asyan.org
добавить свой файл
1

2011 рік

Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків




6 клас


1. Автобусні квитки мають номери від до. Квиток вважається "щасливим", якщо сума цифр його номера ділиться на . Чи можуть два квитки підряд бути щасливими? Відповідь обґрунтуйте.


2. У столяра є шахова дошка розмірами 77 клітинок з дорогоцінного червоного дерева. Він хоче, не втрачаючи матеріалу і здійснюючи розрізи лише по краях клітинок, розпиляти дошку на шість частин так, щоб з них зробити три нових квадрати, але всі різних розмірів. Як це зробити? Чи можна розв’язати цю задачу, якщо кількість частин дорівнює п’ять, а загальна довжина розрізів – 17?


3. Приходячи в тир, гравець вносить у касу 100 гривень. Після кожного вдалого вистрілу кількість його грошей збільшується на 10%, а після кожного промаху – зменшується на 10%. Чи може після декількох вистрілів у нього виявитися 80 гривень 19 копійок? Розв’яжіть задачу, подавши детальні обґрунтування.




4. Є 10 камінців різної маси і шалькові терези без важків. Чи можна рівно за 13 зважувань знайти найважчий камінець і найлегший? Подайте детальне пояснення.


5. У лівому нижньому куті шахової дошки стоїть король. Двоє по черзі пересувають його по цій дошці, кожного разу на одне поле: або вгору по вертикалі, або вправо по горизонталі, або вправо-вгору по діагоналі. Переможцем буде той, хто поставить короля на праве верхнє поле. Хто переможе при правильній грі: той, хто ходить першим, чи його суперник? Як потрібно грати, щоб виграти?


На виконання роботи відводиться 4 год.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Користуватися калькулятором не дозволяється.

2011 рік
^

Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків




7 клас

1. Знайти найменше натуральне число , яке має такі властивості:

а) його запис у десятковій системі закінчується цифрою ;

б) якщо закреслити останню цифру і перед рештою цифр написати цю

цифру , то одержимо число, в рази більше, ніж дане.

^ Відповідь обґрунтуйте.


2. Яке найбільше число точок самоперетину може мати замкнена ламана лінія, що складається з семи ланок? ( Точками самоперетину ламаної вважають точки перетину її ланок.) Відповідь обґрунтуйте. Для підтвердження правильності відповіді наведіть приклад.


3. Вся сім’я випила по повній філіжанці кави з молоком, причому

Оля випила чверть усього молока і шосту частину всієї кави.

Скільки осіб у сім’ї? ^ Розв’яжіть задачу, подавши детальні обґрунтування.


4. Є 20 камінців різної маси і шалькові терези без важків. Чи можна рівно за 28 зважувань знайти найважчий камінець і найлегший? Подайте детальне пояснення.


5. У верхньому ряду шахової дошки на шостому полі, рахуючи від першого (кутового) поля зліва направо, стоїть ферзь. Двоє по черзі пересувають його по цій дошці, кожного разу на декілька клітинок: або вниз по вертикалі, або вліво по горизонталі, або вліво-вниз по діагоналі. Програє той, кому нікуди ходити. Переможцем буде той, хто зажене ферзя у лівий нижній кут. Хто переможе при правильній грі: той, хто ходить першим чи його суперник? Як потрібно грати, щоб виграти? А хто виграє при умові, що ферзь спочатку стояв у верхньому ряду шахової дошки на п’ятому полі, рахуючи від першого (кутового) поля зліва направо?


На виконання роботи відводиться 4 год.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Користуватися калькулятором не дозволяється.

2011 рік
^

Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків



8 клас


1. Позначимо через суму всіх цифр натурального числа .

а) Чи існує натуральне число таке, що ?

б) Чи правильне твердження: хоча б одне з будь-яких двох послідовних натуральних чисел завжди можна подати у вигляді для деякого третього натурального числа ? Відповідь обґрунтуйте.


2. Доведіть, що будь-який прямокутник можна розрізати не більше, ніж на 5 попарно різних рівнобедрених трикутників.


3. Знаючи, що , знайти .


4. Є 40 зовні однакових монет, серед яких 3 фальшиві – їх маса однакова і вони легші від справжніх (справжні монети також мають однакову масу). Чи можна за допомогою трьох зважувань на шалькових терезах без важків відібрати 16 справжніх монет? Відповідь обґрунтуйте.


