asyan.org
добавить свой файл
1

УДК 631.67
Ковальчук П.І., д.т.н., професор (Національний університет водного

господарства та природокористування, м. Рівне), Матяш Т.В., н.с.,

Пендак Н.В., к.т.н., (Інститут гідротехніки і меліорації УААН, м. Київ)
метод і Модель Двохкритеріальної оптимізації

ресурсів при програмуванні урожайності

сільськогосподарських культур
Запропоновано метод двохкритеріальної оптимізації на основі функції валової продукції та функції ресурсів, що забезпечує оптимальне співвідношення величини добрив і води.
Optimization method, based on function of gross output and resource funcion was proposed. Method supplied with optimum relationship fertilizes value and water source.
^ Постановка задачі. Програмування врожаїв – це динамічна система заходів, що передбачає прийняття управлінських рішень і розробку способів цілеспрямованого впливу на посіви для одержання розрахованих урожаїв. При програмуванні урожайності сільськогосподарських культур важливе значення має розробка методу багатокритеріальної оптимізації економічних функцій розподілу ресурсів, що базуються на адекватних залежностях „урожайність – комплекс факторів” [1,3], за якими розраховують урожайність при певній величині добрив, води, рівня агротехніки, тощо [2,4].

При програмуванні урожайності необхідно враховувати адекватну виробничу функцію залежності врожаю від різних факторів. При цьому необхідно оптимізувати і іншу функцію - функцію вартості ресурсів, які при цьому витрачаються. Тому в даній роботі ставиться задача двохкритеріальної оптимізації рівнів „вода-добрива” з такого розрахунку, щоб одержувати урожайність при мінімізації вартості ресурсів [3].

^ Побудова математичної моделі залежностей урожайності від комплексу факторів. Основоположним принципом при програмуванні врожаю являється програмування факторів життєдіяльності рослин в відповідності з вимогами законів землеробства. Так, згідно закону взаємодії факторів доведено, що найбільша ефективність фактора досягається тільки при повній забезпеченості рослин всіма іншими факторами [3]. Суть закону рівнозначності і незамінності факторів життєдіяльності рослин полягає в тому, що при недостатньому рівні забезпечення рослин з будь яким з цих факторів неможливо одержати високі врожаї. Жоден з факторів не може бути замінений іншим. Закон обмежувального фактора, або закон мінімуму, або оптимуму означає, що фактором, який лімітує врожай, є той, що в даний час перебуває в мінімумі. Якщо змінюється доза тільки одного фактора, то після досягнення певного рівня кожна додаткова його доза дає все менше приросту врожаю. Це явище прийнято називати законом дії фактору, або законом Мітчерліха [5]. Проте наступне його суттєве збільшення, як і нестача, вже пригнічує ріст рослин. Згідно з цим законом, найвищий врожай можливий тільки за умови, коли всі фактори підтримуються на оптимальному рівні. Зміна впливу на рослину одного фактора призводить до порушення умов використання інших факторів. Тому землеробство ґрунтується на законі сукупного, а не ізольованого впливу факторів життя рослин.

В посушливій зоні при зрошенні в першому мінімумі знаходиться вода, але при забезпеченості рослин водою знаходиться другий мінімум – нестача поживних речовин ґрунту.

Таким чином, при певній величині води на зрошення необхідно внести певну величину добрив, що визначає оптимальний урожай, враховуючи вартість різних факторів.

Нехай для виробництва певного продукту витрачається два ресурси U1 і K2, це так звані фактори виробництва, наприклад вода та добрива при вирощуванні сільськогосподарської продукції.

Процес формування врожаю має надзвичайно складний характер через значну кількість взаємопов’язаних факторів. Загальна модель залежності „урожайність – комплекс факторів” представлена у вигляді добутку потенційно можливого її значення та функцій впливу на неї визначальних факторів:

(1)

де y, ymax – відповідно програмована та потенційно можлива максимальна врожайність сільськогосподарської культури, ц/га; fi(Ki) – функція зниження урожайності від нестачі Ki–го фактора (води К1(U,) і добрив К2., - стохастична складова - опади).

Виробничі функції для оптимізації ресурсів

Загальна виробнича функція урожайності від двох факторів (зрошувальної норми та дози добрив) має вигляд:

(2)

З виробництвом даного продукту (урожайності певної культури) пов’язані певні витрати ^ С, які залежать від витрат двох факторів (води U1 та добрив K2,Р1 , Р2 - відповідно ціни цих факторів).

