asyan.org
добавить свой файл
1
4. Лінії другого порядку.

4.1 Поняття лінії другого порядкує.
Лінія другого порядку – це множина точок, координати яких задовольняють рівнянням виду
Ах2+Вy2+Схy+Дх+Еy+F=0, (*)
Де А,В,С,Д,E,F – дійсні числа.

До лінії другого порядку належать такі лінії: коло, еліпс, гіпербола та парабола.
4.2 Коло
Колом вважають множину точок площини відстані яких від даної точки площини (центра кола) дорівнюють сталому числу (радіусу).

Щоб вивести рівняння кола, використаємо прямокутну систему координат 0ху; позначаємо через О1(а,в) – центр кола, через М (х;у) – довільну точку площини і через R - радіус кола.

Точка М лежить на колі тоді і лише тоді, коли O1M=R, або

Піднесемо обидві частини до квадрату
(1)
Це канонічне рівняння кола.

Якщо центр кола лежить в початку координат, то
х2+y2 = R2 (2)
Загальне рівняння кола (див.*) буде мати вигляд
х2 + y2 + mx + ny + p = 0, тобто


  1. Коефіцієнт при х2 і y2 рівні між собою




  1. У рівнянні відсутній член с ХУ.


Приклади.


  1. Написати рівняння кола, якщо точки А(-1;4) і В (3;2) є кінцями його діаметра.



Розв‘язок:
Нехай О1(а;в) – центр кола. Тоді АО11В, тому




Знайдемо

Тоді остаточне рівняння буде

.



  1. Знайти центр і радіус кола

х2 + y2 + 4x - 6y - 23 = 0
Розв‘язок:

Згрупуємо однойменні координати:
2 + 4x )+(y2 - 6y) - 23 = 0

Згадаємо формули скороченого множення:
(а ± в)2 = а2 + 2ав + в2
Тепер доповнимо в кожній дужці до повного квадрату:
2 + 2.2x + 4 - 4) + (y2 - 2y3 + 9 - 9) - 23 = 0
+2)2 - 4 + (y - 3)2 - 9 - 23 = 0
+2)2 + (y - 3)2 = 36
т. Q (-2;3) – центр кола. Радіус R=6.
Одержимо рівняння кола в полярних координатах (ρ,). Помістимо початок полярних координат в початок прямокутної системи координат.



х=ρ cosφ

y=ρ sinφ -зв‘язок між полярними та декартовими координатами.

Підставимо ці формули в рівняння кола (2)

х2+y2 = R2
ρ2 cos2φ + ρ2 sin2φ = R2
ρ2(cos2φ +sin2φ) = R2
ρ = R (3)-

це рівняння кола в полярних координатах.

Далі одержимо рівняння кола в параметричному вигляді.

Нехай t – кут між віссю ОХ та радіус-вектором довільної точки М(х;у) кола. Точка М(х;у) лежить на колі тоді і тільки тоді коли:



(4)

Це параметричні рівняння кола.
Або , якщо центр кола лежить у точці О1(а;в) (4а)

4.3. Еліпс.
Еліпсом називають множину всіх точок площини, сума відстаней яких від двох даних точок цієї площини, які називаються фокусами, є величина стала і більша від відстані між фокусами.

Щоб вивести рівняння еліпса, візьмемо на площині дві точки F1 і F2 – фокуси еліпса і розмістимо прямокутну систему координат так, щоб вісь ОХ проходила через фокуси а початок координат ділив відрізок F1F2 навпіл:


Позначаємо відстань між фокусами, яку називають фокальною через 2с: F1F2 = 2с, а суму відстаней від довільної точки еліпса до фокусів через 2а. Тоді фокуси мають координати F1(-с;0), F2(с;0). За означенням 2a>2c, тобто a>c. Нехай М(х;у) – довільна точка площини. Ця точка лежить на еліпсі тоді і тільки тоді коли
F1М + F2М =2а,
Перенесемо другий радикал у праву частину, піднесемо потім обидві частини до квадрату:


Піднесемо ще раз до квадрату:


(:а2в2)
(5)
Це канонічне рівняння еліпса.

