asyan.org
добавить свой файл
1
Віртуальна школа

5.6 клас

Лекція з математики №2,3

Розв’язування задач на рух
Автори: Сафіна Любов Омельянівна ДЗОШ №110

Куліш Людмила Миколаївна ДЗОШ №111
Предположим, вы неплохо поняли, как решать задачи по математике. Умеете выкачивать всю спрятанную информацию из задачи и записывать её в виде математических выражений с иксом. Но задачки на движение – не идут… Ну не хватает информации, и всё тут! Почему? А вот почему!

Для успешного решения задач на движение нужно кое-что твёрдо держать в голове. А именно – формулу-ключ, в которой связаны путь, время и скорость. В любой задаче дают кучу информации, но эту формулу – никогда! Это должно быть ваше знание! Кстати, эта формула нужна и в компетентностных задачах, и в обыденной жизни.

Чтобы эту формулу-ключ хорошо и осмысленно запомнить, достаточно ответить самому себе на простой вопрос: «Если я еду со скоростью 60 километров в час, какое расстояние я проеду за 2 часа?». Очевидно, умножив 60 на 2, получим 120 километров. Вот вы и запомнили нехитрую формулу скорости, пути, времени:

S - это пройденный путь, или расстояние,

V – скорость движения,

t – время движения.

Всё. Это вся посторонняя информация, которая необходима для решения задач на движение. Всё остальное – в тексте задачи.

Зная эту формулу (для расстояния), вы можете легко вывести из неё формулу для скорости, или времени. Ведь эта формула – тоже уравнение. Стало быть, к ней применимы тождественные преобразования. Если нас интересует не путь, а скорость – поделим обе части формулы на t, получим:

V = S/t

Если интересует время, делим на V:

t = S/V

Під час роботи над задачами на рух можна виділити такі основні поняття, без усвідомлення яких неможливе їх правильне розв'язування.

1. Зустрічний рух:

– швидкість зближення;

– час руху до зустрічі (час зближення), якщо два тіла одночасно (неодночасно) почали рухатися назустріч одне одному з однаковими (неоднаковими) швидкостями.

2. Рух у протилежних напрямках:

– швидкість віддалення;

– час віддалення, якщо два тіла почали одночасно (неодночасно) рухатися з одного пункту у протилежних напрямках з однаковими (різними) швидкостями.

3. Рух в одному напрямі:

– швидкість зближення (віддалення);

– час зближення (віддалення).

4. Рух за течією чи проти течії:

– власна швидкість катера (моторного човна, тощо);

– швидкість катера за течією;

– швидкість катера проти течії;

– швидкість зближення і час зближення, коли катер наздоганяє пліт;

– швидкість зближення і час зближення, коли катер рухається назустріч плоту;

– швидкість віддалення і час віддалення, коли катер і пліт рухаються з одного пункту у протилежних напрямках.

5. Середня швидкість руху:

– середня арифметична величина;

– середня швидкість як середня арифметична величина

Рух у зустрічному напрямку.

Задача1. Відстань між пунктами А і В 18 км. З пункту А у напрямку до пункту В вийшов турист, а другий турист одночасно вийшов йому назустріч з пункту В. Через який час зустрінуться туристи, якщо їхні швидкості однакові і дорівнюють 3 км/год?

Графічна ілюстрація буде опорою під час аналізу задачі. Прапорець позначає місце зустрічі.

? год



Розв'язання:

1) 3 + 3 = 6 (км/год) – швидкість зближення туристів;

  1. 18: 6 = 3 (год) – час, через який зустрінуться туристи.

Відповідь. Через 3 год.

Задача . Відстань між пунктами А та В складає 24 км. З пункту А до пункту В вийшов турист зі швидкістю 3 км/год, а з пункту В назустріч йому через 1 год вийшов другий турист зі швидкістю 4 км/год. Через який час після виходу другого туриста відбулася їхня зустріч?

Графічна ілюстрація змісту задачі.

? год



Розв'язання:

1) 3 • 1 = 3 (км) – пройшов перший турист до виходу другого;

2) 24 – 3 = 21 (км) – залишилось пройти обом до зустрічі;

3) 3 + 4 = 7 (км/год) – швидкість зближення;

  1. 21: 7 = 3 (год) – час, через який після виходу другого туриста відбудеться зустріч.

Відповідь. Через 3 год.

Рух у протилежних напрямках.

Задач : Два пішоходи рухаються у протилежних напрямках. Швидкість одного – 5 км/год, а другого – 4 км/год. На скільки кілометрів вони віддаляються один від одного за 1 год; за 2 год; за 3 год?

