asyan.org
добавить свой файл
1 2 ... 4 5
Мiнiстерство освiти i науки Украiни

Одеська державна академiя будiвництва i архiтектури

Кафедра «Процесів та апаратів в технології будівельних матеріалів»


Курсова робота

з дисциплiни:

«Основи математичного моделювання в матеріалознавстві»


Виконав:

ст.гр.ВБК-441

Сеник Р.

№з.к.06089

Перевiрила:

Довгань О.Д.

Одеса

2010
Частина 2.1. Розрахунок статистичних оцінок
Таблиця 2.1. Розрахунок статистичних оцiнок

Вихідні дані




Розрахунки по п. 2.1







Розрахунки по п. 2.5




Розрахунки по п. 2.7



Y 1

Y 4

z1 = Y1–8

z4 = Y4–60

z12

Z42

z1·z4

Y4.роз.

Δ =

Υ4–Y4.роз.

Δ2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

7,9

53

-0,1

-7

0,01

49

0,7

60,06

-7,06

49,84

2

8,1

56

0,1

-4

0,01

16

-0,4

60,32

-4,32

18,66

3

7,6

53

-0,4

-7

0,16

49

2,8

59,67

-6,67

44,49

4

9,1

68

1,1

8

1,21

64

8,8

61,61

6,39

40,83

5

7,2

52

-0,8

-8

0,64

64

6,4

59,16

-7,16

51,26

6

9,0

67

1

7

1

49

7

61,48

5,52

30,47

7

8,6

71

0,6

11

0,36

121

6,6

60,96

10,04

100,8

8

8,3

69

0,3

9

0,09

81

2,7

60,58

8,42

70,9

9

13,0

74

5,0

14

25

196

70

66,64

7,36

54,17

10

11,2

52

3,2

-8

10,24

64

-25,6

64,32

-12,32

151,8

11

7,9

60

-0,1

0

0,01

0

0

60,06

-0,06

0,004

12

8,4

63

0,4

3

0,16

9

1,2

60,71

2,29

5,244

13

8,1

57

0,1

-3

0,01

9

-0,3

60,32

-3,32

11,02

14

8,3

62

0,3

2

0,09

4

0,6

60,58

1,42

2,02

15

10,6

63

2,6

3

6,76

9

7,8

63,54

-0,54

0,29

Сума

133,3

920

13,3

20

45,75

784

61,6

920,01

-0,01

631,798





















2.1.1. Розрахунок табличним способом параметричних оцінок середнього, дисперсії, середньоквадратичного відхилення та коефіцієнту варіації.

Розрахунок середнього Yj.сер по вихідним даним завдання:

Yj.сер =  (2.1)

де: m – число результатів експерименту (m = 15); – сума результатів вимірювань для Yj (сума 2-ої та 3-ої колонки Таблиці 2.1).

Y1.сер = МПа,

Y4.сер = МПа.

Для спрощення подальших розрахунків виконується розрахунок середнього по перетвореним величинам. Середнє значення кожної властивості округляємо до найближчого «круглого» цілого числа, наприклад, для Y1.сер = 8,88 МПа – округлюємо до С1 = 8 МПа; для Y4.сер = 61,3 МПа – до С4 = 60 МПа. Округлення справедливо, як в більшу, так і в меншу сторони.

Розрахунок допоміжних величин в Таблиці 2.1:

Zj = Yj.ν – Cj. (2.2)

Z1 = 7,9 – 8 = -0,1

Z3 = 53 – 60 = -7

Результати визначення допоміжних величин для двох властивостей записуються в колонки 4 і 5 Таблиці 2.1., після чого виконуємо розрахунок суми допоміжних величин ∑ zj.ν

В колонки 6 і 7 (Таблиця 2.1) заносимо результати возведення в квадрат кожного значення zj.ν, а також їх суми .

Розрахунок середнього по перетвореним величинам виконуємо по наступним формулам:

(2.3)

Yj.сер = Cj + zj.сер (2.4)

Z1.сер =  Y1.сер = 8 + 0,89 = 8,89 МПа,

Z4.сер =  Y4.сер = 60 + 1,3 = 61,3МПа.

Розрахунок дисперсії при двосторонньому риску α = 0.1 і числі степенів волі f = m – 1 = 15 – 1 = 14:

(2.5)

,

.

Розрахунок середньоквадратичного відхилення

(2.6)

МПа,

МПа.

Розрахунок коефіцієнту варіації:

(2.7)

або 16%,

або 12%.

За результатами визначення коефіцієнтів варіації для кожної властивості робимо висновок. В якості зразка і подалі приводяться висновки для міцності на розтяг при згині та міцності на стиск, згідно завдання, в сухому стані.