Встановимо деякі властивості і дослідимо форму еліпса.

1) Рівняння (5) містить змінні х та у лише у парних степенях, тому, якщо точка (х;у) належить еліпсу, то йому належать також точки (-х;у), (х;-у), (-х;-у). Тому еліпс симетричний відносно осей ОХ та ОУ, а також відносно т О(0;0) – центра еліпса. Отже, достатньо дослідити одну його частину, наприклад, розміщену у першому координатному куті.

2) В першому координатному куті х≥0, у≥0, тому з рівності (5) маємо:



звідки випливає, що точки А1(а;0) і В1(0;в) належать еліпсу, причому Х збільшується від 0 до а, а У зменшується від в до 0. Крім того, не існує точок, у яких х>а. Таким чином, частина еліпса, розміщена в першому координатному куті, має форму дуги. Весь еліпс відображається симетрично відносно осей ОХ та ОУ.

Т.А1(а;0); А2(-а;0); В1(0;в); В2(0;-в) – вершини еліпса.


А1А2=2а та В1В2=2в – велика та мала осі еліпса. Відповідно а та в – велика та мала півосі.

  1. Якщо а = в, то х2 + у2 = а2 – коло. Так як а2 - с2 = в2, то при а = в, с=0, тобто коло – це еліпс у якого фокуси збігаються з його центром.

Міра відхилення еліпса від кола характеризується величиною, яка називається ексцентриситетом еліпса і дорівнює:

= с/а, причому 0 ≤ ≤ 1 (6)

Якщо = 0 ,то в = а і еліпс перетворюється в коло; якщо наближується до одиниці ,то еліпс все більше розтягується вдовж осі ОХ.

  1. Нехай М(х;у) – довільна точка еліпса з фокусами F1 I F2. Відстані r1 i r2 – фокальні радіус-вектори.





  1. - рівняння еліпса в полярних координатах.




  1. - параметричне рівняння еліпса, a > 0; b > 0, 0 ≤ t < 2π.


4.4 Гіпербола
Гіперболою називається множина точок площини, модуль різниці відстаней яких від двох даних точок цієї площини, що називаються фокусами, є величина стала і менше відстані між фокусами.

Позначимо через F1 i F2 фокуси гіперболи, відстань між ними через 2с, а модуль різниці відстаней від довільної точки гіперболи до фокусів через 2а. За означенням a < c.

Візьмемо на площині прямокутну систему координат ОХУ так, щоб вісь ОХ проходила через фокуси, а початок координат поділив відрізок F1F2 навпіл.


Точка М(х;у) площини лежить на гіперболі тоді і лише тоді, коли:

|MF1 – MF2| = 2a, або

Виконавши такі самі перетворення, як при виведенні рівняння еліпса, дістанемо канонічне рівняння гіперболи:

, де в2 = с2 – а2 (7)

Встановимо властивості і дослідимо форму гіперболи.

  1. Гіпербола симетрична осям ОХ, ОУ і початку координат.

  2. Для частини гіперболи, яка лежить у першому координатному куті, з рівняння (7) дістанемо:




тобто х ≥ а

Точка А1(а;0) належить гіперболі і є точкою перетину гіперболи с віссю ОХ. Гіпербола не перетинає вісь ОУ.

Якщо х→ +∞, то у→ +∞.

Віддаляючись у нескінченність, змінна точка М(х;у) необмежено наближається до прямої .

Відобразивши дугу гіперболи симетрично відносно координатних осей, дістанемо вигляд всієї гіперболи.

Гіпербола складається з двох гілок (лівої та правої) і має дві асимптоти (8)

Осі симетрії називаються осями гіперболи, а точка перетину осей – її центром. Вісь ОХ перетинає гіперболу в двох точках А1(а;0) і А2(-а;0), які називаються вершинами гіперболи. Ця вісь називається дійсною віссю, а вісь, яка не має спільних точок з гіперболою – уявна вісь.

Величини а і в відповідно називають дійсною та уявною півосями гіперболи.

