asyan.org
добавить свой файл
1

Рекомендації щодо проведення

І етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

Творчою групою вчителів району розроблені завдання для проведення І етапу олімпіади. Завдання для кожного класу містить однакову кількість задач – 5. З них: перше завдання – найлегше, останнє – найважче. Відповідно кількість балів розподіляється таким чином:

За завдання 1 – три бали;

За завдання 2 -4 – п’ять балів;

За завдання 5 – сім балів.

Максимальна кількість балів, яку може отримати учень за правильне виконання всіх завдань, становить 25 балів.

Також для кожного класу розроблений підготовчий варіант, у якому є завдання, які можуть бути використані вчителем як тренувальні вправи для роботи з обдарованими учнями під час проведення індивідуальних та факультативних занять. При розв’язуванні цих завдань вчитель має змогу узагальнити і повторити разом з учнями вже відомі способи, прийоми розв’язування нестандартних задач, ознайомити з новими методами розв’язання.

Рекомендації, яких бажано дотримуватись при проведенні олімпіади:

  • попередня підготовка учнів до олімпіади;

  • проведення олімпіади в приміщенні школи;

  • забезпечення самостійності роботи учнів при виконанні олімпіадних завдань;

  • проведення аналізу робіт учасників за результатами перевірки;

  • стимулювання учнів, які брали участь в олімпіаді (оцінки, подяка, призи тощо).


^ БАЖАЄМО УСПІХІВ КОЖНОМУ ВЧИТЕЛЕВІ І КОЖНОМУ УЧНЮ!

Методист РМК /Шведа В.В./

Завдання для І етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики 2011 р

5 клас



  1. (3 бали ) З допомогою чотирьох цифр 5 склади вираз, значення якого дорівнює 12.

  2. (5 балів ) Із сірників склали фігуру (див рисунок). Забери 3 сірники так, щоб залишилось 7 рівних квадратів.



  1. (5 балів ) Два землекопи викопають 2 метри канави за 2 години. Скільки землекопів за 5 год викопають 5м канави.

  2. (5 балів ) У трьох класах 119 учнів. У другому класі на 4 учні більше, ніж у першому, а в третьому на три більше, ніж у другому. Скільки учнів у кожному класі.

  3. (7 балів ) Якщо до деякого двоцифрового числа приписати справа нуль, то це число збільшиться на 252. Знайти це число.


Підготовчий варіант

5 клас


  1. Між деякими цифрами 1 2 3 4 5 постав знаки дій і дужки так, щоб отримати 1.

  2. Із сірників склали фігуру (див рисунок). Забери 5 сірників так, щоб залишилось 6 рівних квадратів.



  1. 3 курки за 3 дні знесли 3 яйця. Скільки яєць знесуть 12 курей за 12 днів, якщо вони будуть нести таку ж кількість яєць за один і той же проміжок часу?

  2. Учні зібрали 64 кг брухту: міді, цинку та алюмінію. Цинку було на 3 кг більше, ніж міді, а алюмінію – на 4 кг більше, ніж цинку. Скільки кілограмів брухту кожного виду було зібрано?

  3. Якщо у числа, яке закінчується цифрою 9, цю цифру відкинути і до отриманого числа додати число, яке було спочатку, то одержимо 306216. Знайти це число.


Відповіді:

5 клас

  1. Відповідь. (55+5):5 або (5+55):5.

  2. Відповідь.



  1. Відповідь. Два землекопи.

1) Скільки метрів канави викопають 2 землекопи за 1 годину? 2 м : 2 год = 1 м/год

2) Скільки метрів канави викопають 2 землекопи за 5 годин? 1 м/год 5 год = 5 м

  1. Відповідь. І кл – 36 уч, ІІ кл – 40 уч, ІІІ кл – 43 уч,



Відповідь. a = 2; b = 8.


Підготовчий варіант

5 клас


  1. Відповідь. (1+23):4-5=1.

  2. Відповідь.


  1. Одна курка за 3 дні знесе 1 яйце. Отже, 12 курей за 3 дні знесуть 12 яєць. 12 курей за 12 днів знесуть в 12:3=4 (рази) більше, тобто

12 ·4=48 яєць.

Відповідь. 48 яєць.





1) 64 – (3 + (3+4)) = 54 (кг) – було б брухту, якби цинку і алюмінію

було стільки, скільки міді.

2) 54 : 3 = 18 (кг) – міді.

3) 18 + 3 = 21 (кг) – цинку.

4) 21 + 4 = 25 (кг) – алюмінію.

