asyan.org
добавить свой файл
1
2. МНОЖИНИ. ДІЇ НАД МНОЖИНАМИ

2.1. Поняття множини , способи задання множини

З кінця XIX   початку XX століття найбільш універсальною мовою математики стає мова теорії множин. Засновниками теорії множин є Б.Больцано 1, Г.Кантор 2 і Р.Дедекiнд 3. Поняття множини є одним із основних первинних понять сучасної математики. Прийматимемо його за інтуїтивне . Обмежимося лише синонімами : набір , сукупність елементів. Проте існує строга аксіоматична теорiя множин, в якій визначається поняття множини 4. Множину будемо вважати визначеною, якщо про кожний розглядуваний об’єкт можна сказати належить він чи не належить цій множині .

Множини позначатимемо великими літерами А, В, С,  . Об’єкти, що складають деяку множину, називаються його елементами або точками, позначаються малими літерами : a , b , c ,  , x , y , z . Якщо елемент х належить множині А , то записуємо 5

х А або А х ,

що читається “ х належить А ”, “ А містить елемент х ”. Якщо ж х не належить А або А не містить х , то записуємо

х А або А х .

Іноді використовуються символи .

2.1.1. Множини факторів , продуктів в економіці 6. Сучасне виробництво в економічній теорії розглядається як переробка факторів із деякої множини, яку називатимемо множиною факторів 7 або технологічною множиною, в продукти, блага, які складають множину продуктів , благ. Ще класична політична економія виділяла три фактора виробництва   працю, капітал та землю ( природні ресурси ). Сучасний підхід до факторів виробництва дозволяє значно розширити список цих факторів, включаючи в нього організацію, технологію , інформацію , науково-технічний прогрес , валовий національний продукт ( ВНП ), а також його складові : споживання , збереження , інвестиції .

Приклад 2.1. Модель “ затрати  випуск ”, виробнича функція фірми . Економіку можна розглядати як відображення множини факторів, технологічної множини деякого m - мірного простору E m в множину продуктів, благ k - мірного простору E k . Тоді виробництво, фірма є деякий кібернетичний чорний ящик, на вхід якого подаються фактори виробництва

x = ( x 1, x 2 , , x m )  XE m ,

а на виході одержуємо продукти

y = ( y 1, y 2,  , y k )  YE k .

Такий підхід називається моделлю “ затрати  випуск ” фірми ( Input  Output Model ) ( Рис. 2.1 ) .


Input

Затрати




Output

Випуск

───────────────────────>

Фірма

──────────────────────>

Фактори виробництва

x = ( x 1, x 2, , x m )




Продукти

y = ( y 1, y 2,  , y k )


Рис. 2.1. Модель “ затрати  випуск ” фірми.

Функціональна залежність між затратами  факторами виробництва і випуском є виробнича функція фірми

y = F ( x ) , x XE m , y YE k .

В силу обмеженості можливостей відносно ресурсів як окремої фірми, так і економіки держави в цілому, виникає проблема в мікро- та макроекономіці : серед всіх можливих технологій, що є елементами множини факторів технологічного простору E m , вибрати ту технологію, яка дає максимальний випуск продукції . Така технологія називається ефективною технологією .

Приклад 2.2. Технологічна множина , ізокванта 8. Допустимо, що фірма використовує капітал K і працю L для випуску продукції обсягом не менше 50 одиниць ( y  50 ) . При меншому обсязі витрати фірми значно перевищують її доход . Виробнича функція фірми є y = (K , L) , крива - ізокванта  множина точок ( K , L ) , для якої виробнича функція стала ,

{ ( K , L )  : f ( K , L ) = 50 }




Рис. 2.2. Технологічна множина

зображена на Рис. 2.2. Заштрихована на рисунку множина складає технологічну множину цієї фірми. Точка A є недопустимою для цієї фірми технологією. Точка B  допустима, але не оптимальна щодо витрат. Мінімальні витрати, при яких досягається заданий випуск 50 одиниць, відповідають ефективним технологіям, які розміщені на межі технологічної множини.

