asyan.org
добавить свой файл
1




2 РОЗРОБКА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ СУБМОДУЛЯ

2.1 Методи визначення координат об’єкта
2.1.1 Пcевдодальномірний метод
Сутність псевдодальномірного методу полягає у визначенні відстаней між навігаційними супутниками і споживачем і наступним розрахунком координат споживача. Для розрахунку трьох координат споживача псевдодальномірним методом необхідно знати відстані між споживачем і мінімум трьома навігаційними супутниками. Ці відстані виміряються між фазовими центрами передавальної антени навігаційного супутника і прийомної антени споживача [1,3].

Обмірювана відстань між i-тим навігаційним супутником і споживачем називається псевдодальністю до i-го супутника. Псевдодальність, узагалі говорячи, також є розрахунковою величиною й обчислюється як добуток швидкості поширення електромагнітних коливань і часу, у плині якого сигнал супутника по трасі « супутник – споживач» досягне споживача. Цей час виміряється в апаратурі.

Обмірювана псевдодальність до i-го навігаційного супутника визначається за формулою:
, (2.1)
де - обмірювана псевдодальність до i-го навігаційного супутника, км;

Δti – час поширення сигналу на трасі «i-тий супутник - споживач» на момент проведення навігаційних визначень, с;

с– швидкість поширення електромагнітних хвиль у просторі, км/с.
Рівняння (2.1) можна записати через координати i-го супутника і координати споживача за формулою:
, (2.2)
де - обмірювана псевдодальність до i-го навігаційного супутника, км;

(xi ,yi, zi) - координати i-го супутника;

(x, y, z) - координати споживача.
У формулі (2.2) x, y, z – невідомі, котрі потрібно визначити. Звичайно, що для рішення рівняння (2.2) потрібно мати мінімум три рівняння, тобто розрахувати і визначити псевдодальності до трьох супутників. Якщо це виконано, то зважується система з трьох нелінійних рівнянь із трьома невідомими.

Однак у силу того, що шкали часу навігаційних супутників і шкала часу споживача несинхронізовані при визначенні псевдодальностей по рівнянні (2.2) з'являється погрішність через їхню розбіжність.

Оскільки виробляється одномоментні виміри псевдодальностей, а шкали часу навігаційних супутників синхронізовані між собою, то розбіжність шкали часу супутників і споживача в момент визначення псевдодальностей можна вважати величиною постійною, але невідомою.

Позначивши цю невідому величину через h , запишемо систему рівнянь у виді:
, (2.3)
де - погрішність виміру псевдодальності через розбіжність шкал часу навігаційного супутника й апаратури споживача.

Для одномоментних вимірів h однакова для всіх супутників.

У формулі (2.3) чотири невідомих x, y, z, h і для її рішення вже необхідно чотири рівняння тобто потрібно визначення псевдодальностей мінімум до 4-х навігаційних супутників.

Результатом рішення системи (2.3) при i = 1,2,…,4 є координати споживача x, y, z і розбіжність шкал часу мережі навігаційних супутників і апаратури споживача ht .

Розбіжність шкал часу мережі навігаційних супутників і годин апаратури споживача не є єдиним джерелом помилок при визначенні псевдодальностей.

У більш загальному виді система рівнянь (2.3) може бути записана так:
, (2.4)
де Δi – погрішності визначення псевдодальності до i-го супутника через погрішності визначення ефемерид, погрішності частотно-тимчасового забезпечення, погрішності швидкості поширення радіохвиль у тропосфері і іоносфері на трасах «i-тий навігаційний супутник - споживач», погрішності через багатопроменеве поширення сигналів навігаційних супутників у місці прийому, шумів прийомального каналу апаратури споживача і погрішності через природні і навмисні перешкоди.
^

2.1.2 Ітеративний метод розрахунку координат споживача



Ітеративний метод – це розширене представлення псевдодальномірного методу.

Треба розглянути застосування псевдодальномірного методу для визначення координат споживача при мінімально необхідній і надлишковій кількості бачимих навігаційних супутників.

Псевдодальність до навігаційного супутника визначається за формулою:
. (2.5)
де - псевдодальність до i-го навігаційного супутника, км;

(xi ,yi, zi) - координати i-го супутника;

(x, y, z) - координати споживача;

- погрішність виміру псевдодальності через розбіжність шкал часу навігаційного супутника й апаратури споживача;

Δi – погрішності визначення псевдодальності.