Відповідь. 18 кг – міді, 21 кг – цинку, 25 кг – алюмінію.

  1. a, b, c, d, eможуть бути однаковими

Відповідь. a=2; b = 7; c = 8; d = 3; e = 7.


Завдання для І етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики 2011 р

6 клас

1. (3 бали ) Знайдіть площу городу прямокутної форми, якщо людина обходить його за 5 хв зі швидкістю 20 м/хв. Відомо, що ширина городу 20 м.

2. (5 балів) Розв’яжіть ребус:

3. (5 балів) Доведіть, що будь-яке число, записане трьома однаковими цифрами, ділиться націло на 37.
4. (5 балів) Є аркуш паперу. Його розрізають на 4 частини, потім деякі частини знову розрізають на 4 частини і т.д. Чи можна при цьому дістати 50 частин аркуша?
5. (7 балів) Зараз вік сестри відноситься до віку брата як 4 : 3. Скільки років кожному, якщо 10 років тому сестра була вдвічі старша за брата.

Підготовчий варіант

6 клас

1. Ділянку квадратної форми велосипедист об’їхав за 3 години зі швидкістю 12 км/год. Чому дорівнює площа цієї ділянки?

2. Розв’яжіть ребус:

3. Доведіть, що число вигляду ділиться на 7.
4. Є аркуш паперу. Його розрізають на 7 частин, потім деякі частини знову розрізають на 7 частин і т.д. Чи можна при цьому дістати 127 частин аркуша?
5. Зараз брат старший за сестру в 3 рази. Скільки років кожному, якщо через 8 років вік брата буде відноситись до віку сестри як 5:3?

Відповіді:

6 клас

1. Відповідь. 600 м2.

2. Відповідь.

3. Відповідь.

Оскільки 111 = 37 ∙ 3, то
4. Відповідь. Ні, тому що рівняння не має цілих коренів.
5. Відповідь. 20 років, 15 років.

.Підготовчий варіант

6 клас

1. Відповідь. 81 км2 ;

2. Відповідь.


3. Відповідь.

4. Розв’язання: при розрізанні одного аркуша на 7 частин загальна кількість частин збільшується на 6

21 – ціле число.

Відповідь. Можна.

5. Розв’язання:
Брат ∆ ∆ ∆ O O O O O

Сестра ∆ O O O

Оскільки вікова різниця не змінюється з часом, то

∆ ∆ = O O

∆ = O

Отже, зараз сестрі ∆, а через 8 років буде O O O = ∆ ∆ ∆:

∆ ∆ ∆ – ∆ = 8р.

∆ ∆ = 8 р.

∆ = 4 р – зараз сестрі, а брату р.

Відповідь. 12 років, 4 роки.

Завдання для І етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики 2011 р

7 клас


  1. (3 бали ) Чи існують цілі числа x, y і z, що задовольняють рівнянню

28x +30y+ 31z = 365?


  1. (5 балів ) Вася в інтернеті знайшов книгу відомого письменника. У книзі було 208 аркушів. Прочитавши книгу, Вася вирішив, що вся потрібна йому інформація знаходиться на декількох, а саме 25 листах, які він і скачав з інтернету. Вася, як справжній математик, став шукати закономірність в потрібних сторінках книги і склав всі 50 чисел, якими вони нумерувалися. Чи могло у нього вийти 2010?




  1. (5 балів ) Дано дошку 9 × 9, в кожній клітинці якої стоїть по шашці. За один хід можна зняти будь-яку кількість поспіль шашок в стовпці або в рядку. Програє той, хто не може зробити ходу. Хто виграє при правильній грі і як він повинен грати?



4. (5 балів ) Множене збільшили на 50%, а множник зменшили на 16%. Як змінився добуток?
5. (7 балів ) Знайдіть площу фігури, зображеної на малюнку, якщо площа однієї клітинки дорівнює 1.
Підготовчий варіант

7 клас


  1. В Америці дату 1 липня 2003 року записують так: 7/1/2003, а в інших країнах: 1/7/2003. Якщо не знати, у якому форматі записане число, то скільки дат у році можна витлумачити невірно?




  1. Вася на канікулах збирається з'їздити до Іспанії. Він вирішив прочитати книгу про відомого іспанського архітектора. Він дізнався, що в його творчості багато разів був присутній магічний квадрат 4 × 4 (такий квадрат, сума чисел в кожному рядку і кожному стовпці якого однакова). Вася задумався: А чи можна скласти такий квадрат з перших 16 простих чисел? А ви як думаєте?




