asyan.org
добавить свой файл
1
Задача 1: Дані координати вершин тетраедра . Знайти 1) довжину ребра ; 2) кут між ребрами і ; 3) площу грані ; 4) об’єм тетраедра; 5) рівняння медіани трикутника ; 6) рівняння грані ; 7) рівняння висоти тетраедра , опущеної з вершини на грань ; 8) довжину висоти (двома способами).

, , ,

Розв’язання:

1. Знайдемо координати вектора :

. Довжина вектора і є шукана довжина ребра . .

2) Кут між ребрами і - це кут між векторами і .

, . Знайдемо косинус кута між векторами і : .

3. Для знаходження площі грані, використаємо векторний добуток. Площа грані дорівнює половині модуля векторного добутку векторів і : .

.



(кв. од).

4. Об’єм тетраедра знаходимо через модуль мішаного добутку:

, .

.

(куб. од)

5. Для знаходження рівняння медіани необхідно знайти координати точки М. Ці координати є середнє арифметичне координат точок та .

; ; .

Отже, . Пряма, що проходить через дві точки та , має вигляд: . Підставляючи в останнє рівняння координати точок та , отримаємо шукані канонічні рівняння медіани трикутника : .

6. Запишемо рівняння площини, що проходить через точки , ,



Підставивши замість точок , , відповідно координати точок , , , отримаємо - шукане рівняння грані .

7. Оскільки рівняння площини є , то вектор нормалі до цієї площини . Цей вектор є направляючим вектором прямої, перпендикулярної до площини . Тоді рівняння висоти, опущеної з точки на грань , буде мати вид: .

8. 1-й спосіб: об’єм тетраедра .

(куб. од) – знайдено раніше.

.

Звідси .

2-й спосіб: довжина висоти дорівнює відстані від точки до площини, що проходить через точки , , . Формула відстані від даної точки до площини Ax+By+Cz+D=0 має вид .

Таким чином, .

Відповідь: (лін. од); ; (кв. од); (куб. од); : ; ; ; .