asyan.org
добавить свой файл
1 2 3 4
§6.Числові характеристики випадкової величини.

Моменти розподілу. Визначення їх за даними досліду.

6.1.Основні характеристики розташування і варіації випадкової величини.

1.Математичне сподівання випадкової величини (середнє значення).

Нехай Х - дискретна випадкова величина,що приймає значення , з ймовірностями -. Їх мат. сподіванням М(Х) називають величину,що дорівнює сумі добутків її можливих значень на ймовірності, з якими ці значення з’являються:



Приклад.

На складі є 100 заготовок вагою 1кг, 20 - вагою 2кг. 5 - вагою 3кг. Визначити середню вагу заготовки. Середня вага і є мат.сподіванням ( середнє значення ) випадкової величини – ваги заготівки.



Якщо Х- неперервна випадкова величина із щільністю розподілу f(х) ,її математичне сподівання

визначається



Властивості математичного сподівання.

а)мат.сподівання сталої величини Х дорівнює цій величині:

M(C)=C; C=const;

б)Мат.сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх мат. сподівань:

M(X,Y,Z) = M(X) M (Y) M(Z);

Звідси виходить що сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання:

М(СХ)=М(С)м(Х)=СМ(Х);

в) мат.сподівання алгебраїчної суми випадкових величин дорівнює сумі мат.сподівань цих величин:

M(X+Y+Z) =M(X)+M(Y)+ M(Z).

Розглянемо дві випадкові величини X і Y,що мають наступні ряди розподілу:



-2

-1

0

1

2



0.05

0.2

0.5

0.2

0.05





-20

-10

0

10

20



0.05

0.2

0.5

0.2

0.05

Неважко переконатися,що М(Х)=О і М(Y)=О.

Незважаючи на те, що мат. сподівання однакові, але відхилення значень тієї й іншої величини його середнього істотно відрізняються. Відхиленням називають різницю між значенням випадкової величини і її мат. сподіванням:



У теорії ймовірностей розкид значень випадкової величини, тобто сукупність варіантів ознаки, характеризують дисперсією.

2. Дисперсією ( розсіюванням ) називають мат. сподіванням квадрата відхилень випадкової величини від її мат.сподівання



Формула для обчислення дисперсії:

а) для дискретної В В (випадкової величини)





б) для неперервної В В з щільністю розподілу f(х)



.

Для останнього прикладу дисперсії величин X тa Y відповідно дорівнюють D(X)=2; D (Y)=200.

Так як при зведенні до квадрату змінюється розмірність випадкової величини, для характеристики розкладу використовують величину,що дорівнює



І називається середнім квадратним відхиленням або стандартом.

 .

6.2.Момент розподілу.

Розглянемо дискретну випадкову величину Х, задана розподілом

Х

1

2

5

100

Р

0.16

0.2

0.19

0.01

М(Х) = 1  0.16 + 2  0.2 + 5  0.19 + 100  0.01 = 2.95

Складемо тепер ряд із квадратів знань величини Х і знайдемо М()



1

4

25

10000

Р

0.16

0.2

0.19

0.01



 істотно більше М (х) з наявності серед значень  одного , значно більшого ніж інші, хоча і має дуже малу ймовірність появи.

Для урахування впливу таких знань в теорії ймовірності уведено моменти розподілу початкові і центральні ,які узагальнюють поняття числових характеристик випадкової величини.

Початковим моментом k-го порядку називають мат. сподівання величини ,тобто



Для конкретної величини :



Для неперервної:



Зокрема початковий момент 1-го порядку це мат.сподівання:



Початковий момент 2-го порядку - це мат. сподівання квадрата випадкової величини:

.

Центральним моментом k-го порядку називають математичне сподівання величини :


Центральний момент 1-го порядку :



Центральний момент 2-го порядку являє собою дисперсію:



Дисперсія може бути виражена через початкові моменти:



Також можна виражати і далі:





Моменти вищих порядків використовуються для опису закону розподілу .З ним зв’язані:

1)асиметрія

,

Що характеризує несиметричність кривої щільності розподілу випадкової величини щодо її мат. сподівання:

f(x)

полилиния 7полилиния 9полилиния 10

A=0

A<0-лівостороння асиметрія A>0-правостороння асиметрія

0 x

2)ексцес



що характеризує гостро- або плосковершиність функції розподілу:

прямая со стрелкой 2 f(x)

полилиния 8 E>0

полилиния 5

полилиния 6 E=0

E<0

прямая со стрелкой 1 x

6.3.Визначення числових характеристик кількісної ознаки за дослідними даними.

Параметри статистичного розподілу

(Елементи математичної статистики).

Усі моменти розподілу випадкової величини мають свої статистичні аналоги. Це моменти статистичного розподілу і визначаються за дослідними даними.

