.Виконання роботи

Вихідні дані для варіанту №46 наступні:

а11 =1, а12 =2, а21 =2, а22 =3, b=2, х10 =0, х20 =5, х=20, х=15, Т=10.

1.2.1. Розрахунок керування для двох заданих за завданням випадків

1.2.1.1. Розрахунок керування для випадку, що відповідає даним варіанту u(t).





Запиcав диференційне рівняння:

,

де введені позначення



Приймаю, що: , звідси диф. рівн. записав у формі Коші:







Згідно теоретичних положень траєкторію переводу ОК з початкового стану в кінцевий будемо шукати у вигляді полінома:



Визначаю коефіцієнти С0, С1, С2 та С3 з граничних умов:



Для визначення коефіцієнтів С2 та С3 складаю систему рівнянь, та враховую, що Т=10:





,

отже всі коефіцієнти для рівняння переведення ОК із початкового в кінцевий стан приймуть вигляд:



Програмне керування, як функцію часу, що змусило б об’єкт рухатись по вибраній траєкторії визначаю згідно функції:



Коефіцієнти функції керування розраховуються за наступними формулами:



Отже, програмне керування u(t) має вигляд:





Рис. 1.3. Графік програмного керування u(t)

1.2.1.2. Розрахунок керування для випадку, що відповідає даним варіанту u(t), та а11 =0 та а12 =1.





Виходячи з цього записати диференційне рівняння:

, де

де введені позначення



Приймаю, що: , звідси диф. рівн. записав у формі Коші:



.



Згідно теоретичних положень траєкторію переводу ОК з початкового стану в кінцевий буду шукати у вигляді полінома:



Визначаю коефіцієнти С0, С1, С2 та С3 з граничних умов:



Для визначення коефіцієнтів С2 та С3 складаю систему рівнянь, та враховую, що Т=10:





,

отже всі коефіцієнти для рівняння переведення ОК із початкового в кінцевий стан приймуть вигляд:



Програмне керування, як функцію часу, що змусило б об’єкт рухатись по вибраній траєкторії визначаю згідно функції:



Коефіцієнти функції керування розраховуються за наступними формулами:



Отже, програмне керування u(t) має вигляд:





Рис 1.4. Графік програмного керування u(t)

1.2.2 Виконую моделювання для об’єкту, що відповідає даним варіанту

1.2.2.1. Для заданих початкових та кінцевих умов.



Рис. 1.5. Динамічні параметри системи при вихідних даних

1.2.2.2. Для зменшеного початкового значення X1 (Х10 = - 1).



Рис. 1.6. Динамічні параметри системи при Х10 = -1

1.2.2.3. Для збільшеного початкового значення X1 (Х10 = 2).



Рис. 1.7. Динамічні параметри системи при Х10 = 2

1.2. 2.4. Для зменшеного кінцевого значення X1 (Х = 10).



Рис. 1.8. Динамічні параметри системи при Х = 10

1.2.2.5. Для збільшеного кінцевого значення X1 (Х = 40).



Рис. 1.9. Динамічні параметри системи при Х = 40

1.2.2.6. Для зменшеного часу керування (Т = 5).



Рис. 1.10. Динамічні параметри системи при Т = 5

1.2.2.7. Для збільшеного часу керування (Т = 20).



Рис. 1.11. Динамічні параметри системи при Т = 20

1.2.3 Повторюю п.2 для об’єкту, в якому фазові координати мають реальний фізичний зміст, прийнявши коефіцієнти а11 = 0, а12 = 1.

1.2.3.1. Для заданих початкових та кінцевих умов.



Рис. 1.12. Динамічні параметри системи при а11 = 0, а12 = 1

1.2.3.2. Для зменшеного початкового значення X1 (Х10 = - 1).



Рис. 1.13. Динамічні параметри системи при Х10 = -1

1.2.3.3. Для збільшеного початкового значення X1 (Х10 =2).



Рис. 1.14. Динамічні параметри системи при Х10 = 2

1.2.3.4. Для зменшеного кінцевого значення X1 (Х = 10).



Рис. 1.15. Динамічні параметри системи при Х = 10

1.2.3.5. Для збільшеного кінцевого значення X1 (Х = 40).



Рис. 1.16. Динамічні параметри системи при Х = 40

1.2.3.6. Для зменшеного часу керування (Т = 5).



Рис. 1.17. Динамічні параметри системи при Т = 5

1.2.3.7. Для збільшеного часу керування (Т = 20).



Рис. 1.18. Динамічні параметри системи при Т = 20

1.2.4 Задаються всі параметри згідно варіанту. Досліджується керування об’єктом з кінцевими координатами, що змінюються в часі.

1.2.4.1. Задаються певні зміщення по X1 та X2 (10-відсоткові значення від кінцевих координат): X1=2, X2=1,5 , виконую моделювання.



Рис. 1.19. Динамічні параметри даної системи при зміщеннях X1=2, X2=1,5

1.2.4.2. Задається кількість інтервалів перерахунку m = 10 , виконую моделювання.



Рис. 1.20. Динамічні параметри системи при m = 10

1.2.5. Дослідження руху об’єкта при дії на нього збурення



Рис. 1.21. Динамічні параметри системи при α = 3, m = 5



Рис. 1.22. Динамічні параметри системи при α = 10, m = 5



Рис. 1.23. Динамічні параметри системи при α = 3, m = 10



Рис. 1.24. Динамічні параметри системи при α = 10, m = 10

1.2.6. Дослідження руху нестійкого об’єкта, змінивши коефіцієнт а21 так, щоб об’єкт став нестійким



Рис. 1.25. Динамічні параметри системи при а21 = -2

Висновок:


На лабораторній роботі засвоїв методи синтезу термінальних систем автоматичного керування з використанням моделей на ЕОМ для їх аналізу, синтезував термінальні системи автоматичного керування. Змінюючи параметри системи керування, провів моделювання роботи системи на ЕОМ та зняв графіки характеристик при різних вхідних та вихідних параметрів, та при різних Тк.