asyan.org
добавить свой файл
1
Розділ VІ. Стереометрія

Рівняння і нерівності

Завдання VІ.01 – VІ.?? мають по п'ять варіантів відповідей, із яких тільки одна правильна. Правильно виконане завдання оцінюється 1 балом.



Визначте на рисунку лінійний кут двогранного кута з ребром BC, якщо у трикутнику ABC і PA



Двогранний кут дорівнює 45˚. Задано точку на одній із граней кута. Відстань від цієї точки до другої грані кута 12 см. Знайдіть відстань від заданої точки до ребра двогранного кута.

Діагональ куба дорівнює 6 см. Знайдіть площу повної поверхні куба.


А 72 см²

Б 66 см²

В 60 см²

Г 54 см²

Д 48 см²


Обчисліть довжину меншої діагоналі прямої призми, в основі якої ромб із стороною 6 м

та гострим кутом 60°. Висота призми 8 м.

В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною 5см та основами 4 і 10 см. Бічне ребро призми – 10 см. Обчисліть площу повної поверхні призми.


А 296 см2

Б 268 см2

В 256 см2

Г 240 см2

Д 184 см2


Осьовим перерізом циліндра є квадрат, сторона якого дорівнює 10 см. Знайдіть об’єм циліндра.


А 100π см3

Б 250π см3

В 80π см3

Г 150π см3

Д 200π см3


Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням куба навколо свого ребра, довжина якого а. (Т-06, 31)


Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням круга навколо свого діаметра, довжина якого дорівнює а см. (Т-07, 27)


А

Б

В

Г

Д












У прямокутника відношення сторін дорівнює a:b, . Його спочатку обертають навколо більшої сторони, а потім навколо меншої. Знайдіть відношення об’єму першого утвореного тіла до об’єму другого.


А

Б

В

Г

Д









Відповідь не залежить від a і b


Циліндр вписано в куб. Відомо, що об’єм куба дорівнює 40 см3. Обчисліть об’єм циліндра.

Радіус основи конуса дорівнює 3 см. Об’єм конуса – см3. Знайдіть твірну конуса.


А см

Б см

В 3 см

Г

Д інша відповідь


Діаметр одного кавуна вдвічі більший від діаметра другого. У скільки разів перший

кавун важчий за другий?

Задано точку А(1; 2; 3).Укажіть координати точки, симетричної точці А відносно площини .


А

Б

В

Г

Д

(1; 2; 3)

(1; 2; 3)

(1; 2; 3)

(1;  2; 3)

Інша відповідь


Дано точку P(–1;3;5). Знайдіть координати точки Q, симетричної точці P відносно координатної площини yz.



A

Б

В

В

Д

(1;3;5)

(–1; –3;5)

(–1;3; –5)

(1;–3;–5)

(1;-3;5)


У просторі задані точки А(2; 3; − 5) і М(1; – 1; 2). Знайдіть координати точки С, яка симетрична точці А відносно точки М.

Точка Р симетрична точці відносно координатної площини Знайдіть координати токи Р.


А

Б

В

Г

Д

( 2;–3; 4)

( – 2; 3; 4)

( – 2; 3;–4)

( – 2;– 3;–4)

( 2;–3;–4)


Знайдіть координати точки, яка симетрична точці A(1; 2; 3) відносно координатної площини xz.

Ортогональною проекцією відрізка з кінцями у точках А(−1; 0; 5) і В(−1; 0; 8) на координатну площину xy є (Т-06, 24)


А

Б

В

Г

Д

пряма

промінь

відрізок

точка

фігура, що відрізняється

від перелічених


Знайдіть координати точки М, відносно якої симетричні точки і . (Т-07, 39)


А

Б

В

Г

Д









інша відповідь


На осі абсцис знайдіть точку М, відстань від якої до точки А(3; –3;0) дорівнює 5.


А

Б

В

Г

Д

( –1; 0; 0 )

( –1; 7; 0 )

( 7; 0; 0 )

( –1; 0; 0 )

( –7; 0; 0 ),(1;0;0)


^ В завданнях VІ.?? –VІ.?? правильна відповідь оцінюється 2 балами.
Через вершину А гострого кута прямокутного трикутника ВАС до площини трикутника

проведено перпендикуляр АМ довжиною 13 см. Відомо, що , см. Знайдіть відстань від точки М до прямої ВС, у см.
Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, а бічна грань нахилена до площини основи під кутом 60°. Знайдіть площу повної поверхні піраміди, в см2.
Площі граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 20 см2, 24 см2 і 30 см2. Знайдіть об’єм паралелепіпеда, у см3.
Прямокутний паралелепіпед з довжиною ребер 5 см, 7 см і 9 см складено з кубиків з довжиною ребра 1 см. Скільки доведеться забрати кубиків, щоб вилучити весь зовнішній шар товщиною в один кубик?
Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, а бічна грань нахилена до площини основи під кутом 60º . Знайдіть площу повної поверхні піраміди, у см2
Обчисліть об’єм многогранника (у см3), усі вершини якого лежать у центрах граней прямокутного паралелепіпеда з вимірами 3 см, 4 см, 5 см.
В основі піраміди лежить трикутник зі сторонами 5, 6 та 8 см, а всі бічні ребра пірамі-ди нахилені до площини основи під кутом 45˚. Обчисліть об’єм піраміди, у см3.




