asyan.org
добавить свой файл
1
Міністерство освіти і науки України

Житомирський державний технологічний університет


Кафедра АіКТ

Група АТ–14

Розрахунково-графічна робота

з дисципліни: «Оптимальні і адаптивні системи

автоматичного керування»

на тему: «Синтез квазіоптимальної за швидкодією системи автоматичного керування»

Виконав : Мельничук М.М.


Перевірив : Тютюнник А.Г.

Житомир 2010

Завдання :
Для об’єкта другого порядку, що описується передаточною функцією

W(P)

u x




Синтезувати квазіоптимальну за швидкодією систему керування за допомогою методу стикування розв’язків на основі теореми про n-інтервалів з одним переключенням керування від максимального () до мінімального () значення.

Теоретичні відомості

Опти­мальні за швидкодією керування мають релейний характер. Графік зміни одного з них наведений на рис. 1.1.



Кожну точку розриву оптимального керування назива­ють точкою переключення. Число таких переключень кожного з керувань , що визначається числом нулів функції переключення

(1.1)

залежить від початкового і кінцевого станів об'єкта, від характеристичних чисел матриці стану об'єкта і може бути дуже великим.

Проте, існує окремий випадок, що являє собою зміст теореми про n інтервалів, коли число таких переключень чітко визначене.

Ця теорема була сформульована та доведена А.А. Фельдбаумом.

Теорема

Заданий лінійний об'єкт

, (1.2)

або у векторній формі

(1.3)

де А - матриця стану;

В - матриця керувань.

Якщо всі корені характеристичного рівняння

(1.4)

дійсні (серед них можуть бути і нульові), то число переклю­чень кожного з керувань , оптимальних за швидкодією, не більше ніж (n - 1) (не більше п інтервалів постійності керування), де п — порядок об'єкта.
Хід роботи
Вихідні дані згідно варіанту №8.5 :












від













3

2

4

1

15

0

1

-10

-2

30

20



Синтез квазіоптимальної по швидкодії системи об’єктом 2-го порядку
Запишемо характеристичне рівняння для об’єкта керування

(2)
(3)
Знайдемо корені характеристичного рівняння :







Оскільки рівняння має дійсні ліві корені, то в відповідності до теореми про n – інтервалів оптимальний алгоритм керування має два інтервали (рис. 1.2)



Рис. 1.2

Поставимо задачу синтезувати квазіоптимальний алгоритм переводу ОК з одним інтервалом (рис. 1.3).



Рис.1.3

– номінальне значення керування; максимальне значення керування;

При цьому буде мати місце перерегулювання , яке необхідно обмежити допустимим значенням.

За кінцевий момент часу приймемо , тобто , яке являється допустимою зоною, куди повинна попасти вихідна величина в результаті квазіоптимального керування.

Для визначення моментів і скористаємося методом стикування розв'язків,

Розв'язок диференційного рівняння (2) при постійному значенні правої частини u має вигляд

(4)

де

, – корені характеристичного рівняння (3);

, – постійні, що визначаються з крайових умов.

Запишемо рівняння (4) для початкового моменту

(5)

визначимо похідну від (5)

(6)

При ; із (5) і (6) одержимо систему рівнянь

для

(7а)

(76)

Для визначення оптимального керування використаємо метод стикування розв'язків.

Згідно якого розглянемо момент (рис. 1.3) з двох сторін. Лівіше точки , тобто , де діє керування і правіше точки , тобто , де діє керування .

Для кожного такого моменту складемо рівняння (4).

Для моменту

. (8)

Для моменту в рівнянні (8) будуть інші постійні , тому що на об'єкт діє інше керування

(9)

В рівняння (8) і (9) входить невідоме значення . Для того, щоб позбавитись його, віднімемо від (8) рівняння (9), в результаті одержимо

(10)

Знайдемо похідну різниці при умові, що = const і = const .

(11)

І так, для моменту , одержали два рівняння (10) і (11). Складемо тепер рівняння (4) для моменту (рис. 1.3.):

. (12)

Знайдемо для нього похідну

(13)

З урахуванням того, що ; одержимо рівняння

(14)

В загальному підсумку, для визначення моменту ми одержали систему шести рівнянь:

;

;

;

; (15)

;

,

де крім шуканого моменту маємо, ще п'ять невідомих, що з'явились при розв'язанні диференційних рівнянь, тобто



Так як кількість невідомих дорівнює кількості рівнянь (15), то задача, в принципі, розв'язується. З перших двох рівнянь системи (15)

;



маємо

; . (16)

Використовуючи рівняння (10) і (11) визначимо

; (17)

. (18)
Аналогічно з рівнянь (12) і (13) оддержимо

(19)

(20)

Врахуємо умови (16), (19) та (17) і одержимо перше рівняння для визначення

і

. (21)

Аналогічно з (16), (20) та (18) одержимо друге рівняння для визначення і

. (21)

Так як рівняння (21) та (22) трансцендентні, то для визначення і скористаємося графоаналітичним методом розв’язку. Для цього виразимо параметр і з кожного рівняння

(23)

(24)



Підставивши дані варіанту отримаємо :










Рис.1.4. Графіки залежностей для функцій (23) і (24)

Структурна схема квазіоптимальної по швидкодії системи зображено на рис.1.5.


Рис. 1.5. Структурна схема квазіоптимальної по швидкодії системи
Перехідний процес (рис. 1.3) який ми одержали не являється оптимальним, тому що він теоретично продовжується безмежно довго. Практично його можна вважати близьким до оптимального тому, що вихідна величина x(t) попадає в задану область

за найменший кінцевий відрізок часу при певних умовах.

Моделювання квазіоптимальної САК на ЕОМ


Рис. 2.1. Початкові дані


Рис. 2.2 Аналіз неоптимальної САК


Рис. 2.3Аналіз оптимальної САК

Висновок : Вданій розрахунково-графічній роботі ми синтезували квазіоптимальну за швидкодією систему керування для об’єкта другого порядку за допомогою методу стикування розв’язків на основі теореми про n-інтервалів з одним переключенням керування від максимального () до мінімального () значення. Була побудована структурна схема САК, також проводилось реалізація динамічного режиму одержаної системи на ЕОМ.