asyan.org
добавить свой файл
1

Розділ ІІ. Подібність трикутників

УРОК № 26

Тема уроку. Ознаки подібності трикутників.

Мета уроку: сформулювати та довести ознаки подібності трикутників; на­вчати учнів застосовувати ознаки подібності трикутників під час розв'язування задач.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Хід уроку

I. Організаційний момент
II. Перевірка домашнього завдання

Розв'язання завдань середнього рівня учні коментують з місця за готовими рисунками і записами, зробленими учителем зазда­легідь на дошці. Розв'язання задач достатнього рівня двоє учнів пояснюють біля дошки. Якщо задачі високого рівня викликали труднощі, вчитель пропонує їх розв'язання розібрати колективно за записами на дошці або за допомогою графопроектора. Якщо хтось з учнів бажає пояснити розв'язання задач високого рівня, то вони роблять це за підготовленими заздалегідь записами з пропусками. Наведемо розв'язання задач високого рівня.

Задача 5. Доведення

Нехай ∆АВС А1В1С1 і AB = a, BC = b, AC = c, A1B1 = b, B1C1 =с, A1C1 = = d. Якщо коефіцієнт подібності дорівнює 2, то маємо: ; ; . Звідси b = 2а , с = 2b, тобто с = 4а. Тоді в трикутнику ABC АВ = а, BС = 2а, АС = 4а і АС > АВ + ВС, що суперечить нерівності трикутника. Отже, коефіцієнт подібності в цьому випадку не може дорівнювати 2.

Задача 6. Розв'язання

Проведемо через точку М відрізок ММ1, паралельний відрізку BN. За умовою АК : KM = 2 : 1. Тоді за узагальненою теоремою Фалеса AN : NM1 = 4 : 2. Але оскільки AN : NC = 4 : 5, то NM1 : M1C = 2 : 3. Отже, МС : ВМ = 3 : 2, а ВМ : МС = 2 : 3.

Відповідь: 2:3.



III. Актуалізація опорних знань учнів

Питання класу

  1. Сформулюйте узагальнену теорему Фалеса.

  2. Дайте означення подібних трикутників.

  3. За яких умов два трикутники подібні?

  4. Чи є вірним твердження: якщо ∆АВС А1В1С1, то ∆А1В1С1 АВС? Обґрунтуйте відповідь.

  5. Чи є вірним твердження: якщо ∆АВС А1В1С1, а ∆А1В1С1 А2В2С2, то ∆АВС А2В2С2?


IV. Формулювання мети і задач уроку
V. Вивчення нового матеріалу

План викладення теми

  1. Три ознаки подібності трикутників, їх доведення.

  2. Доведення наслідків з ознак подібності трикутників.


Ознаки подібності трикутників

Учитель зазначає, що шість умов для встановлення подібності трикутників — це багато, і пропонує учням прочитати в підручнику, яких двох умов достатньо, щоб трикутники були подібні. Ці умови називають ознаками подібності трикутників. Учитель розподіляє учнів на три групи, які працюють самостійно з підручником: читають формулювання та доведення ознак подібності і складають план доведення цих ознак, конспектують прочитане (рис. 2).


I



Якщо A = A1, B = ZB1,

то ∆АВС А1В1С1

II



Якщо B = B1 і ,

то ∆АВС А1В1С1

III



Якщо ,

то ∆АВС А1В1С1

Рис. 2
Наслідки з ознак подібності трикутників

Учитель пропонує, використовуючи отримані ознаки подібності трикутників, довести такі три твердження, які є наслідками ознак подібності.

  1. Рівносторонні трикутники подібні.

  2. Рівнобедрені прямокутні трикутники подібні.

  3. Рівнобедрені трикутники подібні, якщо вони мають рівні кути між відповідними сторонами.


VI. Первинне закріплення нових знань учнів

Виконання усних вправ

  1. Вкажіть на рис. 3 (а—б), рис. 4 (а—б) і рис. 5 пари подібних трикутників і доведіть їх подібність.



(Відповідь: a) ABK CDK за першою ознакою подібності; б) ∆NDC ABC за першою ознакою подібності; в) ∆ABD АСВ за першою ознакою подібності.)



(Відповідь: а) ABC DAC за першою ознакою; б) АМС FMD за другою ознакою; в) АА1B СС1B за першою озна­кою; C1AL A1CL за першою ознакою.)



(Відповідь: ABC A1В1С1 за третьою ознакою подібності три­кутників.)