Надалі задаються деякі апріорно відомі чи задані координати споживача x0, y0, z0, h0 і обчислюються псевдодальності до всіх спостерігаємих навігаційних супутників за формулою:
, (2.6)
де - псевдодальність до i-го навігаційного супутника, км;

(xi ,yi, zi) - координати i-го супутника;

(x0, y0, z0) - апріорно відомі координати споживача;

- апріорно відома погрішність виміру псевдодальності через розбіжність шкал часу навігаційного супутника й апаратури споживача.
Позначаються векторами знахідні координати споживача, обмірювані псевдодальності і розрахункові псевдодальності відповідно:
, (2.7)

, (2.8)

. (2.9)

Далі з матриць (2.8) і (2.9) утворюється різницева матриця:
, (2.10)
де - різницева матриця;

- матриця обмірюваних псевдодальностей;

- матриця розрахункових псевдодальностей.
Далі записується (2.10) з обліком на (2.7):
, (2.11)
де - матрична функція від аргумента ;

- матрична функція розрахункових псевдодальностей від ;
Припускається, що (2.10) дорівнює [0] чи майже дорівнює [0], де [0] – нульовий вектор. Матрична функція розкладається у ряд Тейлора в околиці вектора і отримується формула для розрахунку матричної функції різницевої матриці:

, (2. 12)
де - матрична функція від аргумента ;

- матрична функція від аргумента;

- похідна;

- вектор координат користувача;

- вектор апріорно відомих координат користувача.
Матричне рівняння, що поєднує виміри до n навігаційних супутників, вирішується по формулі:
, (2.13)
де [G0]матриця похідних.
Далі (2.13) перетворюється у вид:
, (2.14)
і розв'язується відносно .

У загальному виді матричне рівняння (2.14) можна вирішити, якщо розмірність матриць відповідає числу супутників, що спостерігаються - n. Для перетворення до відповідної форми використується формула:
, (2. 15)

[W]-1 = [P]T[P],
де [G0]T - транспонована матриця похідних;

- матриця похідних;

- вектор координат користувача;

- вектор апріорно відомих координат користувача;

- матрична функція від ;

- матрична функція від ;

[P]T – транспонована матриця вагових коефіцієнтів;

[P] - матриця вагових коефіцієнтів.
Рішення (2.15) відносно буде мати вид:
, (2. 16)

[W]-1 = [P]T[P],


Вираження (2.16) є перший крок методу послідовних наближень. Для визначення координат споживача даним методом необхідно задати початкове наближення вектор , необхідну точність визначення координат і погрішності h: x, y, z, h. При цьому вираження (2.16) записується у рекурентному вигляді по формулі:
, (2. 17)
де j змінюється від 0 до K, а K+1 є число ітерацій, що змінюється доти поки не здійсниться умова:
, (2. 18)
де - вектор координат користувача на J+1 кроці;

x, y, z, h - погрішності визначення координат.

      1. ^

        Диференційний метод визначення координат



Диференційний метод визначення координат використовується для підвищення точності навігаційних визначень, виконуваних в апаратурі споживача. В основі диференційного методу лежить знання координат опорної крапки чи системи опорних крапок, щодо яких можуть бути обчислені виправлення до визначення псевдодальностей навігаційних супутників. Якщо ці виправлення врахувати в апаратурі споживача, то точність розрахунку, зокрема, координат може бути підвищена в десятки разів.

Апаратура, яка входить до складу наземного функціонального доповнення складається із контрольно-коригувальних станцій (ККС), ОВЧ каналу передачі даних у відповідності із рисунком 2.1. Бортовий навігаційний GNSS приймач і приймач ОВЧ сигналів установлені на борті рухливого об’єкта.



Рисунок 2.1 – Функціонування наземного функціонального доповнення GBAS

Фазовий центр GNSS антени ККС сполучений з координатами XAnt, YAnt, ZAnt, що обмірювані з високою геодезичною точністю (одиниці сантиметрів). Опорний приймач ККС вимірює псевдодальності до усіх спостерігаємих супутників. Оскільки координати фазового центра антени ККС відомі, її обчислювач може розрахувати псевдодальності за формулою:
, (2.19)
де - розрахункова псевдодальність до i – го навігаційного супутника;

xi, yi, zi – координати i- го навігаційного супутника;

XAnt, , YAnt , ZAnt - координати ККС.