Графічна схема до цієї задачі:



Розв'язання:

1) 5 + 4 = 9 (км) – пройшли пішоходи за 1 год (швидкість віддалення);

2) 9 • 2 = 18 (км) – пройшли пішоходи за 2 год;

3) 9 • 3 = 27 (км) – пройшли пішоходи за 3 год.

Відповідь. На 9 км; на 18 км; на 27 км.

Задача З пункту М вирушив пішохід зі швидкістю 5 км/год. Через 4 год з цього ж самого пункту у протилежному напрямку виїхав вершник зі швидкістю 11 км/год. Через скільки годин після виїзду вершника відстань між ним і пішоходом становитиме 68 км?

Графічна схема до цієї задачі:


Розв'язання:

1) 5 • 4 = 20 (км) – пройшов пішохід, доки виїхав вершник;

2) 68 – 20 = 48 (км) – пройшли разом пішохід і вершник після виїзду вершника;

3) 5 + 11 = 16 (км) – пройшли разом пішохід і вершник за 1 год (швидкість віддалення);

4) 48: 16 = 3 (год) – через стільки годин після виїзду вершника відстань між ним і пішоходом становитиме 68 км.

Відповідь. Через 3 год.

Задача . Два літаки одночасно вилетіли з аеродрому в протилежних напрямках. Через півгодини після вильоту відстань між ними була 720 км. Перший літак летів зі швидкістю 15 км/хв. З якою швидкістю летів другий літак? Графічна схема до цієї задачі:



Розв'язання:

1) 15 • 30 = 450 (км) – пролетів перший літак;

2) 720 – 450 = 270 (км) – пролетів другий літак;

3) 270: 30=9 (км/хв) – швидкість другого літака.

Відповідь. 9 км/хв.

Рух в одному напрямку.


1) 12 • 20 = 240 (км) – пролетів літак за 20 хв;

2) 2 • 20 = 40 (км) – пролетів вертоліт за 20 хв;

3) 400 + 40 = 440 (км) – пролетів усього вертоліт;

4) 440 – 240 = 200 (км) – буде відстань між ними через 20 хв.

II спосіб.

1) 12 • 20 = 240 (км) – пролетів літак за 20 хв;

2) 400 – 240 = 160 (км) – не долетів літак до місця, в якому перебував вертоліт у початковий момент;

3) 2 • 20 = 40 (км) – пролетів вертоліт за 20 хв;

4) 160 + 40 = 200 (км) – буде відстань між ними через 20 хв.

Рух за течією і проти течії.

Задача . Від пристані А одночасно вирушили вниз за течією катер і пліт. Яка відстань буде між ними через 6 год, якщо швидкість катера у стоячій воді на 12 км/год більша за швидкість течії, а швидкість течії 2 км/год?



Розв'язання: 1 спосіб:

1) 12 + 2 = 14 (км/год) – швидкість катера у стоячій воді;

2) 14 + 2 = 16 (км/год) – швидкість катера за течією;

3) 16 • 6 = 96 (км) – проплив катер за 6 год;

4) 2 • 6 = 12 (км) – проплив пліт за 6 год;

5) 96 – 12 = 84 (км) – відстань між ними через 6 год.

Відповідь. 12 км.

2 спосіб:

1) 12 + 2 = 14 (км/год) – швидкість катера у стоячій воді;

2) 14 + 2 = 16 (км/год) – швидкість катера за течією;

3) 16 – 2 = 14 (км/год) – на стільки більша швидкість катера за течією, ніж плота (швидкість віддалення);

4) 14 • 6 = 84 (км) – відстань між катером і плотом через 6 год.

Відповідь. 84 км.

Задача . Від пристані А спускається вниз за течією пліт зі швидкістю 2 км/год, а через 7 год від пристані А у тому ж напрямку відправляється катер, який наздоганяє пліт через 1 год. Яка швидкість катера у стоячій воді?

Графічна ілюстрація змісту задачі:



Прапорець позначає місце, де катер наздогнав пліт.

Розв'язання:

1) 7 + 1 = 8 (год) – плив пліт, доки його не наздогнав катер;

2) 2 • 8 = 16 (км) – проплив пліт за 8 год, а катер – за 1 год;

3) 16 – 2 = 14 (км/год) – власна швидкість катера (швидкість зближення катера і плота).

Відповідь. 14 км/год.

Задачі на знаходження середньої швидкості.

Поняття «середнє арифметичне кількох чисел» у підручнику вводиться індуктивно. Спочатку учням пропонуються задачі на знаходження середньої швидкості руху автомобіля. Вважається, що пояснення до розв'язання цих задач повинен дати вчитель. Далі розглядається розв'язання такої задачі.

Задача Велосипедист одну годину їхав зі швидкістю 15 км/год, дві години – зі швидкістю 13 км/год і ще одну годину – зі швидкістю 11 км/год. З якою середньою швидкістю їхав велосипедист?