Основою чотирикутної піраміди PABCD є квадрат ABCD. Ребро BP перпендикулярне до площини основи піраміди. Точка К — середина ребра PC. Площина BKD утворює з пло-щиною основи піраміди кут а. Знайдіть площу трикутника BKD, якщо довжина ребра BP дорівнює h.
Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см. Апофема утворює з площиною основи кут 60º. Обчисліть площу бічної поверхні піраміди (у см2).(Т-06, 12)
Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори із розрахунку: три одиниці на 50м3. Яку кількість одиниць радіаторів треба замовити, якщо новий будинок має форму прямокутного паралелепіпеда розміру 15м×18м×25м? (Т-07, 23)
Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2см і нахилена під кутом до площини основи. Знайдіть об’єм піраміди. (Т-07, 23)

Основою чотирикутної піраміди є квадрат. Ребро перпендикулярне до площини основи піраміди. Точка К – середина ребра . Площина утворює з площиною основи піраміди кут . Знайдіть площу трикутника, якщо довжина ребрадорівнює .




Основою чотирикутної піраміди PABCD є квадрат ABCD. Ребро BP перпендикулярне до площини основи піраміди. Точка К − середина ребра PC. Площина BKD утворює з площиною основи піраміди кут . Знайдіть площу трикутника BKD, якщо довжина ребра BP дорівнює .



Об’єм правильної чотирикутної піраміди SABCD дорівнює 60 м3. Точка К – середина ребра SC. Обчисліть об’єм піраміди KBCD, у м3.

Основою піраміди є квадрат . Грань правильний трикутник, площина якого перпендикулярна площині основи. Знайдіть кут нахилу грані до основи
14. Укажіть номер фужера, у який можна налити найбільше рідини.(Т-06, 46)

1

2

3




Через вершину конуса з радіусом основи 4 см проведено площину, що перетинає його основу по хорді, яку видно з центра основи конуса під кутом 120°, а з вершини конуса - під кутом 90°. Обчисліть площу перерізу, у см2.
Діагоналі ромба дорівнюють 6 і 8. Куля, яка має радіус дотикається до всіх йогосторін. Знайдіть відстань від центра кулі до площини ромба.
Бічна поверхня циліндра у розгортці є прямокутником. Діагональ прямокутника дорівнює і утворює з основою прямокутника кут 30º. Обчисліть об’єм циліндра. Відповідь округліть до сотих.
На рисунку зображено ємність, у яку налито одну склянку рідини. Обчисліть, на яку кількість повних склянок рідини розрахована ця ємність.

Розв’язання завдань V.?? – V.?? повинне мати обґрунтування. Запишіть послідовні логічні дії та пояснення, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдань схемами, графіками, таблицями.

В основі піраміди лежить рівносторонній трикутник зі стороною a . Одна з бічних граней перпендикулярна до площини основи і є також рівностороннім трикутником.

Навколо піраміди описана куля. Знайдіть:

а) довжину висоти піраміди, обґрунтувавши положення висоти піраміди;

б) радіус описаної навколо піраміди кулі.
В основі піраміди лежить рівносторонній трикутник зі стороною . Одна з бічних граней перпендикулярна до площини основи і є також правильним трикутником. Навколо піраміди описана куля. Знайдіть:

а) довжину висоти піраміди,обґрунтувавши положення висоти піраміди;

б) радіус описаної навколо піраміди кулі.
У правильній трикутній піраміді SABC кут між бічним ребром і площиною основи дорівнює β, а сторона основи дорівнює а, SH – висота піраміди.

а) побудуйте переріз піраміди площиною, що проходить через точку H паралельно ребрам SA і BC;

б) з’ясуйте, якою фігурою є переріз піраміди (відповідь обґрунтуйте);

в) знайдіть площу перерізу піраміди.
Правильну піраміду ( – вершина) перетинає площина, паралельна ребрам і Відомо, що .

  1. Доведіть, що перерізом піраміди є прямокутник.

  2. Знайдіть площу перерізу, якщо січна площина проходить через центр основи піраміди.

  3. В якому відношенні січна площина повинна ділити ребро , щоб площа перерізу була найбільшою?


У правильній трикутній піраміді SABC кут між бічним ребром і площиною основи дорівнює ,
сторона основи дорівнює , SH – висота піраміди.

  1. Побудуйте на наведеному рисунку переріз
    піраміди площиною, що проходить через точку H паралельно ребрам SA і BC.

  2. З’ясуйте, якою фігурою є переріз піраміди (відповідь обґрунтуйте).

  3. Знайдіть площу перерізу піраміди.



Із середини висоти правильної трикутної піраміди опущено перпендикуляри на бічне ребро піраміди і на бічну грань. Довжини цих перпендикулярів відповідно дорівнюють та 1

1. Доведіть, що основа перпендикуляра, проведеного із середини висоти піраміди

на бічну грань, лежить на апофемі.

2. Знайдіть об’єм піраміди.
У правильній чотирикутній піраміді SABCD (S – вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника SDC, проведеною з вершини D, та середньою лінією трикутника ASC, що паралельна основі піраміди. (Т-07, 4, 4 бали)
Правильну трикутну піраміду (точка D – вешина піраміди) перетинає площина, паралельна ребрам AD і BC. Відомо, що AB = a, AD = l.

1. Доведіть, що перерізом піраміди є прямокутник.

2. Знайдіть площу перерізу, якщо січна площина проходить через центр основи піраміди.

3. У якому відношенні січна площина повинна ділити ребро AB, щоб площина перерізу була найбільшою?
Основою прямого паралелепіпеда є квадрат зі стороною 3 см. Бічне ребро дорівнює 4 см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину А перпендикулярно до прямої (у см2). (Т-06, 2, 4 бали)