Сукупні витрати при наявності факторів виробництва виражаються наступними формулами:

(3)

При цьому будемо припускати, що виконуються граничні умови:

U ³ 0, K2 ³ 0. (4)

В системній постановці дану задачу оптимізації слід сформулювати так: оптимізувати взаємодію двох факторів U1 і K2 з ціллю одержання максимального ефекту при мінімальній витраті ресурсів. Для цього необхідно співставити варіанти „ефективність-витрати” економічної підсистеми, вибрати з них найбільш економічно доцільні варіанти, що характерні для умов ефективного використання ресурсів.

Як бачимо, з ростом ресурсів U1 або K2 виробнича функція F1(U1, K2) зростає (що є бажаним), досягаючи максимального значення в точці (U1max, K2max).

При цьому монотонно зростають також витрати ресурсів F2(U1, K2) (необхідно мінімізувати), які в точці (U1max, K2max) також досягають свого максимального значення

. (5)

Віднявши від останньої рівності функцію (5), одержимо:

. (6)

Тоді функція відхилення від максимально можливих витрат ресурсів Сmax (в розрахунку на 1 га)

(7)

є монотонно спадною, яку в процесі системної оптимізації слід уже максимізувати.

^ Метод оптимізації двохкритеріальної задачі. У випадку, коли число критеріїв рівне двом [6,7], задача мінімізації векторного критерія F(x)

(8)

підстановкою зводиться до задачі мінімізації функції

(9)

Тоді множина ефективних по Парето значень Пх визначиться із умови:

, (10)

де

або

(11)

тобто

(12)

Останнє рівняння показує, що множина Пх співпадає з множиною (х1*, х2*) розв’язків рівняння (11), тобто є точками дотику ізоклін. В кожній точці дотику (х1*, х2*) цих кривих (ізоклін) повинна бути спільна дотична. Саме ця вимога і міститься в умовах (11), які можна переписати в вигляді одного векторного співвідношення (рис.1) або

(13)

В лівій частині цього співвідношення стоїть градієнт функції f1 (х), який, як відомо, є нормаллю до лінії рівного рівня функції f1 (х) або направляючий вектор дотичної до цієї лінії; в свою чергу вектор є направляючий вектор іншої ізолінії в точці {х1*, х2*} – прямої Сmax- Р1х1 – Р2х2 = f2 (х) = const.

Таким чином, умови (13) є не що інше, як вимога пропорційності направляючих векторів дотичних (градієнтів) до ліній f1 (х)=const і f2 (х)=const або вимога співпадання цих двох дотичних, що проходять через точку (х1*, х2*).

Рівняння (13) означає також, що в області визначення Пх Парето оптимальних значень один із критеріїв зростає (а саме f1 (х)), а інший – (критерій f2 (х)) спадає вздовж лінії (х1*, х2*), заданої рівнянням (13). Множина Пх - геометричне місце точок, яке в просторі критеріїв має „фізичний зміст” гребеня, що з’єднує дві вершини – точки абсолютних мінімумів f1(х) та f2(х) в області визначення Dx.

Рівняння цієї кривої, де дотикаються ізокліни двох функцій, буде мати вигляд (рис.1.б):

grad f1 = λ grad f2 (14)


f1(x1,x2)=const

f2(x1,x2)=const

Пх


а б

Рис.1. Область Парето оптимальних рішень Пх в області визначення Dx:

а - Пх – область Парето оптимальних рішень, що утворюють точки дотику ізоклін.

б – протилежна направленість градієнтів в точці А
^ Модель двохкритеріальної оптимізації ресурсів при вирощуванні кукурудзи на зерно. Метод дозволяє кожному рівню водних ресурсів встановлювати відповідний оптимальний рівень добрив.

Загальний вигляд функцій валової продукції та ресурсної функції наведено на рис. 2 .


Рис.2. Загальний вигляд функції валової продукції та ресурсної функції

при вирощуванні кукурудзи на зерно
Для вирішення двохкритеріальної задачі знаходимо рівняння кривої, де дотикаються ізокліни двох функцій, яке буде мати вигляд:

grad f1 + λ grad f2 = 0 (15)

Використовуючи останню систему рівнянь, знаходимо:

(16)

де U,  - відповідно фактична і потрібна зрошувальні норми, ξ – опади за період вегетації.