Приклад 2.3. Альтернативні випуски гармат та масла. Для ілюстрації обмеженості можливостей суспільства розглянемо класичний приклад П.Самуельсона 9 альтернативних 10 випусків гармат і масла. Допустимо, необхідно випустити два товари : гармати і масло. Якщо використати всі ресурси суспільства на випуск гармат, то виробництво їх складає 15 тис. стволів. Якщо суспільство знижує випуск гармат, то частина ресурсів звільняється для випуску масла. Так, скорочення випуску гармат на одну тисячу з 15 тис. штук до 14 тисяч при даному рівні ресурсо-технологічного забезпечення дозволяє випустити 1 млн. кілограмів масла. Альтернативою мілітаризованого виробництва є “ масляний рай ” обсягом 5 млн. кг. Обсяги виробництва гармат не лише альтернативні, а й взаємодоповнювальні при врахуванні обмеженості ресурсів суспільства в цілому. Значення альтернативних можливостей приведені в Табл. 2.1 .
Табл. 2.1. Альтернативні можливості виробництва гармат і масла .

Можливості

( технології )

Гармати

( тис. шт.)

Масло

( млн. кг )

A

15

0

B

14

1

C

12

2

D

9

3

E

5

4


За даними таблиці побудуємо криву виробничих можливостейКВМ ) або трансформації Рис. 2.3 ) . Множина, обмежена осями координат і кривою трансформації , є технологічною множиною. Будь-яка внутрішня точка цієї множини є допустимою, а зовнішня точка є недосяжною для суспільства з даним рівнем ресурсо-технологічного забезпечення. Для внутрішньої точки не всі ресурси використані, можна ввести додаткові ресурси так, щоб збільшити як військове, так і цивільне виробництво. Довільна точка на кривій трансформації означає ефективну технологію або стан Парето-ефективності .





Рис. 2.3. Виробництво гармат та масла.
2.1.2. Задання множини перелiком її елементiв. Маємо деякі об’єкти 1 , 2 ,  , n . Множину цих об’єктів позначаємо за допомогою переліку в фігурних дужках усіх цих елементів, відокремлюючи їх комами, або крапками з комами,

A = { a 1 , a 2 ,  , a n } .

Порядок запису елементів множини при цьому позначенні є неістотним. Запис { x } означає, що множина має єдиний елемент x . Множина, яка має скінченне число елементів, називається скінченною. Число елементів скінченної множини є кардинальним 11 числом цієї множини, позначається

card A або n ( A ) .

Так множина цифр десяткової системи числення

U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

є скінченною множиною із десяти цифр

cardU = 10 .

Множини приймаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих же елементів, позначається

X = Y .

Наприклад , множини { 2, 4, 6 }, { 6, 2, 4 } , а також { 4, 4, 2, 6 } є рівні множини трьох елементів.

Елементи множин можуть бути самі множинами.

Так Україна є множиною із однієї автономної республіки та 24 областей, кожна одиниця в свою чергу має певну множину районів.

Множини { { 1, 2 } , { 2, 3 } } та { 1, 2, 3 } не рівні, так як елементами першої є дві множини  вектори {1, 2 } та { 2, 3 } , а елементами другої  три числа 1, 2, 3.

Позначення множин за допомогою фігурних дужок і списком членів в них стає надто громіздким для множини з великим числом елементів і майже неможливе для нескінченних множин, що мають нескінченно багато елементів.

Прикладами нескінченних множин, які визначаються списком, є множини N та Z . Множину N натуральних чисел 12 записуємо

N = { 1, 2, 3,  , n , },

а множину Z цілих чисел 13 

Z = {  , -n, , -2, -1, 0, 1, 2, 3,  , n ,  }.

2.1.3. Задання множини по властивостi її елементiв. Другий спосіб задання множини грунтується на зазначенні деякої властивості Р , яку мають елементи множини M , позначається

M = { xP ( x ) }.

Цей вираз читається : “ множина M  це множина всіх таких елементів х , для яких виконується властивість Р “.

Так множина Q рацiональних чисел 14 записується

Q = { x : x = mn , m  Z , n  N } .