Висновок – в межах експерименту відносні варіації міцності на розтяг при згині та міцності на стиск в водонасиченому стані відрізняються на 4%, а помилки вимірювання цих властивостей, як видно з Таблиці, складають 6 і 8%, тому можна рахувати, що ці варіації одинакові.

2.1.2. Визначення довірливих інтервалів істинних середніх при двохсторонньому риску  = 0.1.

При риску α = 0.1 і числі степенів волі f = m – 1 = 15 – 1 = 14 по таблиці t-розподілу значення критерію дорівнює t = 1.761

Напівдіапазон дорівнює

(2.8)

для Y1:

для Y4: .

Довірливий інтервал дорівнює:

j.сер. = Yj.сер ± Δ{Yj.сер} (2.9)

або Р{Yj.сер. – Δ{Yj.сер} ≤ j.сер. ≤ Yj.сер + Δ{Yj.сер}} = 1 – α (2.10)

де: j.сер. – генеральне середнє.

для Y1: 1.сер = 8± 0,73 або Р{7,27 ≤ j.сер. ≤ 8,73} = 0.9,

для Y4: 4.сер. = 60 ± 3,46 або Р{56,54 ≤ j.сер. ≤ 63,46} =0.9.

2.1.3. Перевірка гіпотези про рівність середніх при односторонньому риску  = 0.05 нормативним рівням.

Нормативні рівні для кожної властивості викладачем вказуються в бланку завдання.

Оскільки число степенів волі f = 14 зберігається, а односторонній риск  = 0.05 дорівнює двохсторонньому риску  = 0.10, тоді значення t-критерію по аналогії з п. 2.2 дорівнює 1.761.

Перевірка виконується до відповідності з (2.11):

(2.11)

Якщо нормативний рівень для властивості Rb.d дорівнює 10 МПа і для Rc.w.= 65 МПа, тоді

для Y1:

для Y4: ,

За результатами перевірки гіпотези про рівність середніх нормативним рівням робимо висновок.

Висновок – Показники якості задовольняют нормативні вимоги.

2.1.4. Побудова точкового графіку взаємозв’язку властивостей матеріалу.

По вихідним даним для двох властивостей будуємо точковий графік взаємозв’язку двох величин.

2.1.5. Розрахунок оцінки коефіцієнту кореляції табличним способом перевірка гіпотези про значимість (при риску α = 0.05) кореляційного зв’язку для двох властивостей.




Рис. 2.1. Точковий графік взаємозв’язку

міцності на розтяг при згині в сухому стані (Rbd, МПа)

та міцності на стиск в водонасиченому стані (Rcw, МПа) і їх регресивні прямі
Взаємозв’язок між двома властивостями оцінюється коефіцієнтом парної кореляції r{у1,у4}, який вираховується через оцінку коваріації cov*{Y1, Y4} двомірного розподілу – математичного очікування добутку Y1 і Y4 від своїх середніх.

Оцінка коваріації:

cov*{Y1, Y4} =  (2.12)

де: – сума добутку допоміжних величин Z1.ν і Z4.ν (колонка 8 Таблиці 2.1).

Розрахунок коефіцієнта коваріації

cov*{Y1, Y4}=.

Коефіцієнт парної кореляції

(2.13)

Розрахунок коефіцієнта кореляції між Y1 і Y4

.

Критичний рівень при риску α = 0.05 та при числі степенів волі f=15-2=13 і дорівнює (0.532+0.497)/2=0.514, що бiльше r{Y1, Y4}=0.27.

Висновок – модель адекватна експерименту.

1.6. Розрахунок лінійних кореляційних рівнянь.

Кореляційний зв’язок описується двома лінійними одно факторними моделями (рівняннями регресії):

для визначення Y4 по Y1:

(2.14)

або Υ4 = b0 + b1 · Υ1 (2.15)

для визначення Y1 по Y4:

(2.16)

або Υ1 = b0 + b1 · Υ4 (2.17)

При цьому рівняння (2.16) не є алгебраїчним перетворенням (2.14), за виключенням випадку, коли r{ Y1, Y4} = 1

За отриманими кореляційними рівняннями будуємо регресивні прямі для двох досліджуваних властивостей шляхом підстановки в (2.15) та (2.17), що відповідають мінімальним і максимальним значенням Y1 і Y4 (Таблиця 2.1 – вихідні дані).

для визначення Rс.w по Rb.d

,

Rс.w = 49,808 + 1,274 Rb.d (суцільна пряма лінія на Рис. 2.1)

для визначення Rb.d по Rс.w

,

Rb.d = 4,58 + 0.057 Rс.w (пунктирна пряма лінія на Рис. 2.1 )

Прямі не співпадають постільки коефіцієнт кореляції не дорівнює 1.