  1. Дано дошку 11 × 11, в кожній клітинці якої стоїть по шашці. За один хід можна зняти будь-яку кількість поспіль шашок в стовпці або в рядку. Програє той, хто не може зробити ходу. Хто виграє при правильній грі і як він повинен грати?




  1. Сергій, Боря і Вася збирали гриби. Боря зібрав грибів на 20% більше, ніж Сергій, але на 20% менше, ніж Вася. На скільки відсотків більше зібрав грибів Вася, ніж Сергій?


5. Знайдіть площу фігури, зображеної на малюнку, якщо площа однієї клітинки дорівнює 1.

Відповіді:

7 клас

  1. Вказівка. Якщо не виходить розв’язати це завдання відразу, згадайте календар!

Відповідь. х = 1; у =4; z = 7.

2. Розв’язання. На кожному аркуші книги є дві сторінки - парна і наступна за нею непарна, тому сума номерів сторінок на двох сторонах одного аркуша непарна. Сума 25 непарних чисел теж непарна і не може дорівнювати 2010.

Відповідь. Не може.

3. Розв’язання. Першим ходом перший гравець знімає шашку, що стоїть у центральній клітці, а потім повторює ходи суперника симетрично щодо центру.

4. Розв’язання. Нехай x - множене, y - множник. Збільшивши x на 50%, отримаємо 1,5x. Зменшивши y на 16%, одержали 0,84y. Добуток перетворився в 1,5 x • 0,84 y = 1,26 xy, що становить 126% початкового добутку xy.

Відповідь. Збільшився на 26%.

5. Вказівка. Ідея рішення полягає в тому, щоб розбити намальовані фігури на частини, площі яких легко вирахувати. На малюнках нижче показано, як це можна зробити. Площа прямокутника обчислюється як добуток довжин його сторін. Площа прямокутного трикутника дорівнює половині площі прямокутника, дві з сторін якого є катетами цього трикутника. А площі інших трикутників можна обчислити як різниці площ якихось прямокутних трикутників.

Розглянемо трикутник ABE (див. малюнок). Він складається з чотирьох частин: трикутника, що нас цікавить ABC, двох прямокутних трикутників ACD і BCF і квадрата CDEF. Тому площа трикутника ABE є сумою площ перерахованих фігур: SABE = SABC +SACD +SBCF +SCDEF, звідки знаходимо SABC = SABE - SACD - SBCF - SCDEF

= · 3 · 4 - · 3 · 1 - · 1 · 2 - 1 · 1 = 6 - 1,5 - 1 - 1 = 2,5.

Підготовчий варіант
1. Відповідь. Якщо є число 13, можна догадатися що це день, а не місяць. Тобто заплутатися можна в числах до 12, включаючи й 12. Усього можливих комбінацій 12x12=144. Але щомісяця буде мати одну дату яка в кожному разі буде зрозуміла правильно, наприклад 7/7/2003. У підсумку всього можна витлумачити неправильно днів 144-12=132.

2. Відповідь. Серед перших 16 простих чисел (та й взагалі серед простих чисел) тільки число 2 парне, а всі інші непарні (інакше вони ділилися б на 2 і були б складеними). У рядку, де знаходиться число 2, буде одне парне число і три непарних, значить, сума чисел у цьому рядку також буде непарна. А в інших рядках буде по чотири непарних числа, і їх сума буде парна. Тому магічний квадрат з перших 16 простих чисел скласти не можна.

3. Відповідь. Першим ходом перший гравець знімає шашку, що стоїть у центральній клітці, а потім повторює ходи суперника симетрично щодо центру.

4. Розв’язання. Боря зібрав грибів на 20% більше, ніж Сергій, тобто Боря зібрав в 1,2 рази більше грибів, ніж Сергій. Оскільки Боря зібрав на 20% менше грибів, ніж Вася, то Боря зібрав 0,8 від зібраних Васею кількості грибів, тобто Вася зібрав в 1: 0,8 = 1,25 рази більше, ніж Боря. Враховуючи, що Боря зібрав в 1,2 рази більше, ніж Сергій, маємо: Вася зібрав грибів в 1,2 • 1,25 = 1,5 раза більше, ніж Сергій.

Відповідь. На 50%

!!! Зверніть увагу: Висловлювання «число х на 20% менше числа у» і «число у на 20% більше числа х» мають різний сенс!

5. Підказка.

Завдання для І етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики 2011 р

8 клас

1. (3 бали ) Розв’язати рівняння:

2. (5 балів ) Якщо до запису деякого числа дописати справа цифру 9 і до утвореного таким чином числа додати подвоєне початкове число, то одержимо число 633. Знайти дане число.
3. (5 балів ) Побудувати графік функції

4. (5 балів ) Основи прямокутної трапеції 18см і 12см, а діагональ є бісектрисою гострого кута. Знайти кути трапеції.