Прямокутник із сторонами 2а і 2в називається основним прямокутником гіперболи.

При побудові гіперболи доцільно спочатку побудувати основний прямокутник, провести прямі, що проходять через протилежні вершини цього прямокутника – асимптоти вершини А1(а;0) і

А2(-а;0) гіперболи.


Рівняння виражає спряжену гіперболу (показана пунктиром).

Якщо а = в, то гіпербола називається рівносторонньою.

  1. Ексцентриситет гіперболи визначається як = с/а, > 1.




  1. Прямі - директриси гіперболи. (а – дійсна піввісь).




  1. - гіпербола в полярних координатах, > 1. (7а)




  1. Для гіперболи вигляду параметричні рівняння мають вигляд:

.

(7б)
4.5. Парабола
Параболою називається множина всіх точок площини, кожна з яких знаходиться на однаковій відстані від даної точки, яка називається фокусом і від прямої, яка називається директрисою.

Нехай на площині задані фокус F і директриса, причому відстань від фокуса до директриси дорівнює р. Візьмемо прямокутну систему координат ОХУ так, щоб вісь ОХ проходила через фокус перпендикулярно до директриси, а вісь ОУ ділила відстань між фокусом F і директрисою навпіл.




Тоді точка М(х;у) лежить на параболі тоді і лише тоді коли: МВ = МF, або



Піднесемо до квадрату:

.

- канонічне рівняння параболи (9)
Дослідимо форму параболи. Оскільки рівняння містить змінну у у першому ступені, то парабола симетрична відносно осі ОХ.

Тому достатньо розглянути лише ту частину, яка лежить в верхній півплощині. Для неї у ≥ 0, .
Так як х ≥ 0, то парабола розміщена справа від осі ОУ. При х = 0 → у = 0, тобто парабола проходить через початок координат. При х→ ∞ → у → ∞.

Зробивши симетричне відображення, одержимо параболу.

Вісь симетрії параболи називається її віссю, точка перетину осі з параболою – вершина.

Параметр р характеризує, „ширину” області, яку обмежує парабола.

Рівняння у2 = 2рх; х2 = 2ру; х2 = -2ру у яких р > 0 визначають такі параболи:

У полярних координатах парабола: (=1). (10)

У параметричному вигляді рівняння параболи треба в кожному випадку отримувати окремо.

4.6. Паралельний переніс системи.
Нехай нова система координат має осі сонаправлені із старими осями ОХ і ОУ, а її початок розміщено у точці О100).


Координати довільної точки М означимо у старій системі (х;у), а у новій (Х;У). Радіуси – вектори цієї точки в обох системах мають один і той же базис , і їх можна представити як:

;

;

.

Очевидно, що або
З рівності векторів слідує рівність їх координат. Тому .
Це формули є зв’язком між старими та новими координатами точки.
Запишемо загальне рівняння кривої другого порядку (нехай Вху = 0).
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.
Якщо А і С одного знаку – то крива еліптичного типу (при А = С – коло).

Якщо А і С різних знаків – крива гіперболічного типу.

Якщо А ≠ 0; С = 0 (А = 0; С ≠ 0) – крива параболічного типу.
Приклад.

Привести до канонічного виду та побудувати криву:

2 + у2 – 12х + 4у – 3 = 0.
Розв‘язок:

Коефіцієнти А = 4, С = 1 – ця крива еліптичного типу. Виділяємо повні квадрати змінних:
(4х2– 12х) + (у2+ 4у) – 3 = 0

4(х2– 3х) + (у2+ 4у) – 3 = 0

4(х2 – 2х *3/2 + 9/4 - 9/4) + (у2 + 2у *2 + 4 - 4) – 3 = 0

4(х – 3/2)2 +(у + 2)2 = 16


Рівняння прийме простішу форму, якщо покласти х0 = 3/2 а у0 = -2, тобто помістити новий початок координат у точку О(3/2; -2).

При цьому
Х2/4 + У2/16 = 1
Побудуємо цю криву: а = 2, в = 4.