Висновок – Якщо вимірювані та розраховані показники якості матеріалу по ходу технічних рішень «міняються місцями», тоді необхідно побудувати нову кореляційну модель.

1.7. Побудова табличним способом по методу найменших квадратів лінійної моделі для визначення «другої» властивості (Υ4) по даним про рівень «першого» (Y1).

Нормальні рівняння:

(2.18)



дають рішення

(2.19)

(2.20)

Рівняння регресії

Z4 = b0{z} + b1{z}·z1 (2.21)

де: z11 – C1; z44 – C4. Після підставляння значень z1 і z4 в (2.21) отримуємо кореляційне рівняння для визначення «другої» властивості по «першій»:

Υ4 – C4 = b0{z} + b1{z}(Υ1 – C1) (2.22)

або Υ4 = (b0{z} + b1{z}·(Υ1 – С1)) + C4 (2.23)

Для визначення розрахункових значень Υ4.роз. с урахуванням похибки в (2.23) підставляються відповідні значення для Y1 по всіх 15 даних. Результати визначення Y4.роз. записуються в колонку 9 (Таблиця 2.1) та розраховується їхня сума . В Таблицю 2.1 також заносяться результати розрахунку відхилення розрахункового показника Υ4.ν.роз. від виміряного Υ4.ν: ∆=Y4.ν–Υ4.ν.роз. (колонка 10) і квадрат цього відхилення ∆2 (колонка 11). Сума результатів колонки 11 дає залишкову суму квадратів:

SSзал. = (2.24)

Похибка визначення міцності на стиск в водонасиченому стані Rс.w композиту за його міцністю на розтяг при згині в сухому стані Rb.d оцінюється після побудови лінійної моделі Rс.w(Rb.d) або Y4=f(Y1) по методу найменших квадратів.

Нормальні рівняння:

15·b0{z} +13,3· b1{z} = 20

13,3· b0{z} + 45,75· b1{z} = 61.6

дають рішення





Рівняння регресії

z4 = 0,19 + 1,29 z1

Y4 – 60 = 0,19 + 1,29·(Y1 – 8)

Rс.w = 49,87 + 1,29 Rb.dспівпадає з суцільною лінією (Рис. 2.1).

Залишкова сума квадратів SSзал == 631,798

2.1.8. Розрахунок абсолютного значення помилки експерименту і статистичних характеристик неадекватності.

Для кожної властивості даного експерименту в бланку завдання (Таблиця 2.1; «Помилка») визначена відносна помилка експерименту Sвідн. Так, для міцності на розтяг при згині в сухому (Rb.d) і водонасиченому (Rb.w) стані вона складає 6 %; для міцності на стиск в сухому (Rс.d) і водонасиченому (Rс.w) стані – 8 %.

Абсолютне значення помилки експерименту з урахуванням середніх значень досліджуваних властивостей дорівнюватиме:

sЕ = Sвідн. · Yj.сер (2.25)

Абсолютне значення помилки експерименту 6 % для Rb.d і 8 % для Rc.w. від середніх:

sЕ{ Rb.d } = 0.06 · 8= 0.48 МПа,

sЕ{ Rс.w } = 0.08 · 60= 4,8 МПа.

Визначення залишкової дисперсії при числі степенів волі fзал.= 15 – 2 = 13.

Sзал.2 = (2.26)

Статистичні характеристики неадекватності моделі. Так, як в даному експерименті не має рядків плану, які повторюються, тому статистичні характеристики неадекватності моделі співпадають з залишковими величинами, тобто:

SSна = SSзал.; fна = fзал.; sна2 = (2.27)

При числі степенів волі f = 15 – 2 = 13 сума SS дає значення залишкової дисперсії

sзал.2 =

Статистичні характеристики неадекватності моделі:

SSна = 631,798; fна = 13; sна2 = 48,6

2.1.9. Перевірка гіпотези про адекватність моделі при риску α = 0.05 Перевірка адекватності зводиться до перевірки нуль гіпотези по F- критерію Фішера

(2.28)

Якщо значення Fа, при α = 0.05 та числі степенів волі в чисельнику fна і в знаменнику fЕ, менше критичного значення, тоді приймається гіпотеза адекватності моделі експериментальним даним. Якщо Fа більше критичного значення, тоді модель признається неадекватною та потребує подальшого дослідження з метою уточнення опису поведінки системи.

Рівень F- критерію Фішера



що менше критичного критерію F при числі степенів волі в чисельнику 13 і в знаменнику ∞, які знаходяться між 1.57 и 1.83.

Висновок – кореляційна модель неадекватна експерименту.




следующая страница >>