5. (7 балів ) Довести, що з будь-яких дев’яти натуральних чисел можна вибрати два, різниця яких ділиться на 8


Підготовчий варіант

8 клас

1. Розв’язати рівняння:

2. Якщо до запису деякого числа дописати справа цифру 4 і до утвореного таким чином числа додати потроєне початкове число, то одержимо число 940. Знайти дане число.

3. Побудувати графік функції .

4. В рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута, який рівний . Знайти периметр трапеції, якщо її менша основа дорівнює 10 см.
5. Довести, що з будь-яких дванадцяти натуральних чисел можна вибрати два, різниця яких ділиться на 11.

Відповіді:

8 клас


  1. Відповідь. 2 і 3 (– 2; – 0,5 – сторонні корені)

  2. Відповідь. 52.

3. Вказівка.

Графіком даної функції є пряма

з «виколотими» точками.

  1. Відповідь. ; ; ; .

  2. Доведення (принцип Діріхле) При діленні на 8 отримаємо 8 різних остач: 0; 1; 2; …; 7. (Є 8 «кліток»). Оскільки чисел є 9, то хоч би два мають однакову остачу (тобто 2 числа попадуть в одну клітку).

Отже, різниця цих двох чисел ділиться націло на 8.

Підготовчий варіант

  1. Розв’язання.

Виконавши перевірку, одержимо, що сторонні корені.

Відповідь.

  1. Розв’язання.



Відповідь. ; Число .


3.

Отже, графіком даної функції є пряма з «виколотими» точками.

4. Розв’язання

К

М


АС – бісектриса; як внутрішні різносторонні, то

. В ∆АВС АВ=ВС=10 см. Чотирикутник ВСМК – прямокутник КМ = МС = 10 см. ∆АКВ: то . , АК = 5 см. ∆АКВ = ∆DМС – за гіпотенузою і гострим кутом. . , см. см.

Відповідь. 50 см.


  1. Вказівка. (принцип Діріхле)

При діленні на 11 отримаємо 11 різних остач: 0; 1; 2; …; 10. (Є 11 «кліток»). Оскільки чисел є 12, то хоч би два мають однакову остачу (тобто 2 числа попадуть в одну клітку).

Отже, різниця цих двох чисел ділиться націло на 11.
Завдання для І етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики 2011 р

9 клас

  1. (3 бали ) Розрізати трикутник на дві частини так, щоб з них можна було скласти паралелограм.

  2. (5 балів ) Побудувати графік функції .

  3. (5 балів ) Довести, що , якщо , .

  4. (5 балів ) Дано рівняння .

При якому значенні а , де і - корені даного рівняння.

  1. (7 балів ) - медіана трикутника , - середина , - точка перетину прямої з . Виявилося, що . Довести, що


Підготовчий варіант

9 КЛАС
1. Довести, що різносторонній трикутник не можна розрізати на два рівні трикутники прямою, яка проходить через його вершину.

2. Побудувати графік функції

3. Довести нерівність

, де , , .

4. Для яких значень різниця коренів рівняння дорівнює одиниці?

5. У , у якого , провели бісектриси, і , що перетинаються в точці . Довести, що .

Відповіді:

9 клас


  1. Вказівка. Розрізати трикутник по середній лінії.

2. Вказівка. Змінна х не може дорівнювати –1. Якщо , то ; якщо , то .


3. Вказівка. Застосувати нерівність Коші для двох чисел.

4. Вказівка. Використайте теорему Вієта та умову, що .

Відповідь. ( при )

5. Вказівка. Довести рівність трикутників і (за першою ознакою, оскільки , як суміжні до рівних кутів) і рівнобедреність трикутника .

Підготовчий варіант
1.

Розв’язання

Припустимо, що різносторонній трикутник розрізано прямою на два рівні трикутники.

Тоді їх площі рівні. Оскільки ці трикутники рівні і мають спільну висоту , то їх основи рівні, тобто . Але тоді , що неможливо, оскільки це суперечить умові задачі.
2.

Розв’язання.

ОДЗ. Змінна х не може дорівнювати -1; 0; 1.

а) : .

б) : .

3. Розв’язання.

На основі нерівності Коші маємо:

,

,

,

Помножимо нерівності: ,

,

на , , відповідно та додамо одержані результати

;

;

;

,

,

,

,

Оскільки , , , то маємо

.