Якщо через R позначимо множину дiйсних чисел 15, то множину C комплексних чисел 16 можна визначити в такий спосіб

C = { z : z = a + b i ; a , b  R , i 2 = 1} .

При необхідності визначити множину елементів із A , які мають властивість Р , будемо писати

M = { x A P ( x ) } .

Наприклад , числовий відрізок [ a , b ] визначається як множина дійсних чисел, які задовольняють нерівності a  x áb :

[ a , b ]  { x R a x b } .

В багатьох випадках мова дає більш короткий опис скінченної множини, ніж перерахуванням її елементів. Так множину ВР  “ Верховна Рада України “ більш коротко визначити властивістю “ x  депутат ” :

ВР = { x x  депутат } .

Порівняйте це задання множини із перерахуванням прізвищ членів ВР .

Задаючи множину деякою властивістю, часто не знають, чи існують елементи, які задовольняють цю властивість. Тому вводиться скінченна множина  порожня множина.


Порожня

множина

Множина, яка не містить жодного елемента, називається порожньою множиною, позначається 


Число елементів порожньої множини є нуль

card  = 0.

Наприклад , множина дійсних розв’язків рівняння

x 2 + 1 = 0

є порожньою :

{ x R x 2 + 1 = 0 } =  ,

проте в комплексній множині це рівняння має два розв’язки

{ x C x 2 + 1 = 0 } = {  і , і } , де і = .


1Больцано Бернард ( Bolzano B., 1781-1848)  чеський математик, філософ, богослов . 1805-1819  професор історії релігії Празького університету. За виступ проти монархії його усунуто від викладання, без права виступати усно і друкуватися. Його результати з аналізу значно випередили сучасну науку, стали відомі після його смерті . Так основна робота " Вчення про функції " опублікована лише в 1930 р., через 100 років після написання.

2Кантор Георг (Cantor G., 1845-1918)  німецький математик. Народився в Петербурзі . У 1869-1913 р.р. викладав в університеті в Галлi . З 1897 р. із-за депресії відійшов від наукової діяльності .

3Дедекiнд Рiхард Юлiус Вiльгельм ( Dedekind R. J. W., 1831-1916)  нiм. математик. Основнi роботи присвяченi теорiї чисел, множин, алгебри .

4Див. Бурбаки Н. Теория множеств. – М.: Мир, 1965.
Бурбакi Нiкола ( Bourbaki N. )  колективний псевдонім групи математиків, створеної в 1937 р. в Нантi ( Франція ) . Видали понад 40 томів “ Елементи математики ”, в яких дають систематичний виклад сучасної математики на основі аксіоматичного методу. Засновниками групи були А.П.Картан, Ж.А. Дьєдонне, А.Вейль, Ж.Дельсар, К. Шевалле. В 1968 р. заявила про припинення діяльності .

5Математичний знак   належностi елемента множинi, введений Дж.Пеано, є скороченням грец.  , “ єсті ”  бути .

6За посібником “Введение в рыночную экономику”. Под ред. А.Я.Лившица, И. Н. Никулиной. – М.: Высшая школа, 1994. сс. 34 - 53, 215 - 251 .

7Від лат. factor  той, що робить. Фактор  причина, рушійна сила якогось процесу.

8Від грец.   рівний, однаковий + лат. quantum  скільки.

9Самуельсон Поль (іноді Семюелсон Пол) (Samuelson P., 1916 р.) американський економіст, лауреат Нобелевської премії з економіки (1970 р.) за розробку наукового аналізу в економічних науках .

За підр. : Семюелсон П.А., Нордгауз В.Д. Макроекономіка.Пер. з англ.К.: Основи, 1995.544 с. (с.с. 55-57).

10Франц. alternative  вибір .

11Лат. cardinalis  головний, основний .

12Від нім. natürlich  натуральний .

13Від нім. Zahl (f)  число.

14Вiд нiм. Quotient (m)  частка.

15Вiд нiм. reell  реальний, дiйсний.

16Вiд франц. complexe  комплексний .