asyan.org
добавить свой файл
1
Лекція №5

«УЗАГАЛЬНЕНИЙ МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ (метод ЕЙТКЕНА)»

(Поняття гомо- і гетероскедастичності. Вплив гетероскедастичності на властивості оцінок параметрів. Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена) оцінка параметрів лінійної економетричної моделі з гетероскедастиними заліками. Визначення оператора оцінок та відповідної коваріаційної матриці. Числовий приклад застосування методу Ейткена. Прогноз)
1. Поняття гетероскедастичності

Припущення, які були зроблені при оцінюванні параметрів моделі 1МНК [див. (4.2) — (4.5)], на практиці можуть порушуватися.

У розд. 6 було розглянуто проблеми мультиколінеарності, які пов’язані з порушенням умови (4.5).

Тепер розглянемо особливості економетричного моделювання, коли порушується умова (4.3), згідно з якою припускається, що відхилення мають такий розподіл ймовірностей, який зберігається для всіх спостережень. Тоді дисперсія залишків лишається незмінною для кожного спостереження.

Означення 7.1. Якщо дисперсія залишків стала для кожного спостереження, тобто , то ця її властивість називається гомоскедастичністю.

Часто у практичних дослідженнях явище гомоскедастичності порушується. Випробування на наявність чи відсутність гомоскедастичності звичайно не практикується, але здебільшого можна висунути гіпотези про правдоподібність альтернативних припущень щодо пропорційності помилки до X. Так, наприклад, при побудові економетричної моделі, що характеризує залежність між заощадженнями і доходами населення на підставі теоретичної та практичної інформації, можна висунути гіпотезу, що дисперсія залишків за окремими групами населення змінюватиметься і буде пропорційною до середнього доходу цієї групи. Коли розглядати економетричну модель, що характеризує залежність між дивідендами і розміром прибутку або між витратами на харчування і доходом на одного члена сім’ї, витратами на харчування і загальними витратами, то також можна припустити, що дисперсія залишків для окремих груп спостережень змінюватиметься.

Означення 7.2. Якщо дисперсія залишків змінюється для кожного спостереження або групи спостережень, тобто , то це явище називається гетероскедастичністю*.

Якщо існує гетероскедастичність залишків, то це спричинюється до того, що оцінки параметрів моделі 1МНК будуть незміщеними, обґрунтованими, але неефективними. При цьому формулу для стандартної помилки оцінки, строго кажучи, застосувати не можна.

припустимо, що дисперсія залишків для моделі пропорційна до величини Х. Тоді доцільно виконати перетворення вихідної інформації, поділивши, наприклад, усі змінні на Х. Модель набере вигляду

.

У результаті для оцінювання параметрів можна застосувати 1МНК. Зауважимо, що параметри а0 і а1 помінялися ролями. Вільним членом моделі замість а0 став параметр а1.

Приклад 7.1. побудуємо економетричну модель, що характеризує залежність між заощадженнями та доходом населення, млрд ф.ст. (табл. 7.1).

Таблиця 7.1

Рік

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Заощадження

0,36

0,2

0,08

0,20

0,10

0,12

0,41

0,50

0,43

Дохід

8,8

9,4

10,0

10,6

11,0

11,9

12,7

13,5

14,3

Рік

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Заощадження

0,59

0,90

0,95

0,82

1,04

1,53

1,94

1,75

1,99

Дохід

15,5

16,7

17,7

18,6

19,7

21,1

22,8

23,9

25,2

Скориставшись оператором оцінювання 1МНК



дістанемо = –1,081; = 0,1178.

запитання до лекції №2

1. З яких елементів складається математична модель?

2. Назвіть типи математичних моделей. Чим вони різняться між собою?

3. До якого типу математичних моделей належить економетрична модель?

4. Які особливості має економетрична модель?
рекомендовані теми рефератів до лекції №2

1.

* Обидва терміни — гомоскедастичність і гетероскедастичність запропоновані російсь­ким вченим А.А.Чупровим (Див.: Основные проблемы теории корреляции. — 2-е изд. — М.: Госстатиздат, 1960, с. 39).