Якщо дані згруповані у варіаційний ряд, статистичні моменти визначаються за тими же формулами що і їх теоретичні аналоги для дискретної випадкової величини, але із заміною ймовірності  на відносну частоту . Статистичні параметри будемо позначати *.

Мат. сподівання вибіркова серія:

 -

  • cтатистичний момент 1-го поряку.

Дисперсія вибіркова дисперсія:



- cтатистичний центральний момент 2-го порядку.

Тут треба зробити зауваження.

1.Статистичні величини , , у тому числі середня вибіркова  і дисперсія  є для теоретичних величин , (у тому числі , ))так званими початковими точковими (точечними) оцінка, тобто оцінками, що виражаються одним числом.

2.У курсі мат.статистики доводиться,що середня вибіркова дає незміщену оцінку дійсної величини мат.сподівання. На відміну від неї вибіркова дисперсія дає зміцнену оцінку дійсної дисперсії досліджуваної кількісної ознаки. Незміщену оцінку дає величина



Це виправлена дисперсія. Оцінкою середнього квадратичного відділення(стандарту )є корінь з виправленої дисперсії.

Останні моменти збігаються. Якщо дослідні сформовані у вигляді інтервального ряду ,в ролі варіант ,виступають середини інтервалів () .Продовжимо розглядати приклад на обробку міцності зразків при осьовому списку. Визначемо моменти статистичного розподілу для них, які ми згрупували в інтервальний ряд.

Згадаємо ці дані:

Розряди

165-169

169-173

173-177

177-181

181-185

185-89




Частоти ,

5

13

15

14

5

4



Відн. част.,

0.089

0.232

0.268

0.250

0.089

0.072




Серед.інт. ,

167

171

175

179

183

187






-8

-4

0

4

8

12






-2

-1

0

1

2

3






-0.178

-0.232

0

0.25

0.178

0.216





0.356

0.232

0

0.25

0.356

0.648

=1,842



-0.712

-0.232

0

0.25

0.712

1.944

=1,962



1.424

0.232

0

0.25

1.424

8.832

=9,162

У третьому рядку ми підрахували середні значення інтервалів. При цьому ми отримуємо знов дисперсійний ряд,але з меншим числом значень. Далі спрощення підрахувань виберемо новий початок рахунку. Це так званий хибний нуль (С). Його вибираємо у розряді з найвищої частотою і С=175- середина цього інтервалу. Введення цього нуля спрощує рахунки. Перейдемо до умовних варіантів:

де

С-хибний нуль;

L - коефіцієнт масштабу (при однакових розрядах за l беремо довжину розряду). Це перетворення не міняє розподілу. Значенням відповідають ті ж самі частоти ,що і відповідні їм значення.

Начальні моменти які обмежені із значеннями , мають назву умовних і позначають зверху знаком "^".І у зв’язку з введенням умовного нуля, розшукувані статистичні моменти будуть мати вигляд:

=

=(-())

=(-3 +2())

=(-4 +6(-3()

Підрахувавши,  ,, , занесемо все в таблицю.

1.Визначаємо початковий момент першого порядку,тобто вибіркову середню:

==0234·4+175=175,94

2.Визначимо:

-статистичний початковий момент другого порядку (умовний)

=1,842

-статистичний центральний момент другого порядку,тобто вибіркова дисперсія:

==(1,842-0,234)·16=(1,842-0,055)·16=28,59.

- виправлену диспресію :

= = ·28,59 = 29,1.

-середне квадратичне відхилення (стандарт)

S === 5,39.

-відносну варіацію:

===0,031

-коефіцієнт варіації:

=·100%=0,031·100% ≈3,1%

3.Визначимо величини, які характеризують асиметрію та ексцес.

=1,962

 =9,162

=(1,962-3·0,234·1,842+2·0,234)·=44,6

=(9,162-4· 0,234·1,962+6·0,234·1,842-3·0,234=2028

  • статистична оцінка асиметрії:

= = = 0,28

  • статистична оцінка ексцесу:

= – 3 =  -3 =- 0,6.

.

Аналізуючи статистичні моменти досліджуваної ознаки - міцності гірської породи на одноосьовий стиск-можна зробити такі висновки.

- середнє значення ознаки складає 175.94Мпа

- значення ознаки коливаються навколо свого середнього з невеликою варіацією, що складає 3,1 %.

- розподіл ознаки має невелику правобічну асиметрію (),його можна вважати майже симетричним.

- значення ексцесу також близько до нуля. За виглядом гістограми можна припустити,що розподіл даної ознаки описується деякою функцією f(x), графік якої має максимум у точці x=175,94, крива майже симетрична щодо вертикальної прямої, проведеної через цю точку. Для прогнозу появи значень ознаки з тією чи іншої ймовірністю потрібно підібрати для функції f(x) аналітичний вираз. Існує ряд функцій,що задовільно описують розподіл деяких достатньо вивчених випадкових величин. Вони називаються теоретичними законами розподілу. Роздивляємось деякі з них.




следующая страница >>