Різниця між розрахунковою й обмірюваною псевдодальностями є поправка псевдодальності до відповідного навігаційного супутника. Облік в апаратурі споживача цієї різниці і дозволяє підвищити точність навігаційних визначень. Вираження (2.19) діє у зоні, обмеженої декількома десятками кілометрів. При цьому передбачається, що розрахунок і облік поправок виробляється в той самий момент часу. У практичних системах споживачу передається швидкість зміни поправок псевдодальностей, із застосуванням яких виробляється розрахунок скоректованих псевдодальностей. Розрахунок координат споживача проводиться за формулою (2.17), у якій підставляються скоректовані псевдодальності. Описаний метод застосується для локальних ККС.

Для систем типу SBAS, яка збудована у відповідності із рисунком 2.1, коригувальна інформація являє собою деяку інтегральну характеристику поправок для великих регіонів. Прикладами виконання SBAS є: широкозона система функціонального доповнення США (WAAS), аналогічна за своїми функціями європейська система EGNOS, супутникова система функціонального доповнення Японії (MSAS), які зображені у відповідності до рисунку 2.3.

В апаратурі споживача виробляється облік поправок у залежності від локального місця розташування споживача по відповідних алгоритмах.


Рисунок 2.2 - Структура SBAS



Рисунок 2.3 – зони дії і обслуговування систем SBAS
2.2 Етапи та засоби визначення координат об’єкта псевдодальномірним методом
Для розрахунку координат навігаційних супутників GPS за даними оперативної інформації, переданої із супутників, інтерфейсний контрольний документ по GPS [3] пропонує наступний алгоритм розрахунку.

Координати супутників у геоцентричній фіксованій системі координат розраховуються по формулах [12]:
, (2.20)
де (,,) - координати навігаційного супутника;

(,) - координати навігаційного супутника в орбітальній площині;

- скоректована довгота східного вузла, рад;

- скоректоване нахилення орбіти супутника, рад.
Скоректована довгота східного вузла визначається за формулою:
, (2.21)
де - довгота східного вузла орбітальної площини на тиждневу епоху, рад;

- швидкість зміни прямого східження, рад/c;

радіан/сек – швидкість обертання Землі;

tk – час відлічуваний від опорної епохи ефемерид, с;

t0e - опорний час завдання ефемерид, с.

Координати навігаційного супутника в орбітальній площині обчислюються за формулою:
, (2.22)
де - скоректований радіус орбіти супутника, км;

- скоректований аргумент широти, рад.
Скоректоване нахилення орбіти супутника обчислюється за формулою:
, (2.23)
де - кут нахилення орбіти супутника, рад;

- корекція нахилення, рад;

- швидкість зміни кута нахилення, рад/с.
Скоректований радіус орбіти супутника обчислюється за формулою:
, (2.24)
де А – велика піввісь орбіти супутника, км;

е – ексцентриситет;

Ек - ексцентрична аномалія, рад;

- корекція радіуса, км.

Скоректований аргумент широти обчислюється за формулою:
, (2.25)
де - аргумент широти;

- корекція аргумента широти.
Виправлення для корекції аргументу широти обчислюється за формулою:
. (2.26)
де - амплітуда синусної гармонічної поправки до аргумента широти;

- амплітуда косинусної гармонічної поправки до аргумента широти.
Корекція радіуса обчислюється за формулою:
, (2.27)
де - амплітуда косинусної гармонічної поправки до радіуса супутника;

- амплітуда синусної гармонічної поправки до радіуса супутника.
Корекція нахилення орбіти супутника обчислюється за формулою:
, (2.28)
де - амплітуда косинусної гармонічної поправки до кута нахилення;

- амплітуда синусної гармонічної поправки до кута нахилення;

Аргумент широти обчислюється за формулою:
, (2.29)
де - дійсна аномалія;

- аргумент перигея.
Ексцентрична аномалія обчислюється за формулою:
(2.30)
Дійсна аномалія обчислюється за формулою:
(2. 31)
Рівняння Кеплера для ексцентричної аномалії, розв'язуване методом ітерацій:
, (2.32)
де Мк – середня аномалія.