5. Є купа з 2011 камінців. Двоє грають у таку гру. За один хід можна або розділити довільним чином купу на дві (якщо в купі камінців більше, ніж один), або забрати один камінець з будь-якої купи. Переможе той, хто забере останній камінець. Хто виграє при правильній грі: той, хто ходить першим чи його суперник? Відповідь обґрунтуйте


На виконання роботи відводиться 4 год.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Користуватися калькулятором не дозволяється.

2011 рік
^

Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків




9 клас

1. Чи існують два таких послідовних натуральних числа, що сума цифр кожного з них ділиться на ? Знайдіть найменшу пару таких чисел або доведіть, що їх не існує.


2. Чи можна довільний паралелограм розрізати рівно на 9 рівнобедрених трикутників? Відповідь обґрунтуйте. Подайте детальні пояснення.


3. Додатні числа , , такі, що . Доведіть, що

.


4. Є 15 монет, серед яких парне (невідоме нам) число фальшивих. Усі справжні монети мають однакову масу; всі фальшиві також мають однакову масу, але вони легші від справжніх. Чи можна за три зважування на шалькових терезах без важків знайти хоча б одну справжню монету? Відповідь обґрунтуйте.

5. На столі лежить купка, в якій є n камінців (n>1). Двоє грають у таку гру. За один хід можна або розділити купку на дві довільним чином (якщо в купці камінців більше, ніж один), або забрати один камінець з будь-якої купки. Переможе той, хто забере останній камінець. Хто виграє при правильній грі: той, хто ходить першим чи його суперник? Відповідь обґрунтуйте


На виконання роботи відводиться 4 год.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Користуватися калькулятором не дозволяється.

2011 рік
^

Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків




10 клас

1. Чи існують два таких послідовних натуральних числа, що сума цифр кожного з них ділиться на ? Знайдіть найменшу пару таких чисел або доведіть, що їх не існує. ^ Подайте детальні пояснення.


2. Дано рівносторонній трикутник АВС. Деяка пряма, яка паралельна прямій АС, перетинає прямі АВ і ВС в точках М і Р відповідно. Точка D – центр трикутника РМВ, точка Е – середина відрізка АР. Визначте кути трикутника DЕС.


3. Додатні числа , , такі, що . Доведіть, що

.

4. Якщо виписати всі цифри від до у порядку зростання і скласти послідовність сум двох сусідніх цифр (1, 3, 5, … , 17), то одержиться арифметична прогресія з різницею . Розмістіть цифри 0, 1, 2, … , 9 у такому порядку, щоб нова послідовність сум двох сусідніх цифр була арифметичною прогресією з різницею . Знайдіть усі розв’язки. ^ Подайте детальні пояснення.


5. Нехай дано шахову дошку розмірами n n ( n4 ). У кутку (на кутовому полі) цієї дошки стоїть фігура. Перший гравець може ходити нею два рази підряд як звичайним конем на два поля в одному напрямі, на одне – в перпендикулярному), а другий гравець – один раз як конем з подовженим ходом (на три поля в одному напрямі і на одне – в перпендикулярному). Так вони ходять по черзі. Перший прагне до того, щоб поставити фігуру в протилежний кут, а другий – йому перешкоджає. Хто з них виграє при правильній грі: той, хто ходить першим чи його суперник? Відповідь обґрунтуйте.


На виконання роботи відводиться 4 год.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Користуватися калькулятором не дозволяється/
^

2011 рік

Другий етап Всеукраїнської олімпіади юних математиків




11 клас

1. Знайдіть усі прості числа p такі, що p- p + 1 є точним кубом.

Відповідь обґрунтуйте.


2. У просторі задано чотири точки, які не лежать в одній площині. Скільки існує різних паралелепіпедів, для яких ці точки є вершинами? Відповідь обґрунтуйте.


3. Додатні числа , , такі, що . Доведіть, що

.


4. Розв’яжіть рівняння

cosx - sinx =1,

де – довільне натуральне число.


5. Нехай дано шахову дошку розмірами n m (n > 1, m > 1). З білого кутового поля цієї дошки починає рухатися слон. Дійшовши до краю дошки, слон повертається під прямим кутом. Попавши в кут, він зупиняється. При яких n і m слон обійде всі білі поля дошки? Чи обійде він усі білі поля дошки розмірами ? (Слон може рухатися по діагоналі на будь-яку кількість клітинок). Відповідь обґрунтуйте. Подайте детальні пояснення.


На виконання роботи відводиться 4 год.

Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Користуватися калькулятором не дозволяється.