asyan.org
добавить свой файл
1


Специальные разделы математики Теория вероятностей

  • Предельные теоремы


В конце 19 века в теории вероятностей возникло направление исследований, которое получило название: предельные теоремы теории вероятностей, начало которого было положено П.Л.Чебышевым, А.А.Марковым, А.М.Ляпуновым. Предельные теоремы теории вероятностей можно разбить на две большие группы.

  • 1. Одна группа теорем составляет "закон больших чисел". Закон больших чисел формулирует условия, при которых совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату почти не зависящему от случая (т.е. практически постоянный результат)

  • 2. Вторая группа теорем связана с выяснением вопроса о распределении сумм большого числа случайных слагаемых. В этих теоремах выясняется, какие законы распределения может иметь сумма случайных величин, если число слагаемых неограниченно увеличивается, и какие условия при этом нужно наложить на сами величины.















Пример 3.

  • Завод изготавливает 80% высоконапорных железобетонных труб первого сорта.

  • Определить вероятность того, что из 100 труб 75 будет первого сорта.

  • Решение.

  • n =100 – велико, р=0,8 –не близко к 0 и к 1.

  • По локальной теореме Муавра –Лапласа:







Принцип практической уверенности

  • В человеческом мировоззрении отсутствует один важный элемент – мы не умеем проводить чёткую грань между тем, что может быть, и тем, чего быть не может. Например, можно ли прожить 500 лет? Нет. Но если можно прожить 150 лет, то почему нельзя прожить на один день больше? А если, можно, то почему нельзя прожить ещё на один день больше? и т.д. Чёткой границы между возможным и невозможным провести нельзя. В подобных ситуациях отчасти помогает понятие практически невозможного события.

  • Обратно. Если вероятность события близка к единице, то можно быть практически уверенным, что в единичном опыте оно произойдёт. Событие, имеющее вероятность близкую к единице, можно назвать в единичном опыте практически достоверным.



Правило 3-х сигм

  • Пусть X имеет биномиальное распределение.

  • Оценим вероятность того, что эта случайная величина отклонится от своего математического ожидания не больше чем на три средних квадратических отклонения.

  • т.е. отклонение имеют вероятность 0,003. Во многих приложениях такой вероятностью можно пренебречь и утверждать, что при единичном наблюдении практически возможными значениями являются значения из указанного интервала. Это утверждение называют "правилом трёх сигм".