Середня аномалія обчислюється за формулою:
, (2.33)


де М0 – середня аномалія на час прив’язки;

n – скоректований середній рух;

n0 – розрахунковий середній рух;

- різниця середнього руху від розрахункового.
Час відлічуваний від опорної епохи ефемерид обчислюється за формулою:
, (2.34)
де t- системний час GPS на момент передачі повідомлення (час скоректоване на величину затримки проходження сигналу від супутника до споживача, рівну відношенню дальності до швидкості світла);
Розрахунковий середній рух обчислюється за формулою:
, (2.35)
де А - велика піввісь еліптичної орбіти навігаційного супутника;

метр3/сек2 – астрономічна постояна.

У формулах параметри Crs, Δn, M0, Cuc, e, Cus, , toe передаються з навігаційного супутника у підкадрі 2, параметри Cic, , Cis, i0, Crc, ω, ^ (OMEGADOT), IDOT передаються з навігаційного супутника у підкадрі 3;

Споживач повинний враховувати ефекти через швидкість обертання Землі протягом часу поширення сигналу , щоб оцінити затримку в шляху в інерціальній системі координат. У геостаціонарних координатах він повинний додати відповідні виправлення до координат (х, у, z).
Після розрахунку координат трьох супутників та відстаней до них, процесор GPS-приймача обчислює координати користувача. Для цого апаратура знаходить рішення системи рівнянь:
, (2.36)
де (X,Y,Z) – координати користувача;

(X1,Y1,Z1) - координати 1- го супутника;

PR1 – відстань до 1- го супутника, км;

(X2,Y2,Z2) - координати 2- го супутника;

PR2 – відстань до 2- го супутника, км;

(X3,Y3,Z3) - координати 3- го супутника,

PR3 – відстань до 3- го супутника, км.

Далі після перетворень маємо систему виду:
(2.37)
Після цього визначається:

, (2.38)

R2 =X2 + Y2 + Z2,

,
де R = 6371 – радіус Землі, км;

r = 26371 – радіус орбіти i - го супутника, км.
Получимо систему рівнянь, яку можна обчислити одним з трьох методів, наприклад методом Крамера:
(2.39)
Далі обчислюється детермінант по формулі:
Δ=(X1*Y2*Z3 +Y1*Z2*X3+Z1*X2*Y3)-(X3*Y2*Z1+Y3*Z2*X1+Z3*X2*Y1) (2.40)
Якщо Δ дорівнює 0, тоді система рівнянь не має рішень. Програмному забезпеченню надходить повідомлення за допомогою прапору стану.

Детермінанти до координат об’єкта обчислюються за формулами:
Δx=(B1*Y2*Z3+Y1*Z2*B3+Z1*B2*Y3)-(B3*Y2*Z1+Y3*Z2*B1+Z3*B2*Y1),

Δy=(X1*B2*Z3+B1*Z2*X3+Z1*X2*B3)-(X3*B2*Z1+B3*Z2*X1+Z3*X2*B1), (2.41)

Δz=(X1*Y2*B3+Y1*B2*X3+B1*X2*Y3)-(X3*Y2*B1+Y3*B2*X1+B3*X2*Y1).

Далі координати споживача обчислюються за допомогою формул:
X=Δx/Δ,

Y=Δy/Δ, (2.42)

Z=Δz/Δ.

    1. ^

      Погрішності навігаційних визначень



Приведемо якісний опис характеру погрішностей визначення місця розташування користувача і виявимо засоби зменшення їхніх величин. Ці питання необхідно зв’язати із методом диференціального режиму, оскільки тільки в диференціальному режимі супутникові радіонавігаційні системи забезпечують можливість забезпечення високоточних навігаційних визначень [12].

1) Эфемеріді погрішності. Цей вид погрішностей зв'язаний з неточністю визначення параметрів орбіт навігаційних супутників, а також непередбаченим зсувом положення супутників на орбіті через різні випадкові фактори. За різними оцінками величина эфемеридной погрішності досягне 0,6 – 10 м.