4. Розв’язання

За теоремою Вієта та умовою задачі маємо

, , .

Додамо, а потім віднімемо почленно дві останні рівності:

, .

Підставимо значення і у першу рівність:

Звідки , .

Перевіримо, чи будуть для знайдених значень і існувати корені рівняння:

.

Якщо , то , якщо , то . Отже, обидва значення задовольняють умову задачі.

Відповідь. – 3; 9.

5.

Розв’язання

Нехай , .

, .

.

Отже, навколо чотирикутника можна описати коло. Оскільки , то рівні дуги, на які спираються ці кути, а отже рівні і хорди, що стягують ці дуги. Тобто .
^ Завдання для I етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з

математики 2011 рік

10 клас

  1. (3 бали) Розв’яжіть нерівність:




  1. (5 балів) При яких значеннях параметра корені рівняння є додатними числами?



  1. (5 балів) Для додатних чисел х, у і z доведіть нерівність


4. (5 балів) Знайти площу рівнобічної трапеції з основами

16 см і 20 см , якщо її діагоналі перпендикулярні.
5. (7 балів) На дошці записано числа від 1 до 20. За один крок дозволяється пару чисел а, b замінити на число a+b+3ab. Чи можна наприкінці дістати число 20112011?

Підготовчий варіант

10 клас



  1. Розв’жіть нерівність:


2. При яких значеннях параметра a рівняння має корені різного знаку?
3. Для додатних чисел a i b доведіть нерівність:

4. Знайти площу рівнобічної трапеції з основами

8 см і 10 см , якщо її діагоналі перпендикулярні.
5. На дошці записано числа від 3 до 22. За один крок дозволяється пару чисел х, у замінити на число х+у+5ху. Чи можна наприкінці дістати число 20112012?

10 клас

ВІДПОВІДІ

  1. Відповідь.



  1. Відповідь.

  2. Вказівка. Скористатися нерівністю Коші.

  3. Відповідь. 324 см²

5. Відповідь. Не можна, оскільки 20112011 не ділиться націло на 3.

^ ВІДПОВІДІ ДО ПІДГОТОВЧОГО ВАРІАНТУ

  1. 1)

2)

Відповідь. (0; 2] U {– 7} U {4}.

  1. Розв’язання: Використавши теорему Вієта, одержимо



Відповідь. При а < - 2,5

  1. Вказівка. Скористатися нерівністю Коші.



4. Вказівка: Провести висоту через точку перетину діагоналей і довести, що . Отже,

Відповідь. 81 см²


  1. Знайдемо суму всіх записаних на дошці чисел:

Сума всіх записаних спочатку чисел ділиться націло на 5 і ця властивість не змінюється під час виконання даної операції. Оскільки 20112012 не ділиться на 5, то таке число одержати не можливо.

Відповідь. Ні.

Завдання для І етапу

Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

2011 рік

11 клас
1.(3 бали )Обчислити:
2. (5 балів)Знайти суму найбільшого і найменшого розв’язків нерівності
3. (5 балів)Знайти площу паралелограма з гострим кутом між сторонами та діагоналями d , d
4. (5 балів)Знайти значення параметра а, при якому система має єдиний розв’язок.
5. (7 балів) Розв’язати систему рівнянь:

Підготовчий варіант

11 клас
1.Обчислити:

2. Знайти суму найбільшого і найменшого розв’язків нерівності
3.Обчислити площу паралелограма із сторонами та , знаючи, що гострий кут між діагоналями дорівнює .

4. При яких значеннях параметра система рівнянь має єдиний розв’язок?
5. Розв’язати систему рівнянь:


ВІДПОВІДІ

1. Відповідь. 8

2.Відповідь. ; 4,5.

3.Розв’язання.

φ

Нехай АВ=b, АD=a тоді:;

. Звідси

Площа паралелограма

В
3

у

у
ідповідь
.

4.

4


х


Відповідь.

5. Відповідь. (4; - 16)





^ ВІДПОВІДІ ДО ПІДГОТОВЧОГО ВАРІАНТУ
1.Розв’язання.

Відповідь.6

2. Розв’язання. Щоб не з’ясовувати, при яких значеннях х ліва частина нерівності набуває додатних значень, при яких – від’ємних, перепишемо дану нерівність у вигляді . Якщоі то обидві частини одержаної нерівності набувають невід’ємних значень. Отже,ця нерівність рівносильна системі:

Відповідь. 0,7.

3.Розв’язання.
Відповідь.
4.

Відповідь.

5.Розв’язання.Використовуючи метод оцінки, маємо:
Відповідь. (- 3; 13)