asyan.org
добавить свой файл
1
17. Подвійний інтеграл та його властивості.(л8п3,4)

Розглянемо тіло V, яке зверху обмежене поверхнею , визначена на деякій області G ); з боку тіло обмежене циліндричною поверхнею; в основі маємо плоску область G:

Щоб обчислити об’єм тіла V використаємо традиційний в інтегральному численні спосіб. А саме:

  1. Робиваємо шукану величину на елементарні частини

  2. Наближено обчислюємо ці елементарні частини і сумуємо їх

  3. Переходимо до границі суми

В даному випадку розбиває сіткою кривих область G на частинки . Позначимо площі цих частинок . Розглянемо циліндричні стовпчики , які мають основи і в сукупності складають тіло V.

Для обчислення об’єму циліндричного стовпчика візьмемо в кожній частині точку і побудуємо циліндр з основою , площа якої і висота .Об’єм такого елементарного циліндра дорівнює добутку і приблизно дорівнює об’ємові , тобто .

Тоді об’єм тіла V наближано обчислюється за формулою

(1)

Права частина рівності 1 є інтегральною сумою для функції , обмеженої в області G . Позначивша через - найбільший з діаметрів областей і перейшовши при до границі(якщо вона існує) отримаємо подвійний інтеграл

, який позначають .

Властивості подвійного інт. є аналогічними до властивостей кратного:

1.Правильна рівність

Справді для довільного розбиття Т виконується рівність



2. Якщо і – інтегрована на вимірна за Жорданом множині G функція, то



3.Якщо - інтегровані на множині G функції, а і - довільні дійсні числа, то і функція є інтегрованою на G причому



4. якщо і - інтегровані на множині G функції і при , то



5.Якщо функція f(x) неперервна на зв’язному вимірному компакті G, то знайдеться точка така, що

6. Якщо є розбиття множини G , то функція є інтегрованою на множині G тоді і тільки тоді, коли вона інтегрована на кожній із множин , причому



7.Добуток інтегрованих на вимірній множині G функцій є інтегрована на множині G функція.

8. Якщо функція інтегрована на вимірній множині G , то функція також інтегрована і