Эфемерідні погрішності залежать від часу, що пройшов з моменту їхньої закладки наземним центром керування.[12]

Наприклад, якщо розраховувати місце розташування користувача за даними альманаху, то можна привести такі цифри: погрішність (одна ) – 900 м при віці даних альманаху за добу, 1200 м – 7 доби; 3600 м - 2 тижня.

2) Тропосферні й іоносферні погрішності. Цей вид погрішностей зв'язаний із проходженням електромагнітного сигналу по трасі «навігаційний супутник – споживач».

Відомо, що земна куля оточена атмосферою. Атмосфера переважно заповнена зарядженими частками, захопленими магнітним полем Землі. Якщо магнітне поле необурене, то верхня границя атмосфери знаходиться на висоті 2 - 3 земних радіусів (радіус Землі = 6 370 км.). При заворушливому магнітному полі верхня границя атмосфери зміщається до 20 радіусів Землі.

При оцінці погрішностей через поширення електромагнітних хвиль в атмосфері, останню розділяють на 2 області: тропосферу до висот 10 км у середніх широтах, до 20 км в екваторіальних, до 7 км у полярних і іоносферу – та частина, яка знаходиться за тропосферою.

Іоносфера характеризується наявністю великої кількості вільних зарядів електронів і іонів.

Природно, що при проходженні електромагнітних хвиль, через атмосферу їхня швидкість уздовж траси «навігаційний супутник –споживач» відрізняється від швидкості світла у вільному просторі. Це розходження у швидкості і приводить до помилок при проведенні навігаційних визначень. Зміна швидкості поширення електромагнітних хвиль при проходженні їх через атмосферу обумовлені зміною і неоднорідністю діелектричної проникності атмосфери і поглинанням енергії.

Однак, характер тропосферних і іоносферних погрішностей різний. Тому в супутникових навігаційних системах використовують дві моделі: тропосферну й іоносферну.

Застосування тропосферної моделі дозволяє оцінювати затримку сигналу з погрішностями декілька наносекунд (без моделі десятки наносекунд).

Аналогічні результати одержують і при використанні іоносферної моделі.

Зниження іоносферних погрішностей здійснюється декількома методами: моделювання траси « супутник- споживач», двухчастотні виміри, надлишкові одночастотні виміри.

3) Погрішності за рахунок шумів. Погрішності за рахунок шумів визначаються якісними рішеннями, закладеними в апаратуру споживача, методами обробки сигналів. Ці погрішності залежать від характеристик антенно-фідерного тракту, приймача, кореляторів і інших складових. У високоякісній апаратурі споживача порядок цих величин визначається одиницями метрів.

4) Погрішності обумовлені перешкодами. Це один з найбільш серйозний вид погрішностей. Перешкоди можуть бути природні і спеціально організовані.

Природні перешкоди пов’язанні з визначеною електромагнітною обстановкою в зоні прийому сигналів навігаційних супутників. Зниження цього виду перешкод до прийнятних розмірів регламентується правилами стандартів по електромагнітній сумісності.

Спеціально організовані перешкоди – це радіосигнали, що навмисне створюються в області прийому корисних сигналів для їхнього перекручування.

Одним з діючих методів боротьби зі спеціально- організованими перешкодами є їхня просторова фільтрація. Для просторової фільтрації застосовується спеціальна антена (адаптивні антенні ґрати), що придушує сигнал перешкоди і не впливає на корисні сигнали навігаційних супутників.

5) Погрішності через багатопроменеве поширення. Оскільки антена апаратури споживача може бути оточена різними предметами, то в її апертуру крім сигналу безпосередньо прихожого з навігаційного супутника можуть надходити і перевідбиті сигнали від навколишніх предметів. У результаті на вхід приймача надходять кілька сигналів, що і створюють додаткові погрішності при виявленні, а в наступному і при проведенні навігаційних обчислень.

Можна виділити три методи зменшення погрішностей через багатопроменеве поширення:

а) установка антени в ретельно вивченому місці там, де прийом багатопроменевих сигналів неможлива чи їхня інтенсивність мала;

б) формування спеціальних діаграм спрямованості прийомних антен;

в) програмні методи.

6) Погрішності частотно-тимчасового забезпечення. Погрішності частотно-тимчасового забезпечення зводяться до мінімуму завдяки застосуванню високоточних бортових елементів часу і частоти. Проте, в апаратурі споживача виробляється облік відходів частоти і часу навігаційних супутників.