Виконання письмових вправ

  1. Сторони одного трикутника відносяться як 6 : 8 : 9, а сторони другого трикутника дорівнюють 24 см, 32 см, 36 см. Чи подібні ці трикутники? (Так, за третьою ознакою.)

  2. Визначте, чи подібні трикутники, якщо їх сторони дорівнюють:

а) 6 см, 10 см, 7 см і 30 см, 50 см, 35 см;

б) 4 см, 11 см, 12 см і 12 см, 22 см, 26 см.

(Відповідь: а) так; б) ні.)

  1. У двох рівнобедрених трикутників кути при вершині рівні. Пе­риметр першого трикутника дорівнює 144 см. Знайдіть його сто­рони, якщо сторони другого трикутника відносяться як: а) 5 : 2; б) 7 : 10. (Відповідь: а) 60 см, 60 см, 24 см; б) 42 см, 42 см, 60 см або 53 см, 53 см, 37 см.)

Учитель звертає увагу учнів на причини, за якими задача За має один розв'язок, а задача 3б — два розв'язки.

  1. У трикутниках ABC і A1B1C1 B = B1, а сторони трикутни­ка ABC, які утворюють кут В, у 2,5 разу менші від сторін, які утворюють кут В1. Знайдіть сторони АС і А1С1, якщо їхня сума дорівнює 10,5 см. (Відповідь: 3 см; 7,5 см.)

  2. У трикутнику ABC AB = 24 cm, ВС = 18 см. На стороні АВ відкла­дений відрізок ВК =16 см, а на стороні ВС — відрізок CD = 6 см. Чи подібні трикутники ABC і DBK? (Відповідь: так, за другою ознакою подібності трикутників.)

  3. На рис. 6 NK || FA. Запишіть пропорції, які починаються з від­ношень:

а) ; б) ; в) ; г) .

(Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) .)

  1. Доведіть, що при перетині діагоналей трапеції утворюються два подібних трикутники.

  2. Доведіть, що пряма, паралельна одній із сторін трикутника та перетинає дві інші сторони, відсікає трикутник, подібний до даного.

  3. Пряма, яка перетинає сторони ВА і ВС трикутника ABC, ділить кожну з них у відношенні т : п, рахуючи від вершини В1. До­ведіть, що ця пряма паралельна стороні АС.

Доведення

Нехай ABC (рис. 7) — даний трикутник і пряма l перетинає сторону АВ у точці A1 і сторону ВС у точці В1. Оскільки за умовою , то . У трикутників ABC і А1ВВ1 спільний кут В. Отже, ∆АВС А1В1С1 за другою ознакою подібності трикутників. Звідси BA1B1 = ВАС. Оскільки кути BA1B1 і ВАС відповідні при прямих l і АС і січній АВ, то l || АС, що й треба було довести.


VII. Підбиття підсумків уроку

Питання класу

  1. Сформулюйте першу ознаку подібності трикутників.

  2. Які наслідки з першої ознаки подібності трикутників були сьо­годні отримані?

  3. Сформулюйте другу ознаку подібності трикутників.

  4. Сформулюйте третю ознаку подібності трикутників.

  5. Якщо в трикутнику проведено пряму, яка перетинає дві його сторони та паралельна третій стороні, то що можна сказати про отриманий трикутник?


VIII. Домашнє завдання

С 1. Дано: A = D (рис. 8). Довести: C = F.



С 2. У двох рівнобедрених трикутників кути при вершині рів­ні. Периметр першого трикутника дорівнює 110 см. Знайдіть його сторони, якщо сторони другого трикутника відносяться як: 1) 4 : 9; 2) 3 : 4.

Д 3. На рис. 9 ABCD — трапеція. Знайдіть подібні трикутники й доведіть їх подібність.

Д 4. Сторони одного трикутника дорівнюють 21 см, 27 см і 12 см, а сторони іншого трикутника відносяться як 7 : 9 : 4. Доведіть рівність відповідних кутів цих трикутників.

В 5. Знайдіть на рис. 10 рівні кути і доведіть їх рівність.



В 6. Основа трикутника дорівнює 5 см, висота, проведена до цієї основи, дорівнює 3 см. У трикутник вписаний квадрат так, що дві його вершини лежать на основі, а дві інші — на бічних сторо­нах. Знайдіть сторону квадрата. Вказівка. Використайте факт, що висоти подібних трикутників відносяться як їх відповідні сторони.



Т.Л.Корнієнко, В.І.Фіготіна Геометрія 8 клас Урок № 26