Виключаючи параметр λ з системи (16), одержимо рівняння: (17)
Для прикладу була вибрана залежність урожайності кукурудзи від зрошувальної норми та доз добрив. Підставляючи відповідні значення коефіцієнтів моделі „урожайність – вологозабезпеченість” та „урожайність – рівень добрив” для кукурудзи на зерно в (1), отримаємо наступні рівняння:
, (18)


Ресурсний критерій при вирощуванні кукурудзи на зерно матиме вигляд:

(19)

Розв’язуючи дану систему рівнянь як параметричну для кожного значення величини доз добрив К2, знаходимо відповідне значення водних ресурсів U.


Рис.3. Оптимальне співвідношення доз добрив і води при

вирощуванні кукурудзи на зерно
Необхідно зазначити, що при дефіциті водних ресурсів та добрив не можна задовольнити всі культури, що вирощуються на заданій площі S максимальними (біологічно оптимальними) нормами та максимальними дозами добрив [8,9]. Деякі з них можуть бути политими не біологічно оптимальними нормами W, а економічно доцільними зрошувальними нормами U [1]; при обмежених водних ресурсах зрошувальні норми можуть бути меншими за економічно доцільні. При цьому відповідним чином повинні бути зменшені і величини доз добрив. Таке оптимальне співвідношення добрив і води може бути знайдене на основі оптимізації часткової задачі (окремо по кожній культурі) [10,11].

В результаті вирішення часткової задачі (2) на прикладі кукурудзи на зерно одержується оптимальне співвідношення доз добрив і води (рис. 3). з метою оптимізації чистого прибутку від вирощування сільськогосподарської культури.

Висновки. Таким чином, формалізована задача двохкритеріальної оптимізації виробничої функції (валової продукції) та функції ресурсів дозволяє для кожного рівня ресурсів води знаходити оптимальний рівень ресурсів добрив, тобто оптимізувати процес прийняття рішень при програмуванні врожаю.

Запропонована модель двохкритеріальної оптимізації, що включає критерії чистого прибутку та ресурсний критерій; дозволяє оптимізувати чистий прибуток від зрошення в умовах обмежених ресурсів. При цьому здійснюється найбільш ефективне використання ресурсів, тобто для кожного рівня добрив знаходиться відповідна величина водних ресурсів і навпаки. Розроблений метод та алгоритм оптимізації проілюстровано на конкретному прикладі оптимізації ресурсів при програмуванні врожаю кукурудзи на зерно.
1.Ковальчук П.І, Матяш Т.В. Оптимізація річного планування водокористування в умовах дефіциту ресурсів. // Меліорація і водне господарство, 2006.-Вип 93-94.- с.210-218. 2.Ушкаренко В.А. Программирование урожаев сельскохозяйственных культур на орошаемых землях.- Научные основы программирования урожаев сельскохозяйственных культур.- Научные труды ВАСХНИЛ.- М.: Колос, 1978.- с. 201-208. 3. Ковальчук П.І., Лазер П.Н., Пендак Н.В., Матяш Т.В., Зябрев І.А.. Інтегроване управління водними, земельними та матеріальними ресурсами у зрошуваному землеробстві.// Таврійський науковий вісник: Збірник наукових праць ХДАУ. Вип.52. – Херсон: Айлант.2007.-с.87-92. 4. Філіп’єв І.Д., Михеєв Є.К. Як програмувати врожай.- К.: Урожай, 1990.- 96с. 5. Митчерлих Э.А. Определение потребности почвы в удобрении.- М.-Л.: ОГИЗ сельхозиздат, 1931.- 268с. 6. П.Ковальчук, Т.Матяш. Структура і моделі САПР платного водокористування //Водне господарство України, 2005.-№5.-с.18-22. 7. В.В. Хоменюк. Элементы теории многоцелевой оптимизации. - М.: «Наука».- 1983.-127с. 8. Ромащенко М.І., Балюк С.А. Зрошення земель в Україні. Стан та шляхи поліпшення. – К.:Світ.-2000.-114с. 9. П.І. Коваленко, Ю.О. Михайлов. Раціональне використання води при зрошенні. – Київ: Аграрна наука. - 2000.-154с. 10. Ковальчук П.І, Матяш Т.В., Криницька Т.В.. Багатокритеріальна оптимізація зрошувальних норм в умовах дефіциту ресурсів.// Вісник Національного університету водного господарства та природокористування, 2006.- Вип 3 (35).-с.42-49. 11. Ковальчук П.І., Пендак Н.В., Матяш Т.В., Шевчук С.А.. Нормоване водокористування з використанням ГІС-технологій.// Таврійський науковий вісник: Збірник наукових праць ХДАУ. Вип.52. – Херсон: Айлант.2007.-с.248-256.