Розв'язання:

1) Скільки всього годин їхав велосипедист?

1 + 2+1 = 4 (год)

2) Скільки всього кілометрів проїхав велосипедист?

15 + 13 • 2 + 11 = 52 (км)

3) Яка середня швидкість руху велосипедиста?

52: 4 = 13 (км/год)

Розв'язання за допомогою числового виразу:

(15 + 13 • 2 + 11): (1 + 2 + 1) = 13 (км/год)

Пропонуємо розв'язати самостійно.

Задачі про зустрічний рух.

1. Відстань між двома містами 250 км. З цих міст назустріч один одному одночасно виїхали 2 автобуси. Яка відстань буде між автобусами, коли перший з них проїде 127 км, а другий – 93 км?

Складіть графічну схему умови задачі.

2. З пристані «Київ» до пристані «Кременчук» вирушив теплохід і одночасно йому назустріч з пристані «Кременчук» вирушив катер. Теплохід йшов зі швидкістю 30 км/год, а катер – 24 км/год. Через 5 год вони зустрілися. Яка відстань між пристанями?

Складіть графічну схему умови задачі і розв'яжіть її за діями двома способами.

- про рух у протилежних напрямах

1. З пункту А одночасно в протилежних напрямах виїхали колісний і гусеничний трактори. Швидкість колісного трактора 30 км/год, а гусеничного – 10 км/год. На скільки віддаляються трактори один від одного за 1 год? Через скільки годин відстань між тракторами буде 120 км?

Складіть: графічну схему умови задачі; задачу, обернену до даної, щоб невідомою була швидкість одного з тракторів.

2. Складіть задачі, аналогічні до попередньої, за виразами:

1) (120 – 30 • 3): 3; 2) (120: 3 – 10) • 3.

-про рух в одному напрямку

1. По шосе зі швидкістю 14 км/год їде велосипедист, а вслід йому зі швидкістю 50 км/год їде мотоцикліст. Через який час мотоцикліст наздожене велосипедиста, якщо відстань між ними 108 км? Яку відстань за цей час проїде мотоцикліст? На скільки більше кілометрів за цей час проїде мотоцикліст, ніж велосипедист?

Складіть: графічну схему умови задачі; дві задачі, обернені до даної.

2. Електропоїзд вийшов зі станції зі швидкістю 60 км/год. Через 2 год з тієї ж станції в тому самому напрямку вийшов другий електропоїзд. З якою швидкістю він має йти, щоб наздогнати перший електропоїзд за 6 год?

Складіть: графічну схему умови задачі; задачу, обернену до даної. Розв'яжіть за діями і склавши числовий вираз.

-про рух за течією чи проти течії ми пропонували таку добірку задач.

1. Теплохід їде річкою проти течії. За кожну годину він долає 16 км. Яка швидкість течії річки і яка власна швидкість руху теплохода, якщо за течією теплохід рухається зі швидкістю 20 км/год?

Для відповіді на перше запитання використайте рівняння.

2. Відомо, що швидкість теплохода за течією річки на 6 км/год більша, ніж швидкість його проти течії. Яку відстань пройде теплохід за течією за 3 год, якщо його власна швидкість у 6 разів більша, ніж швидкість течії?

Розв'яжіть за діями.

-поняття середньої швид-кості руху

1. Велосипедист перші 6 год їхав зі швидкістю 14 км/год, а останні 6 год – 10 км/год. Яка середня швидкість руху велосипедиста?

2. Велосипедист першу половину шляху проїхав зі швидкістю 15 км/год, а другу – 10 км/год. Яка середня швидкість руху велосипедиста, якщо довжина шляху складає 300 км?
Додаткова література

1.Возрастные возможности усвоения знаний / Под. ред. Д.Б. Эльконина, В.В. Давыдова. – М.: Педагогика, 1966. – 232 с.

2.Глушков И.К. Дифференцированная работа над задачами // Нач. школа. – 1985. – №2. – С. 34–35.

3.Истомина Н.Б., Шикова В.Н. Формирование умений решать задачи различными способами // Нач. школа. – 1985. – №9. – С. 50–54.

4.Король Я.А. Формування практичних умінь і навичок на уроках математики. – Тернопіль: Навч. книга – Богдан, 2000. – 136 с.

5Король Я.А., Чайка Н.М. Вдосконалення методики роботи над задачами геометричного змісту // Поч. школа. – 1995. – №10–11. – С. 19–22.

6.Московченко В., Дудко Л. Розв’язування математичних задач на рух // Початкова школа. – 2000. – №11. – С. 25–27.

7.Московченко В., Дудко Л. Розв’язування математичних задач на рух // Початкова школа. – 2000.